2.1 一元二次方程 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

2.1 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 一元二次方程是方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程。它必须同时满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2次。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a，b，c为已知数，a≠0），其中ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项。方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0。在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列。 三、一元二次方程的解（或根） 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。 巩固课内例1:一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 2．一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程一般形式的一次项系数的概念进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为： 3．已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项． （1）根据一般式的定义，先利用多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项，合并同类项即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得原方程的一般式为， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为1． 巩固课内例2:一元二次方程与一次方程(组)结合 1．若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 2．已知方程的两个根分别是2、1，则 ． 【答案】 【分析】把代入得出，整理即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出． 3．已知m，n是方程的两个根．求的值． 【答案】 【分析】将m代人方程可得，然后再对变形得到，然后整体代人即可解答；掌握一元二次的解以及代数式的灵活变形是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 巩固课内例3:列一元二次方程——图形问题 1．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 根据题意列方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得，， 故选：A ． 2．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖长方体铁盒．设正方形的边长为，则可列方程为 ，剪去的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设正方形的边长为，则铁盒的底面长为，宽为，根据“底面积是”即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去） ∴剪去的正方形的边长为． 故答案为：； 3．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式． (1)用一根长的铁丝折成一个斜边长为的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长（设这个直角三角形其中一条直角边长为）； (2)某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．求本班有多少名同学（设本班有x名同学）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直角三角形的周长等于铁丝的全长，两直角边的平方之和等于斜边的平方，本题中斜边长． （2）每个同学需要与个同学击掌一次，每两人之间只统计1场，根据共击掌595次列出方程即可求解． 【详解】（1）解：另一条直角边的长为． 根据题意得， 化简得； （2）根据题意得， 化简得． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据等量关系列方程是解题关键． 巩固课内例4:列一元二次方程——平均变化率问题 1．受新冠肺炎疫情的影响，某企业生产总值从某月份的300万元连续两个月降至260万元，设平均每月降低率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据该企业某月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于的一元二次方程，由此得出答案． 【详解】解：设平均每月降低率为，依题意得，， 故选：B． 2．我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该楼盘这两年房价平均降低率为x，则2014年房价为元，2015年房价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解） 【答案】 【分析】根据题意可知，设该工厂每月的平均增长率是，则2月份产品数为，3月份产品数为，再根据第1季度总产品数达到万件列出方程即可． 【详解】解：设该工厂每月的平均增长率是， 则根据题意可得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解平均增长率的含义，并求出每月产品数是解题的关键． 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A. ，最高次数为3次，故此选项不符合题意；     B. ，是一元二次方程，故此选项符合题意； C. ，当时，是一元二次方程，故此选项不符合题意；     D. 不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数最高次是次的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 3．关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程），解题的关键是要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 类型二、一元二次方程的解 1．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 2．如果是一元二次方程的一个根，那么常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，开平方，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．将代入，利用开平方即可求出． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入， 得， 解得：． 3．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 类型三、写出一个一元二次方程 1．方程化成一般形式，并写出，，的值是（ ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．2，-6，-3 D．2，3，6 【答案】C 【分析】利用平方差公式及完全平方公式把方程的两边展开后，移项合并同类项化为一般形式，再确a、b、c的值即可. 【详解】 12-=-6x+9 2-6x-3=0 ∴a=2，b=-6，c=-3. 故答案为C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）. 2．关于y的一元二次方程有一个根是2，则这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 【答案】答案不唯一，如 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决此题的关键． 【详解】∵中有一根为2，且为一元二次方程， ∴，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为 (3)，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0 (4)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为2 (5)，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10 (6)，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． （1）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （2）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （3）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （4）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （5）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （6）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可． 【详解】（1）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1； （2）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为； （3）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0； （4）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为2； （5）解：将互为一般式为， ∴二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10； （6）解：将化为一般式为， 二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为； 类型一、已知一元二次方程的根求参 1．若是一元二次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元一次方程，将代入方程，建立关于m的一元一次方程，求解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入， 得：， 解得：， 故选：D． 2．若是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解的问题，解题的关键是把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．先把方程的根代入一元二次方程，即可得到一个关于m的一元一次方程，解关于m的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 将代入，得 解得： 故答案为：． 3．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程根的定义，代数式求值，由是方程的一个根可得，即得，，，再代入代数式转化即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ． 类型二、列一元二次方程 1．牛大伯准备将已有的一块长，宽的菜地进行扩建，扩建后的菜地面积是原来面积的．若扩建后的菜地的长和宽都增加了，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 首先求出扩建后的面积，然后设扩建后的菜地的长和宽都增加了，根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵扩建后的菜地面积是原来面积的 ∴扩建后的菜地面积为， 设扩建后的菜地的长和宽都增加了， 根据题意得，． 故选：A． 2．某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1056个红包，设群内共有x个人．根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到1056个红包，即可得出关于x的一元二次方程． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 故答案为：． 3．列方程或方程组解应用题： 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长16米、宽9米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为112平方米，求小道的宽为多少米？    【答案】小道的宽为1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为112列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意，得 ， ∴， ∴，（不合题意，舍去）． 答：小道的宽为1米． 类型一、一元二次方程的变形求值 1．若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 2．若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 3．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 类型二、一元二次方程的整体换元 1．对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的解是指使得方程两边相等的未知数的值，理解并灵活的运用一元二次方程的解的概念是解题的关键；根据一元二次方程的解的定义逐项分析即可． 【详解】解：①当时，， 故本选项符合题意； ②且， 时，，当时，， 方程的两个根为， ，， 故本选项符合题意； ③方程存在两个根，， 或4， 方程的两个根为，， 故本选项符合题意； ④ 是方程的一个根， ，即， 或， 故本选项不符合题意； 综上所述，一定正确的是①②③， 故选：C． 2．已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为 ． 【答案】或 【分析】观察给出的两个方程可知：2和3也是关于的方程的两根，由此即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同， ∴2和3也是关于的方程的两根， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是根据给出的方程特点，得到两个方程的解的关系． 3．请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)两个实数根分别是，4； 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 类型三、一元二次方程的估算 1．已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，故A选项符合题意； B、方程的最高次数是，不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．若是一元二次方程的一个根，则a的值为（    ） A．9 B．10 C． D．11 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质，是解题的关键． 根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：A． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，，0 B．4，0， C．4，0， D．，0， 【答案】C 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，0，， 故选：C． 4．写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案． 【详解】∵一元二次方程使它的根为1，2，二次项的系数为1， ∴． 整理得， 故答案为：． 故答案为：． 5．已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键． 由一元二次方程的根的定义可得，即，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴， ∴代数式的值为2018． 故答案为：2018． 6．x、y为方程的两个实数根．若，，求的值 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元二次方程解（根）的意义，先根据根的意义得，，进而得，，再代入化简得，最后将，整体代入求值即可． 【详解】解：∵x、y为方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ， ∵，， ∴原式． 故答案为：18． 7．已知是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程，特别注意二次项系数不为，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：． 8．已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 9．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，完全平方公式的应用，熟练应用整体代入法是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的定义可得，进而得出，再利用多项式乘多项式计算，将作为整体代入即可； （2）由可得，将变形为，进而通分，再将代入求值即可． 【详解】（1）解： m是一元二次方程的根， ， ， ； （2）解： m是一元二次方程的根， ， ， 10．已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 一元二次方程是方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程。它必须同时满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2次。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a，b，c为已知数，a≠0），其中ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项。方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0。在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列。 三、一元二次方程的解（或根） 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。 巩固课内例1:一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 2．一元二次方程的一次项系数是 ． 3．已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 巩固课内例2:一元二次方程与一次方程(组)结合 1．若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 2．已知方程的两个根分别是2、1，则 ． 3．已知m，n是方程的两个根．求的值． 巩固课内例3:列一元二次方程——图形问题 1．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖长方体铁盒．设正方形的边长为，则可列方程为 ，剪去的正方形的边长为 ． 3．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式． (1)用一根长的铁丝折成一个斜边长为的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长（设这个直角三角形其中一条直角边长为）； (2)某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．求本班有多少名同学（设本班有x名同学）． 巩固课内例4:列一元二次方程——平均变化率问题 1．受新冠肺炎疫情的影响，某企业生产总值从某月份的300万元连续两个月降至260万元，设平均每月降低率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 ． 3．某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解） 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 3．关于的方程是一元二次方程，求的值． 类型二、一元二次方程的解 1．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如果是一元二次方程的一个根，那么常数的值是 ． 3．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 类型三、写出一个一元二次方程 1．方程化成一般形式，并写出，，的值是（ ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．2，-6，-3 D．2，3，6 2．关于y的一元二次方程有一个根是2，则这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 类型一、已知一元二次方程的根求参 1．若是一元二次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 3．已知是方程的一个根，求的值． 类型二、列一元二次方程 1．牛大伯准备将已有的一块长，宽的菜地进行扩建，扩建后的菜地面积是原来面积的．若扩建后的菜地的长和宽都增加了，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1056个红包，设群内共有x个人．根据题意可列方程 ． 3．列方程或方程组解应用题： 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长16米、宽9米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为112平方米，求小道的宽为多少米？    类型一、一元二次方程的变形求值 1．若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 2．若a是方程的一个根，则的值为 ． 3．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 类型二、一元二次方程的整体换元 1．对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 2．已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为 ． 3．请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 类型三、一元二次方程的估算 1．已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的一个根，则a的值为（    ） A．9 B．10 C． D．11 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，，0 B．4，0， C．4，0， D．，0， 4．写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是 ． 5．已知是方程的根，则代数式的值为 ． 6．x、y为方程的两个实数根．若，，求的值 ． 7．已知是关于的一元二次方程，求的值． 8．已知m是方程的根，求代数式的值． 9．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： (1) (2) 10．已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$