精品解析：辽宁省锦州市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 高三数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2．答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择. 【详解】，又， 故，，，，故A正确，其它选项错误. 故选：A. 2. 已知P为椭圆上的动点，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】P为椭圆上的动点，，且， P轨迹是以为焦点的椭圆，且，即，， 所以， 故选：C． 3. 以下说法正确的个数为（ ） ①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0； ②设是随机变量，则，； ③设随机变量，若，则； ④设随机变量，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】由相关系数的概念判断①，由相关变量的均值和方差的关系判断②，由正态分布的概率计算判断③，由两点分布方差的计算和均值不等式判断④. 【详解】两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故①错误； 若是随机变量，则，故②正确； 随机变量，若，则，故③错误； 设随机变量，则，当且仅当，时等号成立，故④错误； 故选：B． 4. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（ ） A. 162 B. 180 C. 200 D. 220 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可求解. 【详解】由数列前10项的规律可知： 当为偶数时，；当为奇数时， ， 所以， 故选：C 5. 若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由题可得函数递增，递增，，据此可得答案. 【详解】对任意的实数都有成立，则在R上递增. 则函数递增，递增，，即. 故选：D 6. 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O，则O为球心，然后结合题目数据可得答案. 【详解】因，则为直角三角形，取AB中点为，则为外心. 取BC中点为D，连接PD，则外心在PD上. 因，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面. 连接，因平面，则， 现分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O， 因过三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂线上的点到三角形顶点距离相同， 则两垂线交点O到三棱锥各顶点距离相同，即O为球心. 又注意到，则四边形为矩形. 因，，，则. 则，，得在外. 因为外心，则，设， 则，则. 又，，则，则球体半径为3， 故球体体积为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：对于有两个侧面垂直的三棱锥，其外接球半径， 其中为两侧面外接圆半径，为两侧面公共棱长度. 7. 已知函数，，若和图象存在3个交点，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，可知，关于点对称，由函数的对称性即可求出答案. 【详解】因为， 又， 所以关于点对称，又， 所以也关于点对称，因为，， 所以交点，，中必定含有一个点为， 且剩余两个点关于点对称，故． 故选：C. 8. 对，设是关于方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1013 B. 1015 C. 2023 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数，则， 当是正整数时，可得，则为增函数， 因为当时，， 且， 所以当时，方程有唯一的实数根且， 所以， 因此. 故选：A. 【点睛】方法点睛：构造新函数，结合导数和零点的存在定理，求得当时，方程有唯一的实数根且是解答的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是的充分不必要条件 D. ，，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC，通过特例即可判断；对于D，通过平方求得，即可求解； 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，令，满足，此时不成立，错误； 对于D，如图，在复平面内，，则因为，则， 故为正三角形，故，正确. 故选：ABC 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 的面积为 D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由双曲线定义得到，，A正确；B选项，根据直线斜率和三角函数知识求出，由余弦定理得到方程，求出离心率；C选项，在B基础上，利用三角形面积公式求出C正确；D选项，设直线方程为，联立得到两根之和，进而得到点坐标，求出直线的斜率. 【详解】A选项，设， 由双曲线定义得，故， 所以， 由双曲线定义得，所以， 故，A正确； B选项，因为直线的斜率为，故， 故，为钝角，， 又，， 解得，， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 方程两边同除以得，解得，负值舍去， 故双曲线的离心率为，B错误； C选项，由B选项知，，即，故 又，由三角形面积公式得，C正确； D选项，因为，，故， 直线方程为，联立得 ， 设，则， 则 ， 故，， 所以直线的斜率为，D正确. 故选：ACD 11. 设函数，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 在单调递增 D. 在单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】 先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断C D的正误． 【详解】的定义域为，且， ，故A正确． 又，令， 则， 其中， 故即，故， 当时，有，此时即， 故，故B错误． ， 当时，，故在为减函数，故D正确． 当时，，故， 因为为增函数且，而在为增函数， 所以在上为增函数， 故在有唯一解， 故当时，即，故在为减函数，故C不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为12. 故答案为：12. 13. 如图，左边是编号为、、、的型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则型钢板均不相邻的放法共________种，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法共________种．（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】若型钢板均不相邻，先将型钢板任意排列，然后将型钢板插入型钢板形成的个空位中的个空位，结合插空法可求得放法种数；先考虑乙号钢板上方的型钢板的放法，然后再将甲、丙号钢板分相邻和不相邻两种情况讨论，结合分步和分类计数原理可得结果. 【详解】若型钢板均不相邻，先将型钢板任意排列，然后将型钢板插入型钢板形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，型钢板均不相邻的放法种数为种； 若乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等， 则乙号钢板上方的型钢板为、号或、号，此时不同的放法种数为， 然后再放置甲、丙号钢板，分两种情况讨论， 若甲、丙号钢板相邻，则将甲、丙号钢板捆绑，插入其余块钢板形成的个空位中的个空位， 此时，不同的放法种数为种； 若甲、丙号钢板不相邻，则将甲、丙号钢板插入其余块钢板形成的个空位中的个空位中， 此时，不同的放法种数为种. 综上所述，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法种数为种. 故答案为：；. 14. 实数，满足，，则的最小值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，可得， 通过研究函数，可得，然后可化为 函数图象上一点到直线上一点距离的平方，据此可得答案. 【详解】 . 对于，，则在R上单调递增， 又，则，故， 表示函数图象上一点到直线上一点距离的平方， 则最小值为函数图象与直线平行切线上一点到直线的距离的平方. ，令， 则与直线平行切线对应的切点为：，其到直线距离为. 则最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点睛：对于指数，对数同时出现的题目，常利用指对互化产生相同结构；对于平方型问题，常可转化为两点距离公式来思考. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在锐角中，为边上一点，，，． （1）若，求； （2）设，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式计算得解. （2）根据给定条件，在中利用余弦定理和正弦定理求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 锐角中，由，得， 而，，则， 所以. 【小问2详解】 锐角中，由，得，， 由，得， 在中，设，则，， 由余弦定理得，解得，即， 由正弦定理，得，解得， 所以的面积. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为BC的中点. （1）证明：； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取CD的中点E，连接PE､EM､EA.根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，求得各边长度，根据勾股定理，可证，根据线面垂直的判定、性质定理，即可得证. （2）由（1）可得，，则是二面角的平面角，在中，根据三角函数的定义，即可得答案. 【详解】解：（1）取CD的中点E，连接PE､EM､EA. ∵为正三角形，∴. ∵平面平面，面，平面平面， ∴平面. 又∵面，∴. ∵四边形是矩形， ∴､､均为直角三角形， 由勾股定理可求得：，，， ∴，即. 又，面，面， ∴面，又面， ∴. （2）由（1）可知，， ∴是二面角的平面角. ∴在中，， ∴， ∴二面角大小为. 17. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率； （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可 （2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率， 再根据条件概率求解即可. 【小问1详解】 设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2， ，， 由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为： ； 【小问2详解】 设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 则､､彼此互斥，且， ， ， ， ， ， ， 所求概率即是发生的条件下发生的概率：. 18. 已知. （1）若的图象在处的切线与的图象也相切，求实数的值； （2）若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 【分析】(1)求出的图象在处的切线与与联立，利用，求出实数的值； (2)由有两个不同的极值点，可知，由题意知，两式相减得，而，设，构建新函数转求最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以 所以，， 所以的图象在处的切线方程为， 即，与联立得， ， 因为直线与的图象相切， 所以，解得. 【小问2详解】 ， ， 若，是增函数， 最多有一个实根， 最多有一个极值点，不满足题意， 所以， 由题意知， 两式相减得， 由， 设，则， 要证，即证时，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 设，则， 所以在上是增函数， 所以， 所以时，恒成立，即. 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 19. 已知点是抛物线上任意一点，则在点P处的切线方程为．若A，B是抛物线上的两个动点，且使得在点A与点B处的两条切线相互垂直． （1）当时，设这两条切线交于点Q，求点Q的轨迹方程； （2）（ⅰ）求证：由点A，B及抛物线的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线； （ⅱ）对再重复上述过程，又得一抛物线，以此类推，设得到的抛物线序列为，，，…，，试求的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出切线方程，再利用垂直得到斜率相乘等于进行化简； （2）（ⅰ）在（1）的基础上，结合重心的性质可以得到重心的轨迹方程；（ⅱ）根据图象平移对重复上述过程，得到抛物线，要观察其变换规律，进而归纳出的方程. 【小问1详解】 设，，， 则，， 联立得 ∴，∴，∴， ∴， 故点Q的轨迹方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由已知可得，， ∴，∴，∴①， 因为抛物线C的顶点为O，设的重心坐标为， 则② 由①②得， 故由点A，B及抛物线C的顶点所成三角形的重心的轨迹方程为，它是顶点在，开口向右的抛物线． （ⅱ）由变为，相当于把常数a换成，把顶点向右移个单位长度； 由变为，只需把常数换成，把顶点再向右移个单位长度，得到， 以此类推，抛物线的方程为 ． 【点睛】关键点点睛：本题的理论背景是阿基米德三角形，其概念是：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。对于第（ii）问，关键点在于知道由到的变换规律，为此可以先从到观察其变换规律，再归纳到一般即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末考试 高三数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2．答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知P为椭圆上的动点，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 以下说法正确的个数为（ ） ①两个随机变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0； ②设是随机变量，则，； ③设随机变量，若，则； ④设随机变量，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（ ） A. 162 B. 180 C. 200 D. 220 5. 若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，，若和图象存在3个交点，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1013 B. 1015 C. 2023 D. 2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是的充分不必要条件 D ，，，则 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 的面积为 D. 直线的斜率为 11. 设函数，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 在单调递增 D. 在单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最小值为______. 13. 如图，左边是编号为、、、的型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则型钢板均不相邻的放法共________种，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法共________种．（用数字作答） 14. 实数，满足，，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在锐角中，为边上一点，，，． （1）若，求； （2）设，若，求面积． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为BC的中点. （1）证明：； （2）求二面角的大小. 17. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率； （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 18. 已知. （1）若的图象在处的切线与的图象也相切，求实数的值； （2）若有两个不同的极值点，求证：. 19. 已知点是抛物线上任意一点，则在点P处的切线方程为．若A，B是抛物线上的两个动点，且使得在点A与点B处的两条切线相互垂直． （1）当时，设这两条切线交于点Q，求点Q的轨迹方程； （2）（ⅰ）求证：由点A，B及抛物线的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线； （ⅱ）对再重复上述过程，又得一抛物线，以此类推，设得到的抛物线序列为，，，…，，试求的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$