5.3.1函数的单调性课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 5.3 导数在研究函数中的应用 1 复习引入 在必修第一册中,我们通过图象直观,利用不等式、方程等知识,研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两节中,我们学习了导数的概念和运算,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢?本节课我们首先来讨论函数的单调性. 复习引入 (1)如果在区间I上,自变量增大函数值也增大,那么函数f (x)在区间I上是单调递增的; (2)如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的,那么函数f (x)在区间I上是单调递增的; (3)如果任意x1,x2∈I,且x1<x2 ,都有f (x1)< f (x2 ) ,那么函数f (x)在区间I上是单调递增的; (4)如果任意x1,x2∈I,都有 ,那么函数f (x)在区间I上是单调递增的; 问题:我们已经学习过函数的单调性,你能从数、形、定义等不同的角度描述一下函数f (x)在区间I上是单调递增吗? 复习引入 追问:如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的,且x0∈I,那么我们说函数f (x)在x=x0处是单调递增的,这种说法对吗? 函数的单调性不是函数在某个点处的性质,而是在一定范围内的性质. 思考:如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的,并且处处有切线,那么这些切线有什么共同特征? 所有切线也是从左到右上升的. 学习新知 问题1:图(1)是某跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+2.8t+11的图象,图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+2.8的图象. ,b是函数h(t)的零点. 仔细观察,说说运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学上刻画这种区别? O a t h b h(t) = – 4.9t2+2.8t+11 (1) O a t v b v(t) = – 9.8t + 2.8 (2) 观察图(1)、(2)可得: ① 从起跳到最高点,运动员的重心处于上升状态,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t) 单调递增;相应地,v(t) = h′(t) > 0; ② 从最高点到入水,运动员的重心处于下降状态,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t) 单调递减;相应地,v(t) = h′(t) < 0. 学习新知 问题2:我们看到,函数h(t)的单调性与导数h′(t)的正负有内在联系. 那么,我们能否由导数h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? O a t h b h(t) = – 4.9t2+2.8t+11 (1) O a t v b v(t) = – 9.8t +2.8 (2) 对于上述跳水问题,可以发现: ①当t∈(0,a)时,h′(t)>0,函数h(t)的图象是“上升”的,函数h(t)在(0,a)上单调递增; ②当t∈(a,b)时,h′(t)<0,函数h(t)的图象是“下降”的,函数h(t)在(a,b)上单调递增; 思考:任意函数的单调性与它的导数正负都有关系吗? 学习新知 问题3:观察下列函数图象,思考函数单调性与导数正负的关系. x y O y = x x y O y = x2 y = x3 x y O x y O y = (1) (2) (3) (4) y′=1>0, f(x)在R上单调递增. y′=2x, 当x<0时,y′<0,f(x)单调递减; 当x>0时,y′>0,f(x)单调递增; y′=3x2≥0, f(x)在R上单调递增. , 当x<0时,y′<0,f(x)单调递减; 当x>0时,y′<0,f(x)单调递减; 学习新知 从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系 如图所示,导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0,f (x0))处的切线的斜率,可以发现: 在x=x0处,f'(x0)>0,切线是“左下右上”的上升式,函数f(x)的图象也是上升的,函数f(x)在x=x0附近单调递增; 在x=x1处,f'(x1)<0,切线是“左上右下”的下降式,函数f(x)的图象也是下降的,函数f(x)在x=x1附近单调递减. x y O y = f(x) (x0,f (x0)) (x1,f (x1)) 函数的单调性与导数的关系: 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 思考1:如果在某个区间上恒有f′(x)=0,那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 思考2:存在有限个点使得f'(x)=0,其余点都恒有f′(x)>0,则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数. 例如:对于函数y=x3,y′=3x2. 当x=0时,y′=0,当x≠0时,y′>0, 而函数y=x3在R上单调递增. x y O f′(x)>0是函数f(x)在区间I上单调递增的充分但不必要条件 例题解析 解:(1)因为f(x)=x3+3x,其定义域为R. 1、利用导数判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx–x,x∈(0, ); (3) ∴ f ′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0. 所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增,如图(1)所示 (2)因为f(x)=sinx–x,x∈(0, ). ∴ f ′(x) =cosx–1<0. 所以函数sinx-x在(0, )上单调递减,如图(2)所示 y = x3 + 3x x y O (1) x y O (2) - f(x)=sinx-x 例题解析 1、利用导数判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx–x,x∈(0, ); (3) 注意定义域 所以函数 在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增 x y O y = (3) 1 1 用导数判断函数单调性的基本步骤 用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导函数f ′(x); (3)解不等式f ′(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f ′(x)<0,得函数的单调递减区间. 归纳提升 巩固练习 1、(P87T1)判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x2–2x+4; (2)f(x)=ex–x. 解:(1)因为f(x)=x2–2x+4,其定义域为R. 所以 f′(x)=2x–2=2(x –1); 当f′(x)>0时,x>1;当f′(x)<0时,x<1; 所以函数f(x)=x2–2x+4在区间(1,+∞)上单调递增, 在区间(−∞,1)上单调递减. 巩固练习 1、(P87T1)判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x2–2x+4; (2)f(x)=ex–x. 解:(2)因为f(x)=ex–x,其定义域为R. 所以 f′(x)=ex–1; 当f′(x)>0时,x>0;当f′(x)<0时,x<0; 所以函数f(x)=x2–2x+4在区间(−∞,0)上单调递减, 在区间(0,+∞)上单调递增. 例题解析 2、已知导函数的下列信息:当1<x<4时,f′(x)>0;当x<1或x>4时,f′(x)<0;当x=1或x=4时,f′(x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状. x y O y = f (x) 1 4 解:当1<x<4时,f′(x)>0:可知 f(x)在区间(1,4)上单调递增; 当x<1或x>4时,f′(x)<0:可知 f(x)在区间(−∞,1)和(4,+∞)上都单调递减; 当x=1或x=4时,f′(x)=0,这两点称为“临界点”; 综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示. 巩固练习 2、函数f(x)的图象如图所示,试画出函数y=f′(x)图象的大致形状. x y O y = f (x) a b c 解:由图可知,当x∈(0,a)∪(b,c)时,函数 f(x)的图象是“水平”的,即f′(x)=0; 当x∈(a,b)时,函数f(x)单调递减,且越减越快,即f′(x)<0且导数值越来越小. x y O f ′(x) a b c 例题解析 3、设函数f(x)=0.9x–sinx, ,你能分别用函数单调性的定义和导数的正负判断f(x)的单调性吗? 分析:(1)利用单调性的定义 可以发现,很难判断f(x) 单调性. f(x1)–f(x2)=(0.9x1–sinx1)–(0.9x2–sinx2) =0.9(x1–x2)–(sinx1–sinx2) 例题解析 3、设函数f(x)=0.9x–sinx, ,你能分别用函数单调性的定义和导数的正负判断f(x)的单调性吗? 分析:(2)利用平均变化率 于是判断f(x)在 内单调递增. 这一方法看似自然,心里却“没底”. 观察函数 的图象,平均变化率似乎小于0.9, 例题解析 3、设函数f(x)=0.9x–sinx, ,你能分别用函数单调性的定义和导数的正负判断f(x)的单调性吗? 分析:(3)利用导数求解 所以f(x)在 内单调递增. 比较这三种方法,你有什么感受? 通过比较用不同方法判断函数的单调性,让学生认识到利用导数判断函数单调性的优势. 学习新知 思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义,并思考在区间(a,b)上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系. 函数y=f(x)在给定区间 I 上,当x1、x2∈I,且x1<x2时 (1)都有 f(x1)<f(x2), 则f(x)在I上是增函数; (2)都有 f(x1)>f(x2), 则f(x)在I上是减函数. 还可用平均变化率来表示 函数的单调性的定义 (1)∀x1、x2∈I,都有 ,那么f(x)在区间I上单调递增; (2)∀x1、x2∈I,都有 ,那么f(x)在区间I上单调递减. 学习新知 思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义,并思考在区间(a,b)上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系. a b x o y A B ∀x1、x2 ∈(a,b),经过点A(x1,f (x1)),B(x2,f (x2))的直线AB的斜率就是平均变化率 设函数f(x)在区间(a,b)上的导数f'(x)为正, 直观上,能找到一点T(x0,f (x0)),使函数 f (x)的图像在点T处的切线与直线AB平行,即 T 从而函数 f (x)在区间(a,b)上单调递增. 用此方法同样可以说明函数 f (x)在区间(a,b)上单调递减. 结论:利用导数的正负来判断函数的单调性,与函数单调性定义是一致的。 课堂小结 (1)求函数的定义域; (2)求f'(x); (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0);即为f(x)的单调增(或减)区间; 1、函数的单调性与导数的正负的关系. 2、用导数判断函数单调性的步骤. 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减; $$