5.3.2-3利用导数解决与函数相关的问题课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2.3 利用导数解决与函数相关的问题 5.3 导数在研究函数中的应用 1 复习引入 1、函数最值的存在性 一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线，必有最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 2、求函数y=f(x)在[a，b]上的最值的步骤 ① 求函数f(x)在(a，b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 例题解析 1、给定函数f(x)=(x + 1)ex . (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 解：(1)函数的定义域为x∈R. f′(x)=(x+1)′ex + (x+1)(ex)′ = ex + (x+1)ex = (x+2)ex， 令f′(x)=0，解得x=–2， x (−∞，−2) −2 (−2，+∞) f ′(x) – 0 + f (x) 单调递减 单调递增 所以f(x)在 (−∞，−2) 上单调递减，在 (−2，+∞) 上单调递增； 当x=−2 时，f(x)有极小值f(−2)= . 例题解析 1、给定函数f(x)=(x + 1)ex . (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. O 1 x y f (x) = (x+1)ex 1 -2 -1 -1 (-2, ) 当x→+∞时，f(x)→+∞，f′(x)→+∞； 综上，可画出函数f(x)的大致图象如图所示. 解：(2)令f(x)=0，解得x=–1. 当x<–1时，f(x)<0；当x>–1时，f(x)>0. 所以，f(x)的图象经过特殊点 A (–2， )，B (–1，0)，C (0，1)； 当x→−∞时，与一次函数相比，指数函数y=e–x呈爆炸性增长， 从而 → 0； 例题解析 1、给定函数f(x)=(x + 1)ex . (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. O 1 x y f (x) = (x+1)ex 1 -2 -1 -1 (-2, ) 当 时，解为2个. 解：(3)方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线 y =a的交点个数； 由(1)及右图可得，当x=–2 时，f(x)有极小值f(−2) = 所以，关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论： 当 时，解为0个； 当 或a≥0时，解为1个； y =a 方法归纳 由例1可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1) 求出函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)及函数f(x)的零点； (3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出f(x)的大致图象. 随堂练习 1、设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R. (1)当m＝0时，求函数h(x)＝xf(x)的极值； (2)若函数f(x)在区间[－2，4]上有两个零点，求m的取值范围． 解：(1)当m＝0时，f(x)＝－x2＋3. 此时h(x)＝xf(x)＝－x3＋3x，则h′(x)＝－3x2＋3. 当－1<x<1时，h′(x)>0，当x<－1或x>1时，h′(x)<0， ∴h(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增． ∴h(x)有极小值h(－1)＝－2，有极大值h(1)＝2. 随堂练习 1、设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R. (1)当m＝0时，求函数h(x)＝xf(x)的极值； (2)若函数f(x)在区间[－2，4]上有两个零点，求m的取值范围． 解：(2)由f(x)＝mex－x2＋3＝0，得 f(x)在区间[－2，4]上有两个零点等价于直线y＝m与曲线 有且只有两个公共点 由g′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当－1<x<3时，g′(x)>0；当x<－1或x>3时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－2，－1)，(3，4)内单调递减，在(－1，3)内单调递增． 又g(－2)＝e2，g(－1)＝－2e， 随堂练习 1、设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R. (1)当m＝0时，求函数h(x)＝xf(x)的极值； (2)若函数f(x)在区间[－2，4]上有两个零点，求m的取值范围． 直线y＝m与曲线 有且只有两个公共点． 函数f(x)在区间[－2，4]上有两个零点. 探究新知 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用. 例题解析 2、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 所以 f′(r)=0.8π(r2 – 2r)；令 f′(r)=0，解得r=2； 当r∈(0，2)，f′(r)<0；当r∈(2，6)，f′(r)>0； 因此，当半径r>2 时，f′(r)>0，f(r)单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r<2时，f′(r)<0，f(r)单调递减，即半径越大，利润越低； 例题解析 2、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? (1)半径为 6 cm 时，利润最大； (2)半径为2cm时，利润最小．这时f(2)<0， 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ 探究新知 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出，当r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值． 思考：当r∈(0，2)时，f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗？ O r y f (r) = 0.8π ( – r2) 1 2 3 当 r∈(0，2) 时，半径增大，成本增加的速度大于获利增加的速度，且成本大于利润，因此，利润不断减少. 感悟提升 解决实际问题的基本思路是： 实际问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 实际问题的答案 上述解决问题实际的过程是一个典型的数学建模过程. 在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 随堂练习 2、利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： sin x < x，x∈(0，π). 解：设f(x)=sinx–x，x∈(0，π)， ∵f′(x)=cosx–1<0，x∈(0，π)， ∴f(x)=sinx–x在x∈(0，π) 内单调递减； 因此，f(x)=sinx–x<f(0)=0，x∈(0，π)； 即sinx<x，x∈(0，π) 成立. 分别作出函数y=sinx和y=x的图象，如图所示 O x y 1 y = x –1 π y = sin x 随堂练习 3、如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少? . 解：设圆的直径为xm，则铁丝长为 令 l′(x)=0，解得 因此，当 时，l(x)取得极小值，即为最小值. ∴当圆的直径为 时，所用材料最省. 例题解析 3、已知函数 (1)若函数f(x)在区间 上存在极值，求正实数a的取值范围； (2)如果当x≥1时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围. 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减. 所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点， 即实数a的取值范围为 例题解析 解：(2)原不等式可化为当x≥1时， 恒成立 3、已知函数 (1)若函数f(x)在区间 上存在极值，求正实数a的取值范围； (2)如果当x≥1时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围. 再令h(x)＝x－ln x(x≥1)， 所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，所以g(x)为增函数， 所以g(x)≥g(1)＝2， 故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]. 感悟提升 (1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论． (2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略 ①a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min； ②f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]min； ③f(x)＞g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min＞0； ④a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max. 随堂练习 4、已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)． ①若a＝0，则f(x)＝e2x，易得f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． ③若a＜0，则由f′(x)＝0得 当 时，f′(x)＜0；当 时，f′(x)＞0.故f(x)在 上单调递减，在 上单调递增． 随堂练习 4、已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围． 随堂练习 4、已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围． 解：(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0. ②若a＞0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna．从而当且仅当－a2ln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0. ③若a＜0，则由(1)得，当 时，f(x)取得最小值，最小值为 从而当且仅当 课堂小结 3、利用导数解决不等式恒成立问题. 2、导数在解决实际问题中的应用. 1、利用导数解决与函数相关的问题. $$