5.2.3简单复合函数的导数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.2 简单复合函数的导数 5.2 导数的函数 原函数a 导函数 f(x)＝c f′(x)＝ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝ f(x)＝sinx f′(x)＝ f(x)＝cosx f′(x)＝ f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ 复习引入 1、基本初等函数的导数公式 0 nxn－1 cosx －sinx axlna ex ex:不论经过多少次求导的风雨，我依然不改本色，真情永驻。 复习引入 2、导数的四则运算法则 (2)[f(x)·g(x)]′=___________________ (1)[f(x)±g(x)]′=_____________ 特别地，有[cf(x)]′=_______ f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf ′(x) ex:不论经过多少次求导的风雨，我依然不改本色，真情永驻。 探究新知 思考：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数. 若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和 复合而成的一个复合函数. 把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1). y通过中间变量u表示成x的函数. 追问：函数y=ln(2x－1)有什么结构特点？ 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 复合函数 随堂练习 1、指出以下函数是由哪些函数复合而成的？ (1)y＝log2(x＋1) (2)y＝(3x+5)3 (3)y＝e－0.05x＋1 y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3 探究新知 思考：如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数. y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x－sin2x]=2cos2x y′u =(sinu)′= cosu，u′x =(2x)′=2. 又 y′x =2cos2x, 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x. 追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以 y′x 表示 y 对 x 的导数，以 y′u 表示 y 对 u 的导数，以 u′x 表示 u 对 x 的导数，那么y′x与y′u及u′x有什么关系呢？ 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. y′x＝y'u· u′x 结构特点 [f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x) 结果显示 探究新知 思考：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成 以y′u 表示对 u 求导，以u′x表示对x求导 因为y'u＝(lnu)'＝ ，u'x＝2， 所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 = 复合函数求导步骤：分解—求导—相乘—回代. y′x＝y'u· u′x 例题解析 1、求以下函数的导数 (1)y＝(3x+5)3；(2)y＝e－0.05x＋1 解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数 根据复合函数求导法则，有 y'x＝y'u·u'x=(u3)'· (3x+5)'=3u2·3=9(3x+5)2. (2)设u＝－0.05x+1，则y=eu. ∴y'x＝y'u·u'x=(eu)'· (－0.05x+1)' 分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则． =eu×(－0.05) =－0.05e－0.05x+1. 感悟提升 1、求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数. 2、求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁． 随堂练习 2、求下列函数的导数 (1)y＝e2x； (3)y＝5log2(2x＋1)； 解：(1)设u＝2x，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x. (2)设y＝cosu， 则y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2 (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ 随堂练习 2、求下列函数的导数 (1)y＝e2x； (3)y＝5log2(2x＋1)； (4)设u＝－3x－1， 所以y′x＝y′u·u′x 例题解析 2、已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解法一：因为f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ① 所以f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8. ② 把②代入①得f(x)＝x2， 所以f(1)＝1，f′(x)＝2x， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝2， 故所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 例题解析 2、已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解法二：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. 随堂练习 3、曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________. 5x＋y－3＝0 解析　y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5， 故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0. 随堂练习 4、曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________. 解析：设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)． ∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为 即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 解得x0＝1， 例题解析 3、某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm)，关于时间t(单位：s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数 是y=18sinu 与 的复合函数， 则 当t=3时， 它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s. 感悟提升 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 随堂练习 5、有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S(单位：m) 关于时间t(单位：s)的函数为 ，求函数在t＝1时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数 可以看作是 与x=25－9t2的复合函数，其中x是中间变量． 故由复合函数求导法则得 将t＝1代入S′(t)，得S′(1)＝2.25 (m/s)． 它表示当t＝1 s时，梯子上端下滑的瞬时速度为2.25 m/s. 随堂练习 5、设 ，a，b为常数，曲线y=f(x)与直线 在(0，0)点处相切，求a，b的值. 解：由曲线y=f(x)过(0，0)点，可得ln1+1+b＝0，故b＝－1. 此即为曲线y=f(x)在(0，0)点处切线的斜率 由题意，得 ，故a=0. ∴a=0，b＝－1. 课堂小结 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 1、复合函数： 2、复合函数的导数法则： 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 3、复合函数求导的步骤：分解→求导→相乘→回代 y′x＝y′u·u′x $$