专题3 实数比较大小（解析版+原卷版）-2025-2026学年七年级数学下章节单元小结及期中期末复习讲义与提优测试卷（新人教版）

专题3 实数比较大小（原卷版） 类型一 利用比较熟的大小 实数的大小比较同有理数一样，可结合数轴，在数轴上大致标出点的位置，然后根据右边的数大于左边的数进行比较. 【典例1】（2024秋•西湖区校级期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来． ，﹣3，，|﹣2|，． 【变式训练】 1．（2024秋•浦江县期末）在四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 2．（2024秋•余姚市期末）如图，已知四个实数m，n，p，q在一条缺失了原点和刻度的数轴上，对应的点分别是M，N，P，Q．已知m+p＝0，则在m，n，p，q四个实数中，绝对值最小的一个数是（　　） A．m B．n C．p D．q 3．（2024秋•建湖县月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． （1）化简：|a|＝　 　，|b|＝　 　； （2）比较大小：a﹣b 　 　0，a+b 　 　0； （3）将a，b，0，﹣a，﹣b，按从小到大的顺序，用“＜”号连接． 类型二　利用平方法或立方法比较实数大小 ①已知a，b均为实数，若a3＞b3，则a＞b；反过来也成立. ②已知a，b均为正(负)实数，若a2＞b2，则a＞b(a＜b)；反过来也成立. 【典例2】（2024春•济源期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，c 　 　d（填写＞，＜或者＝） （2）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： 　 　（填“＞”或“＜”）． 【变式训练】 1．（2021•清苑区模拟）若a，b，则实数a，b的大小关系为（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b 2．（2023秋•丘北县月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3．（2024春•广信区期末）比较下列各组数的大小： （1）与6； （2）与﹣3； （3）1与． 类型三　利用作差法比较实数大小 对于实数a，b，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b. 【典例3】课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：，因为19＞16，所以4，所以4＞0． 所以0，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差法． （1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）： ①若a﹣b＞0，则a　 　b；②若a﹣b＝0，则a　 　b；③若a﹣b＜0，则a　 　b． （2）利用上述方法比较实数与的大小． 【变式训练】 1．（2024春•利辛县月考）小明在比较与的大小时，采川一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． （1）这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由a﹣b＜0得到a＜b的理论是 　 　； （2）利用上述方法比较与的大小； （3）利用上述方法比较3a﹣1与2a+1的大小． 2．（2023秋•昌平区期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵4＜5＜9，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． （1）请表示出的整数部分和小数部分； （2）试判断与的大小，并说明理由． 类型四 利用估值法比较大小 1． ‌估算两个实数的大致范围‌：2．‌估算两个实数的大致范围‌：3．调整估算精度 【典例4】（2023•龙岩模拟）估计的值在（　　） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【变式训练】 1．（2023•全椒县二模）代数式的估值在（　　） A．2∼3之间 B．3～4之间 C．3～5之间 D．4∼5之间 2．（2021春•含山县期末）通过估算，估计的值1应在（　　） A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间 3．不取近似值，估计是正数还是负数，它与﹣0.25哪个大？ 类型五 利用放缩法比较大小 放缩法的应用场景和步骤 1. ‌选择中间量‌：首先选择一个中间量c，使得a<c且c<b。 2. ‌放大或缩小‌：将a放大到c，证明c<b；或者将b缩小到c，证明a<c。 3. ‌比较大小‌：通过比较c和b的大小，间接比较a和b的大小。 【典例5】比较大小： （1）　 　； （2）　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 实数比较大小（解析版） 类型一 利用比较熟的大小 实数的大小比较同有理数一样，可结合数轴，在数轴上大致标出点的位置，然后根据右边的数大于左边的数进行比较. 【典例1】（2024秋•西湖区校级期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来． ，﹣3，，|﹣2|，． 【分析】先化简能够化简的各数，再在数轴上表示即可． 【解答】解：∵，|﹣2|＝2，， ∴各数在数轴上表示如下： ∴． 【点评】本题考查的是实数的性质，求解算术平方根与立方根，利用数轴表示实数，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式训练】 1．（2024秋•浦江县期末）在四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣20＜π， ∴最小的数是：﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2．（2024秋•余姚市期末）如图，已知四个实数m，n，p，q在一条缺失了原点和刻度的数轴上，对应的点分别是M，N，P，Q．已知m+p＝0，则在m，n，p，q四个实数中，绝对值最小的一个数是（　　） A．m B．n C．p D．q 【分析】找到数轴的原点后，判断离原点最近的点即可． 【解答】解：由题意知，原点在M、P的中点，如图： ∴绝对值最小的数是n． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的几何意义、数轴以及绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2024秋•建湖县月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． （1）化简：|a|＝　﹣a　，|b|＝　b　； （2）比较大小：a﹣b 　＜　0，a+b 　＜　0； （3）将a，b，0，﹣a，﹣b，按从小到大的顺序，用“＜”号连接． 【分析】（1）根据数轴得出a＜﹣1，0＜b＜1，再根据绝对值的性质得出答案即可； （2）根据数轴得出a＜﹣1，0＜b＜1，再根据有理数的加减法则得出即可； （3）根据数轴得出a＜﹣1，0＜b＜1，再根据实数的大小比较法则比较即可． 【解答】解：（1）从数轴可知：a＜﹣1，0＜b＜1， 所以|a|＝﹣a，|b|＝b， 故答案为：﹣a，b； （2）从数轴可知：a＜﹣1，0＜b＜1， 所以a﹣b＜0，a+b＜0， 故答案为：＜，＜； （3）∵a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a＜﹣b＜0＜b＜﹣a． 【点评】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较，绝对值，有理数的加减等知识点，能根据数轴得出a＜﹣1＜0＜b＜1是解此题的关键． 类型二　利用平方法或立方法比较实数大小 ①已知a，b均为实数，若a3＞b3，则a＞b；反过来也成立. ②已知a，b均为正(负)实数，若a2＞b2，则a＞b(a＜b)；反过来也成立. 【典例2】（2024春•济源期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，c 　＜　d（填写＞，＜或者＝） （2）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： 　＞　（填“＞”或“＜”）． 【分析】（1）利用平方法比较大小即可； （2）【分析】先计算出：（）2＝10，（）2，而10，因此． 【解答】解：（1）∵，， ∴c2＝54，d2＝80， ∵c2＜d2， ∴c＜d； 故答案为：＜； （2）解：（）2＝10，（）2， ∵10， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题考查的是实数大小比较，熟练掌握其比较方法是解题的关键． 【变式训练】 1．（2021•清苑区模拟）若a，b，则实数a，b的大小关系为（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b 【分析】直接利用a，b接近的有理数，进而分析得出答案． 【解答】解：∵， ∴23， ∵， ∴34， ∴a＜b． 故选：B． 【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确得出各数接近的有理数是解题关键． 2．（2023秋•丘北县月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【分析】先化简b，c，再进行比较即可解答． 【解答】解：， ， ∴， 即c＜b＜a， 故选：D． 【点评】本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握绝对值，立方根． 3．（2024春•广信区期末）比较下列各组数的大小： （1）与6； （2）与﹣3； （3）1与． 【分析】运用平方根和立方根知识进行逐一变形、比较． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵ ∴， ∵ ∴， ∴． 【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用平方根和立方根知识进行估算、求解． 类型三　利用作差法比较实数大小 对于实数a，b，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b. 【典例3】课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：，因为19＞16，所以4，所以4＞0． 所以0，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差法． （1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）： ①若a﹣b＞0，则a　＞　b；②若a﹣b＝0，则a　＝　b；③若a﹣b＜0，则a　＜　b． （2）利用上述方法比较实数与的大小． 【分析】（1）根据不等式和方程移项可得结论； （2）同理，利用作差法可比较大小． 【解答】解：（1）①若a﹣b＞0，则a＞b； ②若a﹣b＝0，则a＝b； ③若a﹣b＜0，则a＜b． 故答案为：①＞，②＝，③＜； （2）， 因为192＝361，361＞198， 所以19， 所以190． 所以0，所以． 【点评】本题考查了实数大小的比较，根据所给的材料，运用类比的方法解决问题． 【变式训练】 1．（2024春•利辛县月考）小明在比较与的大小时，采川一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． （1）这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由a﹣b＜0得到a＜b的理论是 　不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变　； （2）利用上述方法比较与的大小； （3）利用上述方法比较3a﹣1与2a+1的大小． 【分析】（1）（2）小题均根据已知条件中的方法，求出两个数的差，从而利用不等式的基本性质进行判断解答即可； （3）分三种情况判断两数的大小：当a＝2，当a＞2，当a＜2时，分别判断即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ， ∴， ∴由a﹣b＜0得到a＜b的理论是：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变， 故答案为：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变； （2）， ∵， ∴，即， ， ； （3）∵当a＝2时，3a﹣1＝2a+1， 当a＞2时，3a﹣1＞2a+1； 当a＜2时，3a﹣1＜2a+1． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较和估算无理数大小，解题关键是熟练掌握利用求差法比较数大小的方法． 2．（2023秋•昌平区期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵4＜5＜9，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． （1）请表示出的整数部分和小数部分； （2）试判断与的大小，并说明理由． 【分析】（1）按照材料1的解题思路进行计算，即可解答； （2）按照材料2的解题思路进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵16＜19＜25， ∴， ∴45， ∴的整数部分为4，小数部分为4； （2）， 理由：， ∵5＜0， ∴0， ∴． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数比较大小，理解材料1和材料二的解题思路是解题的关键． 类型四 利用估值法比较大小 1． ‌估算两个实数的大致范围‌：2．‌估算两个实数的大致范围‌：3．调整估算精度 【典例4】（2023•龙岩模拟）估计的值在（　　） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【分析】先判断在哪两个连续整数之间，继而得出的范围． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， 则0.51， 故选：B． 【点评】本题考查无理数的估算，首先判断出1的范围是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023•全椒县二模）代数式的估值在（　　） A．2∼3之间 B．3～4之间 C．3～5之间 D．4∼5之间 【分析】先估算的值，进而可求出的取值范围． 【解答】解：∵4＜5＜6.25， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算． 2．（2021春•含山县期末）通过估算，估计的值1应在（　　） A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间 【分析】首先确定的范围，进而得到1的范围． 【解答】解：∵8＜21＜27， ∴23， ∴31＜4， 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小要用逼近法． 3．不取近似值，估计是正数还是负数，它与﹣0.25哪个大？ 【分析】利用算术平方根性质判断正负，利用作差法比较大小即可． 【解答】解：∵3，2，3﹣20， ∴是负数， （﹣0.25）， ∵42， ∴0， 则0.25． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，作差法是比较大小的一种重要方法． 类型五 利用放缩法比较大小 放缩法的应用场景和步骤 1. ‌选择中间量‌：首先选择一个中间量c，使得a<c且c<b。 2. ‌放大或缩小‌：将a放大到c，证明c<b；或者将b缩小到c，证明a<c。 3. ‌比较大小‌：通过比较c和b的大小，间接比较a和b的大小。 【典例5】比较大小： （1）　＜　； （2）　＞　． 【分析】（1）根据：5，5，判断出它们的大小关系即可； （2）根据：1，1，判断出它们的大小关系即可． 【解答】解：（1）∵5，5， ∴． （2）∵1，1， ∴． 故答案为：＜、＞． 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确放缩法的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$