3.1 列代数式表示数量关系（第3课时）教学设计-2024-2025学年人教版数学七年级上册

3.1 列代数式表示数量关系（第3课时） 【素养目标】 1、引导学生经过探究逐步抽象出反比例的意义，理解反比例的意义，能判断两种量是否成反比例关系。 2、在探究、分析过程中，体会量的变化规律，渗透函数思想，培养学生的迁移类推能力。 3、体会数学与生活的密切联系，激发学生的学习兴趣。 【教学重点】 理解反比例的意义，能判断两种量是否成反比例关系。 【教学难点】 在探究中抽象出反比例的意义，渗透函数思想。 【教学过程】 任务一：复习旧知，导入新课 师：小学我们研究了成正比例的量，请大家观察下面的表格，判断表格里的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 课件出示： 判断下面题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 （1）一辆汽车以同样的速度前行，行驶的路程和时间如下表。 时间/时 1 2 3 4 5 … 路程/km 60 120 180 240 300 … （2）购买同样的水果，购买数量和总价如下表。 数量/kg 1 2 3 4 5 … 总价/元 2.5 5 7.5 10 12.5 … （3）李叔叔加工一种零件，加工时间和零件数量的关系如下表。 加工时间/时 1 2 3 4 5 … 零件数量/个 50 100 150 200 250 … 教师指名学生汇报，让学生说一说判断的具体方法，并追问：判断两种量是否成正比例关系的方法是什么？ 预设：先判断两种量是不是相关联的量，再看两种量的比值是否一定。 师：数学里，既然有正比例关系，那么有没有反比例关系呢？（等待片刻）答案是肯定的，今天这节课我们就一起来研究反比例。 任务二：师生互动，合作探究 （一）反比例的意义 1、反比例的意义。 课件出示 把相同体积的水导入底面积不同的圆柱形容器，容器的底面积与水的高度的变化情况如下表。 容器的底面积/cm2 10 15 20 30 60 … 水的高度/cm 30 20 15 10 5 … 师：把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，记录容器的底面积与水的高度的变化情况。先独立思考下面的问题，再在小组内交流。 出示【学习任务一】 学习任务一 把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器，容器的底面积与水的高度的变化情况如下表。 杯子的底面积/cm2 10 15 20 30 60 … 水的高度/cm 30 20 15 10 5 … （1）表中有哪两种量？ （2）水的高度是否随着杯子的底面积的变化而变化？怎样变化的？ （3）表中相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少？这个乘积表示什么？一定吗？ 学生活动，教师巡演。 汇报交流。 （学生有了前面研究正比例关系的经验，再研究反比例关系相对来说比较简单，教师可以放手让学生合作探究，只要适时点拨即可。） 针对问题（1）： 预设：从表格中可以看出，第一行数据是容器的底面积，第二行数据是水的高度，所以表格中有容器的底面积和水的高度这两种量。 针对问题（2）： 预设：观察表格，从左往右看，容器的底面积在不断变大，相应的水的高度随着容器的底面积的变大而不断变小；从右往左看，容器的底面积在不断变小，相应的水的高度随着容器的底面积的变小而不断变大。 师小结：水的高度是随着容器的底面积的变化而变化的，所以水的高度和容器的底面积是两种相关联的量。 针对问题（3）： 预设：通过计算，我们发现30×10＝20×15＝15×20＝…＝300，水的高度与容器的底面积的乘积都等于300. 追问：同学们知道了每两个相对应的数的乘积都是300，那么这个“300”表示什么呢？ 预设：这个“300”实际上就是水的体积，它是一定的。 师：刚才我们说到了一个不变的量——水的体积。那水的体积与容器的底面积、水的高度有什么关系呢？你能用式子表示出这个关系吗？ 预设：底面积×高＝水的体积（一定）。 师：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 师：谁能结合例题说说什么是成反比例的量？哪两种量成反比例关系？ 预设：例题中水的高度与容器的底面积是两种相关量的量，而且水的高度与容器的底面积的乘积是一定的。这时我们就说水的高度与容器的底面积是成反比例的量，水的高度与容器的底面积成反比例关系。 2、用字母表示反比例的关系。 师：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），你能写出反比例关系的表达式吗？ 预设：xy＝k（一定）。 3、生活中的反比例关系。 师：你能举出生活中成反比例关系的例子吗？ 学生各抒己见，教师追问：相关联的量是哪两种？不变的量是什么？ 预设： （1）如果总价一定，单价与数量成反比例关系。 （2）如果长方形的面积一定，长和宽成反比例关系。 （3）如果汽车行驶的路程一定，速度和时间成反比例关系。 … 师：同学们举了这么多成反比例关系的例子，那成反比例关系的两种量有什么特点呢？ 引导学生得出成反比例关系的两种量的特点：（1）两种量是相关联的量；（2）这两种量中相对应的两个数的乘积是一定的。 4、判断两种量是否成反比例关系的方法。 任务三：尝试练习，巩固内化 学习任务二 判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由。 （1）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量。 （2）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数。 （3）在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积。 学生独立思考，教师巡视。 汇报交流。 （大部分学生能够作出判断，但表达不够清楚，也不知道怎么书写，个别学生不会分析，不能作出正确判断，需要教师引导。所以教师要注意引导学生说说是怎么想的，并模仿成正比例关系的意义来表达，学会用数量关系书写。） 教师小结判断两种量是否成反比例关系的方法：根据成反比例关系的两种量的特点判断即可。先判断两种量是不是相关联的量，再看两种量的乘积是否一定。若乘积一定，则两种量成反比例关系，若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 任务四：课堂小结，形成体系 师：现在我们已经学习了正比例和反比例，它们有什么相同点和不同点呢？请小组讨论交流，完成下表。 学习任务三： 小组讨论正比例和反比例的相同点和不同点，把表格补充完整。 正比例 反比例 相同点 不同点 学生活动，教师巡视。 汇报交流。 （学生通过小组合作能够总结出正、反比例的相同点与不同点。汇报时，教师要注意关注学生的语言表达，可以先让整理不太完整的小组汇报，再通过集体交流完善。） 预设： 相同点：都有两种相关联的量；都是一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点：成正比例关系的两个量，变化的方向相同，一种量增大（减小），另一种量也同时增大（减小）；成反比例关系的两个量，变化的方向相反，一种量增大（减小），另一种量反而减小（增大）； 成正比例关系的两个量比值一定，关系式是（一定）；成反比例关系的两个量乘积一定，关系式是（一定）。 【布置作业】 课本P75练习1，2，3 学科网（北京）股份有限公司 $$