浙江省宁波市知恩中学、桃源书院2024-2025学年高一下学期期期初考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 高一期初考试数学试卷 选择题部分 一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．将37 30 化为弧度是（ ） A． 5π 24 B． 5π 12 C． 5π 48 D． 7π 12 2．已知 a为实数，则“ 22 2a a ”是“ 1a  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数 2 2 4 , 0 ( ) , 0 x a x f x x ax a x        是R 上的增函数，则实数 a的取值范围是（ ） A．[0, 4] B． (0,4) C． (0,4] D．[0, 4) 4．已知 π 3cos( ) 12 4    ，则 πsin(2 ) 3   （ ） A． 7 16  B． 1 8  C． 1 8 D． 7 16 5．下列四个函数中的某个函数在区间 π π, 2 2     上的大致图象如图所示，则该函数是（ ） A． 3 2 2x x x xy     B． cos2 2 2x x x xy   C． 21 2 2x x xy     D． sin2 2 2x x xy   6．已知 0x  ， 0y  ，且 3 1 1 x y   ，则 2 xx y y   的最小值为（ ） A．9 B．10 C．12 D．13 7．已知函数 32 2 2 1( ) 2 log , ( ) log , ( ) log 2 x xf x x g x x h x x x          的零点分别为 , ,a b c则（ ） A．a b c  B．b a c  C． c a b  D．b c a  8．已知 π π0 ,0 2 2      且  3sin sin 2    ，则 tan  的最大值为（ ） A． 2 4 B． 2 2 C．1 D． 2 二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分） 知恩中学 桃源书院 二 O 二四学年 第 二 学 期 试卷第 2页，共 4页 9．下列说法正确的是（ ） A．命题“ Rx  ，  1 2f x  ”的否定是“ Rx  ，   1f x ≤ 或   2f x  ”； B．已知集合  20,2 1, 3 1A a a a    ，若 1 A  ，则实数 1a   或 2 ； C．函数  1f x 的定义域为  1,2 ，则函数  2f x 的定义域为  3,0 ； D．若 0a b  ， 0c  ，则 b c b a c a    . 10．已知 0, 0a b  ，且 4a b  ，则下列不等式恒成立的是（ ） A． 2 2 8a b  B． 1 1 1 a b   C． 2 2 8a b  D． 1 3 4a b    11．已知函数    2sin 1f x x    π0 2,        ，满足   π 2 3 f x f x        ，且对任意 Rx ，都有   5π 12 f x f       ，当取最小值时，则下列正确的是（ ） A．  f x 图象的对称中心为 π π ,1 Z 2 6 k k      B．  f x 在 π π, 12 6     上的值域为 3 1,3   C．将 2sin 2 1y x  的图象向左平移 π 6 个单位长度得到  f x 的图象 D．  f x 在 π π, 6 2      上单调递减 非选择题部分 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．函数 y = log3 2x − 1 + 1的定义域是 ． 13．已知 2( ) lg( 8 7)f x x x    在 ( , 1)m m 上是增函数，则m的取值范围是 ． 14. 实数 a，b满足a2 − a+ b2 = 0，则使 a +� ≤ 2 恒成立的实数的最大值为 ． 四、解答题：（本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在平面直角坐标系中，角 的始边与 x轴的非负半轴重合，角 的终边与单 位圆交于点A，已知       25π 3πsin cos tan π 2 2 πcos sin π 2 f                           . (1)若 A的横坐标为 3 2  ，求  f  的值； (2)若   2f   ，求 2sin 3sin cos 1    的值. 试卷第 3页，共 4页 16．（15分）设集合  2 22 1 0A x x mx m     ，  2 4 5 0B x x x    . （1）若 5m  ，求 A B ； （2）若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 m的取值范围. 17．（15分）已知二次函数 ( )f x 满足 ( 1) ( ) 2f x f x x   且 (0) 1f  . （1）求 ( )f x 的解析式； （2）求 ( )f x 在  , 1 ,x t t t R   上最小值 ( )g t 的表达式. 试卷第 4页，共 4页 19．（17分）如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面 几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦 函数  cosh x 尤为特殊.类似的有双曲正弦函数  sinh x ，双曲正切函数      sinh tanh cosh x x x  .已 知函数  sinh x 和  cosh x 满足以下条件：①    2 2cosh sinh 1x x  ； ②    sinh cosh exx x  (1)请基于以上信息求函数  sinh x 和  cosh x 的初等函数表达式， 并证明：      2 2cosh 2 sinh coshx x x  . (2) 设          cosh sinh ln cosh sinh 2g x x x x x       . 证明：  g x 有唯一的正零点 0x ，并比较 0x 和 0 3ln 4x 的大小. (3)关于 x的不等式      tanh cosh 2 tanh 2 sinh 3 0x m x     对任意 1ln , ln2 2 x      恒成立，求 实数m取值范围.