第一章第11讲 整式的乘除单元提升卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第11讲 整式的乘除单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．下面各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．已知，则“”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 7．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 9．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 10．我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为（x、y是整式），所以M为“完全式”．若（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．计算： ． 12．若，，则的值为 ． 13．若多项式是完全平方式，则的值为 ． 14．如果，，，那么，，的大小关系为 ． 15．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 16．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①和图②所示的两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为．当时， ． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．如图，某市有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少？并求出当，时的绿化面积． 20．（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．已知下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式； (2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论． 22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 23．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 25．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论 (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①；； 公式②：； 公式③；； 公式④：． 图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ． (2)如图5，在等腰直角三角形中，，为边上任意一点不与端点重合，过点作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①若为边的中点，则的值为 ； ②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 整式的乘除单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可 【详解】解：， 故选：D 2．下面各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、能用平方差公式计算，故符合题意； B、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 3．某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的运算，准确熟练地运用公式和法则进行计算是解题的关键． 根据完全平方公式，合并同类项，单项式除以单项式，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 5．计算的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了有理数乘方运算及积的乘方逆运算．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 6．已知，则“”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式得到或，然后把等式右边展开，从而得到M的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴或， 即或， ∴或． 则符合M的整式有3个， 故选：C． 8．观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式规律题、积的乘方的逆用 【分析】由各单项式的系数和字母因数的规律，即可求解． 本题主要考查了单项式规律题，解题的关键是：找到各单项式的系数和字母因数的规律． 【详解】解：各单项式的系数为，，，，，， 第个单项式系数为， 各单项式字母因数为，，，，，， 第个单项式字母因数为， 第个单项式为， 故选：A． 9．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算．先将整理成，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 10．我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为（x、y是整式），所以M为“完全式”．若（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， S为“完全式”， ， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 12．若，，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂相除，求代数式的值．根据题意先将整理为，继而得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】8或/或8 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据所给多项式可得两平方项分别为、，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：8或． 14．如果，，，那么，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别求出，，的值，然后在比较大小即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 由题意可知，这个多项式是，然后展开，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式是： ． 16．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①和图②所示的两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为．当时， ． 【答案】5 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差得出，根据即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘除法，积的乘方的运算法则进行计算即可． （1）根据乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算加减法即可； （2）根据同底数幂的乘除法，积的乘方进行计算，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据平方差公式和完全平方公式将小括号展开，合并后再计算除法，得最简结果，再把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时、原式． 19．如图，某市有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少？并求出当，时的绿化面积． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值的应用，根据长方形面积减去中间部分的面积为绿化面积即可得到绿化面积的代数式，再把字母的值代入求解即可． 【详解】解：． 当，时，． 则绿化的面积是多少，当，时的绿化面积为． 20．（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）m的值为15；（2）512 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】（1）解：原式 即，则，即， ∴m的值为15； （2）解：原式． ∴的值为512． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．已知下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式； (2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论． 【答案】(1)； (2)4，证明见解析． 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了规律性：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律； （1）观察已知等式得到一般性规律，写出第6个等式与第n个等式即可； （2）任意两个连续偶数的平方差能被4整数，验证即可． 【详解】（1）解：第6个等式为：， 第n个等式为：； （2）解：任意两个连续偶数的平方差能被4整除， 理由为：设m为整数，则， 则任意两个连续偶数的平方差能被4整除． 22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）12；（2）；【拓展】 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式解决问题． 探究：利用两个面积相等列式即可； 应用：①利用探究中的公式计算即可；②利用探究中的公式计算即可； 拓展：算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：探究：图①中的阴影面积为；图②的面积为； 这两个面积相等，所以， 故答案为：． 应用：①根据探究的公式可得，； 因为，， 所以 故答案为：12； ②原式． 拓展：原式 ． 23．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【答案】(1) (2)①130；② 【知识点】求完全平方式中的字母系数、整式的混合运算 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． （1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可； （2）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据，得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①． 因为， 所以， 即， 所以， 所以． ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以，解得． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 25．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论 (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①；； 公式②：； 公式③；； 公式④：． 图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ． (2)如图5，在等腰直角三角形中，，为边上任意一点不与端点重合，过点作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①若为边的中点，则的值为 ； ②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程，请说明理由． 【答案】(1)①，②，④，③； (2)①，②成立，理由见解析 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）①由题意可得，，，都是等腰直角三角形，四边形是正方形，设，从而用含的代数式表示出、进行计算即可； ②由题意可得，，，都是等腰直角三角形，四边形是长方形，设，，从而用含、的代数式表示出、进行计算即可． 【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：①由题意可得：，，，都是等腰直角三角形，四边形是正方形， 设， ，，，， ， ， ； 故答案为：； ②成立，证明如下： 由题意可得：，，，都是等腰直角三角形，四边形是长方形， 设，， ，，，， ， ， 仍成立． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$