4.7相似三角形的性质 课时作业2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册数学4.7相似三角形的性质 课时作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，若给定其相似比和的长，则下列线段长度能确定的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，，已知，，则和的面积和等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，P为▱ABCD边AD的中点，E、F分别是PB、PC上的点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离BB′为36cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（　　）cm的地方． A．12 B．24 C．18 D．9 5．如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为（   ） A．8 B．9.5 C．10 D．5 7．如图，将矩形沿对折，点落在处，点落在边上处，与相于点，若，，，则周长的大小为（    ） A．8 B．10 C．12 D．6 8．如图，小颖想用所学知识估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点三点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得， 则小颖算出河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 ． 10．如图，正方形的边长为，以为对角线作正方形，以为对角线作正方形，以为对角线作正方形，，相交于点，，相交于点，，相交于点，则的面积是 （为正整数）    11．如图，梯形中，，，点在边上，，，，若与相似，则的长为 ． 12．如图，、分别为中、边上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是 （只需填上你认为正确的一种情况即可）． 13．点G是的重心，，交边于点D，如果，那么的长是 ． 三、解答题 14．锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△AEF∽△ACG． （2）求证：∠ADE=∠B． （3）若AD=3，AB=5，求． 15．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．    (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 16．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． (1)求证：； (2)若这个矩形的边，则这个矩形的长、宽各是多少? 17．【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言是：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2＝AD•BD，（2）AC2＝AB•AD，（3）BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论（2）BC2＝AB•BD． 【结论运用】 （2）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若BE＝2，求OF的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A A A A B 1．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质，是解题的关键．根据相似三角形的性质，得出，即可得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵给定其相似比和的长， ∴线段长度能确定． 故选：C． 2．A 【分析】设，根据平行线和矩形的性质，分别证明四边形、四边形是矩形，得、、；根据相似三角形的性质，通过证明，得，再通过求解分式方程，得，从而完成求解． 【详解】解：根据题意，设，， ∵矩形， ∴，，，， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴是的解， ∴， ∴， ∴和的面积和等于，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形、平行线、分式方程、相似三角形的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 3．C 【分析】证明△PEF∽△PBC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵，∠EPF=∠BPC， ∴△PEF∽△PBC， ∴=（）2=， ∵P为▱ABCD边AD的中点， ∴S△PAB=S△PBC， ∴=， 故选C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．A 【详解】∵AB∥A′B′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴AB：A′B′=OD：OD′， 即1：2=OD：（36﹣OD）， 解得：OD=12cm． ∴蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛12cm的地方． 故选A． 5．A 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比． 根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：两个相似三角形的周长比为， 两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形的面积比为． 故选：． 6．A 【分析】在□ABCD中，由已知条件可得△ADF是等腰三角形，；同理△ABE也是等腰三角形，可知，所以；在△ABG中，，，，由勾股定理可得，又因为△ABE是等腰三角形，，所以，所以△ABE的周长等于16，又由□ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8． 【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，，，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴，， ∴， ∴，∴， ∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE也是等腰三角形， ，， ∴， ∴在△ABG中，，，， 可得：， 又∵，， ∴， ∴△ABE的周长等于16， 又∵四边形ABCD为平行四边形，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选：A 【点睛】本题主要综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查． 7．A 【分析】根据折叠的性质可知，，利用勾股定理可求出AH的值，得出三角形HAE的周长，再通过证明，根据三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵根据折叠的性质可知，， ∴ 解得： ∴ ∴三角形HAE的周长为12 根据同角的余角相等，可得出 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查的是折叠问题，涉及的知识点有勾股定理，相似三角形的判定及性质，难度不大． 8．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由结合对顶角相等可得，从而得到，代入数据进行计算即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．3.2m 【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据同一时刻物体影子与实际高度成比例得，进行计算即可得PF的长度，即可得． 【详解】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ， ∵PQ⊥QN，MN⊥QN， ∴四边形FQNM是矩形， ∴FQ=MN=0.8， ∵同一时刻物体影子与实际高度成比例， ∴， ∴， ∴PF=2.4， ∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m）， 故答案为：3.2m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论． 10． 【分析】过点作，可证，且，从而可证，再证，可得，同理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，    正方形的边长为，以为对角线作正方形，以为对角线作正方形， ，，， ， ， ， ，且， ， ，且， ， ， ， 同理可得：， 的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形变化规律，正方形的性质，三角形相似的判定及性质等，找出变化规律是解题的关键． 11．或 【分析】分△ABF∽△FCD和△ABF∽△DCF两种情况，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：当△ABF∽△FCD时， ，即， 解得，CF=8； 当△ABF∽△DCF时， ，即， 解得，CF=2， 故答案为2或8． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 12．∠C=∠ADE（或∠B=∠AED等） 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】∵∠DAE=∠CAB， ∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB． 【点睛】这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性试题，答案不唯一． 13．6 【分析】先根据三角形重心的性质得，则，再证明，利用相似比可求出，然后利用三角形重心定义得到为边上的中线，从而得到． 【详解】解：如图： 点是的重心， ， ， ， ， ， ， 点是的重心， 为边上的中线， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质． 14．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据条件，可得，又，证明即可； （2）由（1）知，证明得到∠AEF=∠D，再利用公共角相等即可证明∠ADE=∠B； （3）由（2）知，再证明，运用相似三角形对应边的比相等即可求解出结果． 【详解】明：（1）如图AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F ∴∠AFE=∠AGC=90° 在ΔAEF与ΔACG中 ∠AFE=∠AGC=90° ∠EAF=∠GAC ∴ΔAEF∽ΔACG （2）由（1）知， ∴∠AEF=∠C 在ΔADE与ΔABC中 ∵∠AEF=∠D，∠DAE=∠BAC（公共角） ∴∠ADE=∠B （3）由（2）知在ΔADE与ΔABC中 ∵∠AEF=∠C ∠DAE=∠BAC（公共角） ΔADE∽ΔABC ∴ 由（1）知 ∴ ∴ 又已知AD=3，AB=5，∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质综合运用，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握相似三角形判定和性质是解决本题的关键． 15．(1)证明见解析 (2)①   ② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论； （2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）①解：如图2，连接，    ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 由（1）知：点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵，Q是的中点， ∴； ②如图3，过F作，    ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．(1)见解析 (2)长mm，宽为mm 【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）设宽为x mm，则长为2x mm，同（1）列出比例关系求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形PNQM为矩形， ∴MN∥PQ， 即PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC； （2）设边宽为x mm，则长为2x mm， ∵四边形PNMQ为矩形， ∴PQ∥BC， ∵AD⊥BC， ∴PQ⊥AD， ∵PN：PQ=1：2， ∴PQ为长，PN为宽， ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， 由题意知PQ=2x mm，AD=80mm，BC=120mm，PN=x mm， ∴， 解得x=，2x=， 即长为mm，宽为mm， 答：矩形的长mm，宽为mm． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键． 17．（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）通过证明Rt△CBD∽Rt△ABC得到CB：AB=BD：BC，然后利用比例性质即可得到BC²=AB·BD； （2）根据射影定理得BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，则BO•BD=BF•BE，即， 加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED； （3）先计算出CE 、DE、OB的长，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到 =，即可求得OF的长． 【详解】（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BDC=∠ACB=90°， 而∠CBD=∠ABC， ∴Rt△CBD ∽Rt△ABC，∴CB：AB=BD：BC， ∴ =AB•BD； （2）①证明：如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD=90°， ∴BC2=BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2=BF•BE， ∴BO•BD=BF•BE， 即 ， 而∠OBF=∠EBD， ∴△BOF∽△BED； ②∵在Rt△BCE中，BC=6，， ∴CE=，∴DE=BC-CE=4， 在Rt△OBC中，OB=， ∵△BOF∽△BED， ∴=，即， ∴OF=. 【点睛】本题考查射影定理. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$