专题07 平行四边形的性质和判定九种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题07 平行四边形的性质和判定九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行四边形的性质求角度 2 类型二、利用平行四边形的性质求线段 4 类型三、利用平行四边形的性质求面积 7 类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 8 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 11 类型六、利用平行四边形的性质证明 17 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 22 类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 25 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 28 压轴能力测评（18题） 31 解题知识必备 1. 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 3. 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 压轴题型讲练 类型一、利用平行四边形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形中，比大，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点，若，则 ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，那么的度数是 ． 类型二、利用平行四边形的性质求线段 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 2．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 类型三、利用平行四边形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【详解】 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．    类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（  ） A．20 B．10 C．15 D．12 【变式训练】 1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（    ） A． B．C．D． 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 类型六、利用平行四边形的性质证明 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且． (1)写出图中与相等的角，并证明； (2)求证： (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式训练】 1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的面积. 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．    (1)求证：平分； (2)若点E为中点，求证：； (3)若，，，求的面积． 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 【变式训练】 1．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）在中，E为边上一点，，若平分，， 则 度． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）在平行四边形中，，则与之间的距离为 9．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．    三、解答题 11．（江苏省淮安市开明集团2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 12．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 15．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）（1）如图1，在中，点在上，平分，，求． （2）如图2，在中，点是的中点，请过点作的平行线交于点． （仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 16．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 17．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 18．（24-25九年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，是的中线，，交于点F，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行四边形的性质和判定九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行四边形的性质求角度 2 类型二、利用平行四边形的性质求线段 4 类型三、利用平行四边形的性质求面积 7 类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 8 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 11 类型六、利用平行四边形的性质证明 17 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 22 类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 25 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 28 压轴能力测评（18题） 31 解题知识必备 1. 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 3. 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 压轴题型讲练 类型一、利用平行四边形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形中，比大，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点，若，则 ． 【答案】/130度 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由中，平分，，可得，，则，计算求解，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，那么的度数是 ． 【答案】40 【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的有关计算， 由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，，由角平分线的定义可得出，即可求出 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：40． 类型二、利用平行四边形的性质求线段 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 2．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 类型三、利用平行四边形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键． 根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴和关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积与的面积比值是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．    【答案】12 【分析】由平行四边形的性质得，则，得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（  ） A．20 B．10 C．15 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质，结合图象分析题意是解题关键．由图2得，当点M在点C处时，，即，当点M到达点D时，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：由图2得，当点M在点C处时，，即， ∴， 当点M到达点D时，，即， 在中，，即， ∴， ∴， ∴的面积是． 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了性质，动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和． 【详解】解：过点作于点 ∵的四条边都相等， ∴． 由图象可知，点由点到点用时为，的面积为． ， ， ， 当点从点到点时，用时为 ， 中， ， 的四条边都相等， ， 中， ， 解得： 故选：C． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，厘米， 厘米， 点从点出发以每秒厘米的速度， 点走完所用的时间为：秒， 当点在上时，；故排除； 当时，点在点处，过点作于点，如图所示： ， ， ， 厘米， 厘米， 厘米， 平方厘米， 故选：B． 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可判断①， 由，，得，故②正确，设，则，对，运用勾股定理即可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ，， ， 设，则，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，∴，故③正确； ，， 是的中点， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立． 【详解】解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①正确； 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交与， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的个数有个， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 类型六、利用平行四边形的性质证明 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且． (1)写出图中与相等的角，并证明； (2)求证： (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，由垂直的定义得，然后根据等式的性质可得； （2）延长交于点F．由平行四边形的性质得，求出可得，然后根据证明即可证明结论成立； （3）由可得，进而可证，然后由勾股定理得，从而可得． 【详解】（1）． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ， ． ． 即． （2）如图，延长交于点F． 四边形ABCD是平行四边形， ． ． ． ， ． 在中，． ． ， ． ． ， ． （3）． 由（2）可得，， ． 在中，，由勾股定理可得， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可． （1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可； （2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．    (1)求证：平分； (2)若点E为中点，求证：； (3)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)168 【分析】（1）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证； （2）证明，即可得到，根据即可证明； （3）过点E作于M，设，则，根据勾股定理列出方程 ，解得，进而得到，即可求出． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵点E为中点， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：如图，过点E作于M，设，则． 根据勾股定理得 ， 解得， ， ．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、画旋转图形、格点作图题 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）根据题意，结合全等三角形的性质和平行四边形的性质，即可解答； （2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； 【变式训练】 1．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、无刻度直尺作图 【分析】本题考查尺规作图和无刻度直尺作图； （1）根据平行四边形的性质和判定，确定缺少的条件，再利用尺规作图即可； （2）利用平行四边形对角线交点以及中心对称性作图即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求：      （2）如图所示，即为所求：    类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）利用角直角三角形的性质求得的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案； （2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，是边的中点， ，， 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点，    由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 在中，， ， 又是边的中点， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可． （2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明； （2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解； （2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解； （3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ，， ， 平行四边形的周长为：； （3）， ， 即， 中，， ， ， ， ． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 根据根据平角等于列式计算求出的度数，再平行四边形的对角相等，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．根据平行四边形的性质求出，再利用三角形内角即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据题意得到，，然后求出，，然后根据勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】∵的周长是 ∴ ∵的周长比的周长多 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用平行四边形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上定理与性质是解题关键．由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④． 【详解】解：①∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ②如图，延长，交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ④设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上可知：一定成立的是①②④， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）在中，E为边上一点，，若平分，， 则 度． 【答案】35 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质．证明是等边三角形，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）在平行四边形中，，则与之间的距离为 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据题意作图过点作于点，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下，，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴与之间的距离为， 故答案为： ． 9．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．    【答案】或4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用．分情况求解是解题的关键． 由题意知，，，运动时间，当时，；当时，；由以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且，可得，分情况求解即可． 【详解】解：由题意知，，，运动时间， 当时，； 当时，； ∵以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当t的值为或4时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或4． 三、解答题 11．（江苏省淮安市开明集团2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）首先求得，然后证得，进而得到． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 12．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，证明见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查角平分线的画法、平行四边形的性质等，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接交点与点A交于点E，AE即为所求； （2）先根据平行四边形的性质得出，得出，由角平分线的性质得出，所以，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）相等，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）由平行四边形，可得，则，由平分，可得，则，进而可证； （2）由题意得，，，证明，则，如图，连接，由，可得，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 14．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理； （1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 的面积． 15．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）（1）如图1，在中，点在上，平分，，求． （2）如图2，在中，点是的中点，请过点作的平行线交于点． （仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）由可得，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出的度数，再利用三角形的内角和，即可求解； （2）连接平行四边形的对角线、交于一点，再连接该交点与点，交于点，即可求解． 【详解】（1）， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ； （2）如图，即为所求， 16．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】(1) (2)， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 17．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【知识点】化为最简二次根式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见解析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．（24-25九年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，是的中线，，交于点F，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)的长为． 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）证明得出，证出，由，即可得出四边形是平行四边形； （2）过点Q作于M，作于N， 连接，由角平分线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出由线段垂直平分线的性质得出，证明得出，进而得出结论； （3）由平行四边形的性质得出， 由（2）得出，过C作于K，连接，由直角三角形的性质得出 得出，由线段垂直平分线的性质得出在 中，由勾股定理得出即解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：过点Q作于M，作于N，连接，如图： ∵平分， ∴， ∴， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， 即； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）得：， ∴， 过C作于K，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$