专题06 多边形的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题06 多边形的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、多边形内角和问题 2 类型二、多边形对角线的条数问题 3 类型三、多边形截角后的边数问题 4 类型四、多边形截角后的内角和问题 6 类型五、多边形外角和的实际应用 7 类型六、多边形内角和与外角和综合 9 压轴能力测评（15题） 12 解题知识必备 1.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 2.多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 3.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 压轴题型讲练 类型一、多边形内角和问题 例题：（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和进行计算可求八边形的内角和， 【详解】解：内角和：． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 【答案】18 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， ∴． 故答案为：18． 2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解一元一次方程，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键． 【详解】解：由题知，正边形的内角和为，正边形的外角和为， 又∵正边形的内角和与外角和的差为， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型二、多边形对角线的条数问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 【答案】/七 【分析】此题主要考查了多边形对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线进行计算即可，解题的关键是熟练掌握计算公式． 【详解】解：从十边形一个顶点画对角线能画（条）， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条对角线． 【答案】 /720度 /360度 9 【分析】 本题主要考查了多边形内角和定理，外角和定理，多边形对角线条数问题，对于n边形，其内角和为，外角和为，对角线条数为，据此求解即可． 【详解】解；六边形的内角和为，外角和为，它有条对角线 故答案为：；；9． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 【答案】11 【分析】 本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， 故答案为：11． 类型三、多边形截角后的边数问题 例题：（23-24八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 类型四、多边形截角后的内角和问题 例题：（23-24八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是（   ） A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360° 【答案】A 【分析】按照题意画出图形逐一判断即可解题． 【详解】如图，减去一个角，变为一个三角形和一个六边形，内角和增加； 如图，减去一个角，变为一个三角形和一个五边形，内角和增加；    如图，减去一个角，变为一个三角形和一个四边形，内角和，内角和不变；    综上所述内角和不会减少180°， 故选A． 【点睛】本题考查多边形截角后的内角和问题，分情况画图讨论是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 【答案】D 【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】解：四边形，截一刀后得到的新多边形可能是四边形，五边形，三角形， 新多边形的内角和将不变或增加或减少． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形．能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 类型五、多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 【详解】解：由多边形的外角和定理可得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和，任意多边形的外角和均为，延长交于点，可得据此即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵任意多边形的外角和均为， 且的和为， ∴ 即： ∴ 故选：D 类型六、多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    【答案】（1），；（2）；；（3）；（4） 【分析】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）∵是三角形的外角， ∴， ∵是三角形的外角， ∴． 故答案为：，． （2）∵，， ∴， 故答案为：；． （3）∵，， ∴； （4）如图，连接并延长，    根据三角形外角性质可得： ， 同理可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南红河·期末）一个内角和为度的正多边形有几条边？（   ） A．十条 B．八条 C．七条 D．六条 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、正多边形的内角问题 【分析】本题考查多边形的内角与外角，根据多边形内角和计算公式求出多边形的边数即可．掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 即这个正多边形是正八边形，正八边形有八条边， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）从边形的一个顶点出发可作条对角线，则（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 【答案】D 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，熟练掌握多边形对角线的条数问题是解题的关键：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，因为边形有个顶点，所以共有条对角线，其中每条对角线都重复一次，所以边形共有条对角线． 根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线”，再结合已知条件“从边形的一个顶点出发可作条对角线”即可直接得出答案． 【详解】解：从边形的一个顶点出发可以引条对角线， ， ， 故选：． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，这个正八边形的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了 正多边形的内角问题，多边形的内角和公式，依题意，列式，即可作答． 【详解】解：∵轮廓是一个正八边形， ∴， 即这个正八边形的一个内角的度数为， 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（   ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形 【答案】B 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 【详解】解：A．正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，，故正方形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； B．正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角，的整数倍与的整数倍的和不等于，选项符合题意； C．正六边形的每个内角为，，故正六边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； D．正十二边形的每个内角为，，故正十二边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意． 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了规律探究问题．从四边形、五边形、六边形等对角线的条数进行分析，总结规律即可得到n边形的对角线条数． 【详解】解：四边形的对角线条数（条）， 五边形的对角线条数（条）， 六边形的对角线条数（条）， …， ∴n边形的对角线条数（条）， ∴十三边形的对角线条数（条）， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东东营·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．设这个多边形的边数是，根据多边形内角和以及外角和列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 则， ， ， 故答案为：八． 7．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 【答案】/24度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，先求出一个正六边形和正五边形的内角度数，进而求出的度数，再根据等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵一个正六边形的度数为，一个正五边形的度数为， ∴， 由题意，， ∴； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ． 【答案】/80度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式．由多边形的内角和公式，即可求得六边形的内角和，又由，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵六边形的内角和为：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】5，6，7 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故答案为：5，6，7． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是的外角，若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ． 【答案】 /270度 /240度 / 【知识点】利用邻补角互补求角度、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了三角形的外角和定理，邻补角的性质，根据三角形的外角和定理，邻补角的性质逐一求解即可，掌握三角形的外角和定理，邻补角的性质是解题的关键． 【详解】解：题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴； 题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴； 题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴， 故答案为：；；． 三、解答题 11．（24-25八年级上·四川广元·期末）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的外角和，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用多边形的内角和公式，列式，即可作答． （2）因为这个多边形的内角和是外角和的2倍，得这个多边形的内角和是，再结合多边形的内角和公式，列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则这个多边形的内角和为； （2）解：∵这个多边形的内角和是外角和的2倍， ∴这个多边形的内角和是， 故， 解得． 12．（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，小明从点出发，前进后向左转，再前进后又向左转如此反复下去，直到他第一次回到出发点时，他所走的路径刚好构成一个正多边形． (1)求小明第一次回到出发点时走过的路程； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)答：小明第一次回到出发点时走过的路程为． (2)答：这个正多边形的内角和为． 【知识点】多边形内角和问题、正多边形的外角问题、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形的知识，解题的关键是掌握多边形的外角和为，多边形的内角和公式为：，进行解答，即可． （1）根据题意，则多边形的边数为：，根据为，即可求出小明第一次回到出发点时走过的路程； （2）由（1）可得，正多边形的边数，根据多边形的内角和公式为：，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵所走的路径刚好构成一个外角为的正多边形， ∴正多边形边数为：， ∵为， ∴小明第一次回到出发点时走过的路程为：， 答：小明第一次回到出发点时走过的路程为． （2）解：由（1）得，正多边形的边数为， ∴正十二边形的内角和为：， 答：这个正多边形的内角和为． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】(1)；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：、、、是四边形的四个内角， ， ， ，， ， ； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，整体思想的利用是解题的关键． 14．（24-25八年级上·全国·期末）（1）如图1， ； （2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则 ； （3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想 ； 【答案】（1）180；（2）360；（3）1080 【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，三角形的外角． （1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：180； （2）如图， ∵，， ∴， 故答案为：360； （3）图1中，每截去一个角则会增加180度， 所以当截去5个角时增加了度， 则， 故答案为：1080． 15．（广西河池市2024-2025学年八年级上学期期末检测数学试题）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 【答案】(1)；； (2)①③ (3)或 (4)； 【知识点】二元一次方程的解、平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据正n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数的整数倍是即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； （4）根据正五边形每一个内角的度数即可求解． 【详解】（1）解：正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可求， 正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：由题意，得， 其正整数解为或． （4）解：∵正五边形的内角为， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 多边形的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、多边形内角和问题 2 类型二、多边形对角线的条数问题 3 类型三、多边形截角后的边数问题 4 类型四、多边形截角后的内角和问题 6 类型五、多边形外角和的实际应用 7 类型六、多边形内角和与外角和综合 9 压轴能力测评（15题） 12 解题知识必备 1.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 2.多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 3.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 压轴题型讲练 类型一、多边形内角和问题 例题：（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ． 类型二、多边形对角线的条数问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条对角线． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 类型三、多边形截角后的边数问题 例题：（23-24八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 类型四、多边形截角后的内角和问题 例题：（23-24八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是（   ） A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360° 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 类型五、多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型六、多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南红河·期末）一个内角和为度的正多边形有几条边？（   ） A．十条 B．八条 C．七条 D．六条 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）从边形的一个顶点出发可作条对角线，则（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，这个正八边形的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（   ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东东营·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 7．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是的外角，若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·四川广元·期末）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 12．（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，小明从点出发，前进后向左转，再前进后又向左转如此反复下去，直到他第一次回到出发点时，他所走的路径刚好构成一个正多边形． (1)求小明第一次回到出发点时走过的路程； (2)求这个正多边形的内角和． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 14．（24-25八年级上·全国·期末）（1）如图1， ； （2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则 ； （3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想 ； 15．（广西河池市2024-2025学年八年级上学期期末检测数学试题）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$