精品解析：广东省普宁市2024-2025学年高一上学期期末质量测试数学试题

2024-2025学年度第一学期期终高中一年级教学质量测试 数学科试题 本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟 说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 已知集合则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集运算可得答案. 【详解】因为集合 所以. 故选:C 【点睛】本题考查了并集的运算,属于基础题. 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表达式中带根号，故只需考虑根号内大于等于0即可． 【详解】由，则 ，解得 ，故选C． 【点睛】求定义域时需要注意：1.根号内大于等于0；2.分母不能为0；3.对数函数中真数大于0． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，然后根据充分条件必要条件的概念得到答案. 【详解】因为，所以，因为，所以. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式化简求值得解. 【详解】由题得. 故选： 【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A 7. 函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可. 【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以 所以， 所以. 故选：B 8. 已知函数，则函数零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【详解】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图： 又，则， 当时，，由图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间（分钟）与水温（℃）的散点图（如图），则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据常见函数的增长规律判定即可. 【详解】，单调递增，故A， C错误；，单调递减，满足题意. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列命题错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的最小正周期为，且在上为增函数 D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，即可代入验证AB，根据整体法，结合正弦函数的单调性即可求解C，根据函数图象的平移即可求解D. 【详解】由可得， 对于A，，故的图象不关于直线对称，A错误， 对于B, ，故的图象不关于点对称，故B错误， 对于C，的最小正周期为，当时，，故在上为增函数，C正确， 对于D,将的图象向右平移个单位得到，由于不是偶函数，故D错误， 故选：ABD 11. 在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（ ）. A. 函数是奇函数 B. 对任意，都有 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，整理函数关系并作图，根据图象，可得答案. 【详解】由题意得，当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 当时，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆； 当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示： 此后依次重复，所以函数是以为周期的周期函数，由图象可知，函数为偶函数，故A错误； 因为以为周期，所以， 即，故B正确； 由图象可知，的值域为，故C正确； 由图象可知，在上单调递增，因为以为周期，所以在上的图象和在上的图象相同，即单调递增，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵角的终边经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题． 13. 若是奇函数，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可求得，验证可知满足题意. 【详解】定义域为，且为奇函数，，解得：； 当时，，， 为上的奇函数，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 14. 若，，，则，，的大小关系为________（用“>”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据指对数的单调性即可求解. 【详解】,,又， 故，故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个集合的交集的定义求出. （2）根据，分时和时两种情况，分别求得的范围，再取并集，即得所求. 【小问1详解】 当时，集合，， 故. 【小问2详解】 ，则， 当时，，即，满足，故； 当时，，即时，则，解得， 于是得， 综上所述：，所以实数的取值范围是. 16. 已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解关于的不等式：为常数，且 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出、的值． （2）不等式为，讨论和，写出对应不等式的解集． 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，． 【小问2详解】 不等式即为， 由，则时，解不等式得，或； 时，解不等式得，或； 综上，时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或． 17. 已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质结合题目所给图象得到和周期，从而求出，再代入点，求得即可； （2）根据（1）得到的解析式，从而求得的值域，再利用换元法令，得到关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由图象可得：，， 所以，又，则， 所以， 代入得：， 则，，解得：，， 又，所以， 故． 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 即，又，所以，则， 令，则有恒成立， 所以， 解得：， 故的取值范围为． 18. 已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）． （1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性； （2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）的值域； （3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）函数g（x）值域是（﹣6， ]；（3）实数m的取值范围为{m|m＜lg4}. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用对数函数的性质能求出函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域；推导出f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），由此得到f（x）是偶函数． （2）由﹣2＜x＜2，得f（x）=lg（4﹣x2），从而函数g（x）=﹣x2+3x+4，由此能求出函数g（x）的值域．（3）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出实数m的取值范围． 试题解析： （1）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）， ∴，解得﹣2＜x＜2． ∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）． ∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x）， ∴f（x）是偶函数． （2）∵﹣2＜x＜2， ∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）． ∵g（x）=10f（x）+3x， ∴函数g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2）， ∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6， ∴函数g（x）的值域是（﹣6，]． （3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max， 令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4 ∴f（x）的最大值为lg4． ∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}． 19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. （1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； （2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； （3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 小问1详解】 恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； 【小问2详解】 若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； 【小问3详解】 不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期终高中一年级教学质量测试 数学科试题 本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟 说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1 已知集合则 A. B. C. D. 2. 函数的定义域是 A B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间（分钟）与水温（℃）的散点图（如图），则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列命题错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 图象关于点对称 C. 的最小正周期为，且在上为增函数 D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 11. 在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（ ）. A. 函数是奇函数 B. 对任意，都有 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____________. 13. 若是奇函数，则实数___________. 14. 若，，，则，，的大小关系为________（用“>”连接）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解关于的不等式：为常数，且 17. 已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）． （1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性； （2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）值域； （3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围． 19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. （1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； （2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； （3）设全集，是否存在具有性质非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$