贵州省镇宁民族中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

镇宁民中2023-2024学年第二学期高二年级半期考试 数学试卷 考试范围：选择性必修第二册第四章数列、第五章一元函数的导数及其应用。 选择性必修第三册第六章计数原理。 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 2. 函数f(x)＝在区间[0,3]上的最大值为 ( ) A. 0 B. C. D. 3．若=2,则logn25的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．不确定 4．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 5. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有(　　) A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 6．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下： ，已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （    ） A. B. 45 C. 75 D. 150 8．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一节中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分。漏选得2分，错选不得分。） 9．下列函数求导错误的是（    ） A． B． C． D． 10．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 11．已知，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 12．以下关于数列的结论正确的是（    ） A．若数列的前n项和，则数列为等差数列 B．若数列的前n项和，则数列为等比数列 C．若数列满足，则数列为等差数列 D．若数列满足．则数列为等比数列 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（每题5分，共20分） 13．的单调递减区间是 . 14．在等差数列中，，则 . 15．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为 . 16. 如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 四、解答题（17题10分，18至22 题每题12分） 17．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 18．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 19．已知等差数列的公差为d（），前n项和为，且满足；，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 20．盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 21．已知数列满足：,数列的前n项和 (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前n项和． 22．已知函数． (1)若，求函数在上的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调性 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇宁民中2023-2024学年第二学期高二年级半期考试数学试卷参考答案： 1．D 【分析】 由即可得. 【详解】，故为第23项. 故选：D. 2. B 【分析】 3．B 【分析】根据排列数公式与对数性质计算即可． 【详解】由=2,得=2 解得n=5,所以logn25=log525=2. 故选B 4．A 【分析】根据题意，共有种不同的领取方案，其中们三人领取的礼品种类都不相同的有种，进而根据古典概型即可得答案. 【详解】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，基本事件总数共有：种， 他们三人领取的礼品种类都不相同的基本事件有种， 故根据古典概型公式得他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是 故选：A. ( 1 ) ( １ ) 学科网（北京）股份有限公司 5. C 【分析】 根据题意，分3种情况讨论：①、三本书中买1本，②、三本书中买2本，③、三本书全买，分别计算其情况数目，由分类计数原理，计算可得答案． 【详解】 根据题意，分3种情况讨论： ①三本书中买1本时，有3种情况， ②三本书中买2本时，有3种情况， ③三本书全买时，有1种情况， 则购买方案共有3+3+1=7种； 故选C. 6．B 【分析】考查图像识别，常用排除法，根据函数解析式特征分段讨论，讨论时分别从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出结果. 【详解】解法一： 由题意得当时，， 因为函数，在上都单调递减， 所以函数在上单调递减，排除C，D； 因为，所以排除A， 故选：B. 解法二：当时，则， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确. 故选：B． 6. C 7. C ( １ ) 学科网（北京）股份有限公司 8．C 【分析】当时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为，化简即可得到答案. 【详解】当时，第行的第斜列项为， 故该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为， 根据以及组合数的性质， 化简可得：. 故选：C 9．ACD 【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：ACD. 10．ABC 【分析】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可. 【详解】，可得二项式的系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； 由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：. ( １ ) 学科网（北京）股份有限公司 11．ABD 【分析】A选项，根据二项展开式的通项求解，BC选项根据赋值法解决，D选项根据不等式法结合组合数性质确定系数的最大项. 【详解】A选项，根据二项展开式的通项，，A选项正确； B选项，取代入等式，得到，B选项正确； C选项，取代入等式，得到， 结合B选项， 两式相加得，故C选项错误； D选项，根据二项展开式的通项，，令，即， 解得，又，故，即最大，D选项正确. 故选：ABD 12．AC 【分析】利用、等差数列和等比数列的知识求得正确答案. 【详解】A．，时，， 时，，， 当时，上式也符合，所以成立，A选项正确. B．，时，， 时，，， 所以，数列不是等不数列，B选项错误. C．由等差中项定义知C选项成立； D．若，则不成立，D选项错误. 故选：AC ( １ ) 学科网（北京）股份有限公司 13． 【分析】求导，利用导函数求出函数的递减区间. 【详解】的定义域是，， 令，解得， 故的单调递减区间是. 故答案为： 14．9 【分析】根据等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：9 15． 【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解. 【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式的总项数为7项，故， 展开式的通项， 当是偶数时该项为有理项， 时，项为有理项，共有4项， 所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为. 故答案为： 16. 48 【详解】 根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法 ( １ ) 学科网（北京）股份有限公司 对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法，则有4x3x2x2=48种涂色方法 故答案为：48 17．(1) (2) 【分析】（1）（2）由二项式定理求解． 【详解】（1）由题意可得，，解得； （2）， 二项展开式的通项为 由，得． 展开式中的系数为． 18．(1) (2)单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【详解】（1）函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）令，解得：或.列表得： x 1 3 + 2 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ( １ ) 学科网（北京）股份有限公司 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）由等差数列前项和公式求得，结合等差数列、等比数列性质求得公差即可得解； （2）由裂项相消法即可求解. 【详解】（1），得，即． 由，，成等比数列，得，，即． 所以，故． （2）， ∴ . 20．(1)共有种不同的排法 (2)共有种不同的取法 【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果； 【详解】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔， 则铅笔得支数可以是或或， 由分类加法计数原理可知，不同的取笔种数为种. 21．(1) (2) 【分析】(1)根据数列的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据的前n项和,利用,求出数列的通项公式即可,注意检验; (2)根据数列通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n项和即可. 【详解】（1）解:由题知 , 是以2为公比的等比数列,, ∵数列的前n项和, 时, 当时,, 故, 综上:; （2）由(1)知, , ,① ,② ②-①可得: 故. 22． 【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解； （2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性. 【详解】（1）当时，，则， 令，得或， 由于， 所以当，，在单调递减，当，，在单调递增，在时取到极小值，且， 又因为，， 综上，函数在上的最大值为，最小值为. （2）因为，所以， 当，即时，， 在单调递增， 当，即时， 令，则， 所以当，，在单调递增， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增. 综上所述，当时，在单调递增， 当时，在，单调递增，在单调递减 ( 第 1 页 ， 页 ) ( １ ) 学科网（北京）股份有限公司 ( ２ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$