第六章平面向量及其应用章末检测卷-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章平面向量及其应用章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 2．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 3．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 4．已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 5．在中，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（   ） A．5 B．15 C．40 D．60 7．在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 二、多选题 9．已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 10．已知点为所在平面内一点，则（    ） A．若，则 B．若，且，则为等边三角形 C．若，，则 D．若，且，则的面积是面积的 11．在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 三、填空题 12．在中，，，若为直角，则实数 . 13．已知，则的面积为 ． 14．已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 四、解答题 15．如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 16．已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 17．在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求； (2)若为正实数，求的最小值. 18．△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的最小值. 19．在中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，的平分线交于点，且1，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章平面向量及其应用章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D C B D B ABD BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 2．C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 3．A 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 【详解】因为向量与是两个不平行的向量，且且， 所以等于， 故选：A 4．D 【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可. 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 5．C 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 故选：C. 6．B 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】由于与共线，向量与向量不共线， 所以，所以. 故选：B. 7．D 【分析】由可知为钝角或为钝角，分类由余弦定理和三角形三边关系可得. 【详解】当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以； 当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以， 故选：D 8．B 【分析】由正弦定理得到，求出，由三角形面积公式得，，，根据，求出，由基本不等式，得到，从而求出面积最小值. 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 平分，故， 由三角形面积公式得， ，， 因为，所以， 即， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故选：B 9．ABD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于AC选项，因为和为单位向量，且， 则，则，故，A对C错； 对于B选项，，B对； 对于D选项，由平面向量数量积的运算性质可得， 所以，在方向上的投影向量是 ，D对. 故选：ABD. 10．BCD 【分析】对于A，利用向量的线性质运算，可得，即可求解；对于B，利用数量积的定义及数量积的运算，可得，从而得到，再利用可得，即可求解；对于C，根据条件可得，，进而有M为的垂心，即可求解；对于D，根据条件，可得，令，从而可得Q点在直线BC上，再利用比值，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 所以，故选项A错误， 对于选项B，因为， 所以，又，在区间上单调递减，则， 又，则，所以为等边三角形，故选项B正确， 对于选项C，若，，则，， 故点M为的垂心，所以，则，故选项C正确， 对选项D，由于 ，而 ，所以 ，其中 ， 不妨设 ，则Q点在直线BC上， 由于 与 同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为， 所以 的面积是 面积的 ，故选项D正确， 故选：BCD. 11．ABD 【分析】由条件利用正弦定理求的外接圆直径，判断A，先证明，利用二倍角公式化简，再化角为边判断B，结合B的结论，由余弦定理可求，再利用三角形面积公式求面积，判断C，求周长判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确； 由易得， 所以等价于， 所以， 由正弦定理得，故B正确； 由余弦定理可得，代入， 解得， 的面积为，故C错误， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】计算的坐标，根据垂直利用数量积为0可求的值. 【详解】由题意得，， ∵为直角，∴，即，解得. 故答案为：. 13．5 【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可. 【详解】因为，所以， 故，由向量的模长公式得，， 且设的面积为，则. 故答案为：5 14． 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式求出，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数性质求出范围. 【详解】在中，由及三角形面积公式，得， 由余弦定理得，则， 而，解得，， 由正弦定理得 ，锐角由确定， 而为锐角三角形，则，即，， 显然，而， ，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长比的范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 15．(1)0或 (2)， 【分析】（1）设结合已知条件可得、、的关系，再由三点共线即可得的值，可得的长，再讨论点的位置即可求解； （2）根据和即可求解； 【详解】（1）因为A，D，E三点共线，所以与共线， 设 又因为， 所以，可得， 由在边上，可得，即， 若，又，可得，，故， 若两点重合时，的距离为0， 若不重合时，为等腰三角形. 又在中，，，，可得，且， ， 故的距离为0或； （2）若，又， 故， 故， 由，可得相似比为， 所以，. 16．(1) (2) 【分析】（1）平方转化为数量积的运算求解； （2）垂直化为数量积为0，由此可得参数值． 【详解】（1）， 则， 故； （2）， 则， 即，解得． 17．(1) (2)6 【分析】（1）法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由可求解； （2）由三点共线得到，再结合基本不等式即可求解； 【详解】（1）设点，由中心坐标公式得： ， ， 又， 所以，， 故 法二： 根据题意：， 所以，. （2）由， 得， 所以 因为三点共线， 所以. 则 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解； （2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为，所以 （2）因为，所以，即，所以， 由（1）知，所以 又，所以，解得， 所以△ABC的周长为， 所以△ABC的周长的最小值为. 19．(1)； (2)当时，； 当时，. 【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得，结合内角和公式和两角和正弦公式化简，解方程可求结论； （2）结合关系及三角形面积公式可得，解方程求，再求可得结论. 【详解】（1）由正弦定理知，， 因为 所以， 又， 所以， 因为，，故，， 所以，故， 所以. （2）因为， 即， 所以， 解得或， 当时，； 当时，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$