2025年河南省郑州市第一次质量检测考前数学模拟卷（四）

第 1页，共 8页 2025 年中考模拟题组专项训练 1-16（四） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.分解因式：�3 − 9� =( ) A. �(� − 3)(� + 3) B. �(�2 + 9) C. (� − 3)(� + 3) D. �2(� − 9) 2.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数 字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是( ) A. B. C. D. 3.已知关于�的一元二次方程�2 −�� − �2 +�� + 1 = 0，其中�，�满足�− 2� = 3，关于该方程根的情 况，下列判断正确的是( ) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 4.如图，电路上有�1，�2，�3，�4四个断开的开关和一个正常的小灯泡�，将这些开关随机闭合至少两个， 能让灯泡发光的概率为( ) A. 35 B. 7 11 C. 4 5 D. 9 11 5.如图，点�在双曲线�1 = � � (� > 0)上，连接��并延长，交双曲线�2 = � 4� (� < 0)于点�，点�为�轴上一点， 且�� = ��，连接��，若▵���的面积是 6，则�的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.下面是“作一个角使其等于∠���”的尺规作图方法． 第 2 题图 第 2 题图4 第 5 题图 第 2页，共 8页 (1)如图，以点�为 圆心，任意长为半径画弧，分别交��，��于点�，�； (2)作射线�′�′，以点�′为圆心，��长为半径画弧，交�′�′于点�′；以点�′为圆心，��长为 半径画弧，两弧交于点�′； (3)过点�′作射线�′�′，则∠�′�′�′ = ∠���． 上述方法通过判定▵�′�′�′ ≌ ▵���得到∠�′�′�′ = ∠���，其中判定▵�′�′�′ ≌ ▵���的依 据是( ) A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7.如图，�� △ ���中，∠��� = 90°，�� ⊥ ��，垂足为�，��平分∠���，分别交��，��于点�，�.若��： �� = 3：4，则��：��为( ) A. 5：3 B. 5：4 C. 4：3 D. 2：1 8.如图 1，动点�从菱形����的点�出发，沿边�� → ��匀速运动，运动到点�时停止.设点�的运动路程为�， ��的长为�，�与�的函数图象如图 2 所示，当点�运动到��中点时，��的长为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 2 9.(2024·连云港)已知抛物线� = ��2 + �� + �(�, �, �是常数，� < 0)的顶点为(1,2).小烨同学得出以下结论： ①��� < 0；②当� > 1 时，�随�的增大而减小；③若��2 + �� + � = 0 的一个根为 3，则� =− 12；④抛物 第 7 题图 第 8 题图 第 10 题图 第 3页，共 8页 线� = ��2 + 2 是由抛物线� = ��2 + �� + �向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的．其中一定正 确的是 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 10.如图，矩形����中，�� = 3，�� = 1，动点�. �分别从点�，�同时出发，以每秒 1 个单位长度的速 度沿��，��向终点�，�运动，过点�，�作直线�，过点�作直线�的垂线，垂足为�，则��的最大值为( ) A. 3 B. 32 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.若关于�的方程 3�−2− ��−1 �−2 = 1 无解，则�的值为 ． 12.如图，四边形����内接于⊙�，若四边形����是菱形，则∠� = °. 13.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形���；分别以点 �，�，�为圆心，以��的长为半径作��，��，�� .三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三 角形”的周长为 3�，则它的面积是______． 14.如图，在菱形����中，点�，�分别是��，��的中点，连接��，��.若 sin∠��� = 45，�� = 5，则�� 的长为 ． 15.如图，正方形����的边长为 4，以��边为底向外作等腰�� △ ���，点�是对角线��上的一个动点，连 接��，��，则�� + ��的最小值是______． 三、计算题：本大题共 1 小题，共 10 分。 16.(1)计算：|� − 3| + 2sin30∘ − ( 5 − 2)0； (2)化简：�−2�+1÷ (� − 2)． 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 4页，共 8页 四、解答题：本题共 7 小题，共 65 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 9 分)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图 1，在四边形����中，点�，�，�，�分别是边��，��，��，��的中点， 顺次连接�，�，�，�，得到的四边形����是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形����被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁 (���������, ������ 1654 − 1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系 密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图 1 证明如下： 证明：如图 2，连接��，分别交��，��于点�，�，过点�作�� ⊥ ��于点�，交��于点�． ∵ �，�分别为��，��的中点，∴ ��/ ​ /��，�� = 12��. (依据 1) ∴ ���� = �� �� . ∵ �� = ��，∴ �� = �� = 1 2��． ∵四边形����是瓦里尼翁平行四边形，∴ ��//��，即��//��． ∵ ��//��，即��//��， ∴四边形����是平行四边形，(依据 2) ∴ �▱���� = �� ⋅ �� = 1 2�� ⋅ ��． ∵ �△��� = 1 2�� ⋅ �� = �� ⋅ ��，∴ �▱���� = 1 2 �△���.同理，… 任务：(1 )填空：材料中的依据 1 是指：______． 依据 2 是指：______． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形����及它的瓦里尼翁平行四边形����、使得四边形���� 为矩形；(要求同时画出四边形����的对角线) (3)在图 1 中，分别连接��，��得到图 3，请猜想瓦里尼翁平行四边形����的周长与对角线��，��长度 的关系，并证明你的结论． 18.(本小题 9 分)如图，��是矩形����的对角线． 第 5页，共 8页 (1)求作⊙�，使得⊙�与��相切(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，设��与⊙�相切于点�，�� ⊥ ��，垂足为�.若直线��与⊙�相切于点�，求 tan∠��� 的值． 19.(本小题 9 分)拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完 整的西夏佛塔，已有近 1000 年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为��，选取与塔底� 在同一水平地面上的�、�两点，分别垂直地面竖立两根高为 1.5�的标杆��和��，两标杆间隔��为 46�， 并且东塔��、标杆��和��在同一竖直平面内．从标杆��后退 2�到�处(即�� = 2�)，从�处观察�点，�、 �、�在一直线上；从标杆��后退 4�到�处(即�� = 4�)，从�处观察�点，�、�、�三点也在一直线上，且 �、�、�、�、�在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔��的高度． 第 6页，共 8页 20.(本小题 9 分)为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽 10 个，肉粽 12 个，共付款 136 元，已知肉粽单价是豆沙粽的 2 倍．(1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达 20 个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位： 个)和付款金额(单位：元)； ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成�，�两种包装销售，每包都是 40 个粽子(包装成本忽 略不计)，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计. �，�两种包装中分别有�个豆沙粽，�个肉粽， �包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半.端午节当天统计发现，�，�两种包装的销量分别为(80 − 4�)包， (4� + 8)包，�，�两种包装的销售总额为 17280 元.求�的值． 21.(本小题9 分)如图，一次函数�1 = �� + �(� ≠ 0)与函数为�2 = � � (� > 0)的图象交于�(4,1), �( 1 2 , �)两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足�1 − �2 > 0 时�的取值范围； (3)点�在线段��上，过点�作�轴的垂线，垂足为�，交函数�2的图象于点�，若△ ���的面积为 3，求点� 的坐标． 第 7页，共 8页 22.(本小题 10 分)给定一个矩形�，如果存在另一个矩形�，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 一半，那么称矩形�是矩形�的“对半矩形” (1)阅读：当已知矩形�的边长分别为 6 和 1 时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形�的一边是�，则另一边为( 72 − �)，由题意得方程：�( 7 2− �) = 3， 化简得：2�2 − 7� + 6 = 0， ∵ �2 − 4�� = 49 − 48 > 0， ∴ �1 = 2，�2 = 3 2． ∴矩形�存在对半矩形�． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是�和�，由题意得方程组： � + � = 7 2 �� = 3 ，消去�化简后也得到： 2�2 − 7� + 6 = 0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形�的两边长． (2)如果已知矩形�的边长分别为 3 和 2.请你仿照小明或小红的方法研究矩形�是否存在对边矩形�． (3)方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题.如图，在同一平面直角坐标系中 画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中�和�分别表示矩形�的对半矩形�的两边长，请你结合之前 的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形�的面积为______；周长为______． ②对半矩形�的两边长为______． (4)在第(3)题的图形中，若点�(2,3)在双曲线上，�� ⊥ �轴，�� ⊥ �轴，垂足分别为�、�.连接��，将△��� 沿着��折叠，点�落在点�处，求点�的坐标，并判断点�是否落在双曲线上． 第 8页，共 8页 23.(本小题 10 分)【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学 活动． 【折一折、猜想计算】如图 1，把长为 5，宽为 4 的矩形纸片����对折，使边��与边��重合，展开后得到 折痕��.如图 2，将矩形纸片����沿经过点�的直线折叠，使点�落在��上的点�处，连接��． (1)①如图 2，判断△ ���的形状，并说明理由；②求线段��的长； 【折一折、探究证明】如图 3，将矩形纸片����换成边长为 4 的正方形纸片����，沿经过点�的直线折叠， 使点�落在正方形纸片����内部的点�处，延长��交��于点�． (2)猜想��与��之间的数量关系并证明；若�� = 1，求△ ���的面积． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】或  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】【小题】   【小题】 ． 17.【答案】三角形中位线定理  两组对边分别平行的四边形是平行四边形  18.【答案】解：根据题意作图如下，即为所求； 设，的半径为， 与相切于点，与相切于点， ，， 即， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 在和中，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 又， ≌， ， ， 在中，， 即， ， 即， ， ， 即的值为．  19.【答案】解：设，则 ，， ， ， ，即， 同理可证， ，即， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ， 该古建筑的高度为．   20.【答案】解：设豆沙粽的单价为元，肉粽的单价为元； 由题意可得：， 解得：， 元， 答：豆沙粽的单价为元，肉粽的单价为元； 设豆沙粽优惠后的单价为元，肉粽优惠后的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：豆沙粽优惠后的单价为元，肉粽优惠后的单价为元； 由题意可得：， 解得：或， ， ， ．  21.【答案】解：反比例函数的图象经过点， ． ． 反比例函数解析式为． 把代入，得． 点坐标为， 一次函数解析式，经过，， ． ． 故一次函数解析式为：． 由， ，即反比例函数值小于一次函数值． 由图象可得，． 由题意，设且， ． ． 解得，． 或．  22.【答案】    ，  23.【答案】解：是等边三角形，理由如下： 由折叠性质得，，， ，， ， 是等边三角形； 如图，过点作于点， 则， 由知， 由勾股定理，得， ． ，证明如下： 如图，连接， 由折叠性质得，， ， ， ， 又， 在 和中， ， ≌， ； ， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ．    第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考模拟题组专项训练1-16（四） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.分解因式：(    ) A. B. C. D. 2.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是(    ) A. B. C. D. 3.已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是(    ) A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4.如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为(    ) A. B. C. D. 第5题图 第4题图 第2题图 第2题图 5.如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． 如图，以点为 圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； 过点作射线，则．   上述方法通过判定得到，其中判定的依据是(    ) A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7.如图，中，，，垂足为，平分，分别交，于点，若：：，则：为(    ) A. ： B. ： C. ：D. ： 第10题图 第8题图 第7题图 8.如图，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，当点运动到中点时，的长为(    ) A. B. C. D. 9.连云港已知抛物线是常数，的顶点为小烨同学得出以下结论：；当时，随的增大而减小；若的一个根为，则；抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是  (    ) A. B. C. D. 10.如图，矩形中，，，动点分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 第13题图 第15题图 第14题图 第12题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若关于的方程无解，则的值为          ． 12.如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则            13.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______． 14.如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长为          ． 15.如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.计算：； 化简：． 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形瓦里尼翁是法国数学家、力学家瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． 瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． 瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半此结论可借助图证明如下： 证明：如图，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点． ，分别为，的中点，，依据 ，． 四边形是瓦里尼翁平行四边形，，即． ，即， 四边形是平行四边形，依据． ，同理， 任务：填空：材料中的依据是指：______． 依据是指：______． 请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形、使得四边形为矩形；要求同时画出四边形的对角线 在图中，分别连接，得到图，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论． 18.本小题分如图，是矩形的对角线． 求作，使得与相切要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 在的条件下，设与相切于点，，垂足为若直线与相切于点，求的值． 19.本小题分拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处即，从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处即，从处观察点，、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 20.本小题分为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗某顾客端午节前在超市购买豆沙粽个，肉粽个，共付款元，已知肉粽单价是豆沙粽的倍．求豆沙粽和肉粽的单价； 超市为了促销，购买粽子达个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量单位：个和付款金额单位：元； 根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； 为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成，两种包装销售，每包都是个粽子包装成本忽略不计，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计，两种包装中分别有个豆沙粽，个肉粽，包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半端午节当天统计发现，，两种包装的销量分别为包，包，，两种包装的销售总额为元求的值． 21.本小题分如图，一次函数与函数为的图象交于两点． 求这两个函数的解析式； 根据图象，直接写出满足时的取值范围； 点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若的面积为，求点的坐标． 22.本小题10分给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形是矩形的“对半矩形” 阅读：当已知矩形的边长分别为和时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形的一边是，则另一边为，由题意得方程：，化简得：， ， ，． 矩形存在对半矩形． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是和，由题意得方程组：，消去化简后也得到：，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形的两边长． 如果已知矩形的边长分别为和请你仿照小明或小红的方法研究矩形是否存在对边矩形． 方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的对半矩形的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： 这个图象所研究的矩形的面积为______；周长为______． 对半矩形的两边长为______． 在第题的图形中，若点在双曲线上，轴，轴，垂足分别为、连接，将沿着折叠，点落在点处，求点的坐标，并判断点是否落在双曲线上． 23.本小题分【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【折一折、猜想计算】如图，把长为，宽为的矩形纸片对折，使边与边重合，展开后得到折痕如图，将矩形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在上的点处，连接． 如图，判断的形状，并说明理由；求线段的长； 【折一折、探究证明】如图，将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，沿经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，延长交于点． 猜想与之间的数量关系并证明；若，求的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$