2025年河南省郑州市第一次质量检测考前数学模拟卷（三）

参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】；  16.【答案】解：   ， 原式  ． 解：原式 ． 17.【答案】见解析；，．  18.【答案】证明：连接， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的半径为； ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 线段的长为．  19.【答案】解：在中，，，， ， 在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度．  20.【答案】解：把时，；时，代入得： ， 解得，； 设第个生产周期创造的利润为万元， 由知，当时，， ， ，， 当时，取得最大值，最大值为， 工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ， 则与的函数图象如图所示： 由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元， 则只能为，，， 当，时， 当时，， 的取值范围．  21.【答案】解：反比例函数过， ， 反比例函数为：， 把代入 得：， ， ， 解得：， 一次函数为； 观察函数图象可得，当时，的解集为：； ， 直线的解析式为：， 过点作平行于轴，交于点， ， ， 在中，令得，即 ， ， ， 梯形的面积为．  22.【答案】解：由题意，， ． 又，缆索的最低点到的距离， 抛物线的顶点为． 故可设抛物线为． 又将代入抛物线可得， ． ． 缆索所在抛物线为． 由题意，缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称， 又缆索所在抛物线为， 缆索所在抛物线为． 又令， ． ，． 又， ． 的长为．  23.【答案】     第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 2025 年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（三） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.64 的立方根是( ) A. ±8 B. ±4 C. 8 D. 4 2.将数据 0.000000023 用科学记数法表示正确的是( ) A. 0.23 × 10−7 B. 2.3 × 10−8 C. 2.3 × 10−9 D. 23 × 10−9 3.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心�的光线相交于点�，点� 为焦点，若∠1 = 155°，∠2 = 30°，则∠3 的度数为( ) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 4.下列计算正确的是( ) A. 22 = 2 B. −2 2 =− 2 C. 22 =± 2 D. −2 2 =± 2 5.如图，△ ���是⊙�的内接三角形，�� = ��，∠��� = 120°，�是��边上一点，连接��并延长交⊙� 于点�.若�� = 2，�� = 3，则⊙�的半径为( ) A. 10 B. 32 10 C. 2 10 D. 3 10 6.如图，在四边形����中，��//��，�� = 5，�� = 3.按下列步骤作图：①以点�为圆心，适当长度为半 径画弧，分别交��，��于�，�两点；②分别以点�，�为圆心以大于12��的长为半径画弧，两弧交于点�； ③连接��并延长交��于点�.则��的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数� = 3�和� = � �的图象的四个分支上，则实数�的值为( ) A. −3 B. − 13 C. 1 3 D. 3 8.已知点�( − 4, � − 2)，�( − 2, �)，�(2, �)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( ) 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 第 2页，共 6页 A. B. C. D. 9.下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从�地匀速行驶到�地，汽车的剩余路程�与行驶时间�；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱 中的剩余水量�与放水时间�；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积�与一边长�． 其中，变量�与变量�之间的函数关系可以用下图所示的图象表示的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 10.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认 最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮 在如图所示的“赵爽弦图”中，连接��，��.若正方形����与����的边长之比为 5: 1，则 sin∠���=( ) A. 1010 B. 5 5 C. 3 10 10 D. 2 5 5 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.已知二次函数� =− ��2 + 2�� + 3(� > 0)，若点�(�, 3)在该函数的图象上，且� ≠ 0，则�的值为______． 12.已知关于�的一元二次方程�2 − 4� − � = 0 有两个不相等的实数根，则�的取值范围是______． 13.若关于�的不等式组 �+2 3 > � 2 + 1, 4� + � < � − 1 的解集为� <− 2，且关于�的分式方程�+2�−1 + �+2 1−� = 2 的解为正数， 则所有满足条件的整数�的值之和为 ． 14.如图 1，在�� △ ���中，∠��� = 90°，�� = 8，�� = 6，�是��上一点，且�� = 2，过点�作��/ ​ /�� 交��于�，将△ ���绕�点顺时针旋转到图 2 的位置.则图 2 中����的值为______． 第 9 题图 第 10题图 第 14题图 第 3页，共 6页 15.如图，在矩形����中，�� = 5，�� = 4，�是边��上一动点(不含端点)，将△ ���沿直线��对折， 得到△���.当射线��交线段��于点�时，连接��，则△ ���的面积为______；��的最大值为______． 三、计算题：本大题共 1 小题，共 10 分。 16.(1)先化简，再求值：(1 + 1�−1 ) ÷ �2−1 �2−2�+1，其中� = 3． (2)计算： � − 3.14 0 + −1 2015 + 1 − 3 − 3���30°． 四、解答题：本题共 7 小题，共 65 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 9 分)(2020·北京·中考真题)如图，菱形����的对角线��，��相交于点�，�是��的中点，点�， �在��上，�� ⊥ ��，�� // ��． (1)求证：四边形����是矩形；(2)若�� = 10，�� = 4，求��和��的长． 第 15题图 第 4页，共 6页 18.(本小题 9 分)如图，��是⊙�的直径，点�，�在⊙�上，点�是��的中点，��垂直于过�点的直线��， 垂足为�，��的延长线交直线��于点�． (1)求证：��是⊙�的切线； (2)若�� = 2，sin∠��� = 13， ①求⊙�的半径；②求线段��的长． 19.(本小题 9 分)2023 年 5 月 30 日 9 点 31 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发 射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面� 处发射，当飞船到达�点时，从位于地面�处的雷达站测得��的距离是 8��，仰角为 30°；10�后飞船到达� 处，此时测得仰角为 45°． (1)求点�离地面的高度��； (2)求飞船从�处到�处的平均速度. (结果精确到 0.1��/�，参考数据： 3 ≈ 1.73) 20.(本小题 9 分)某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本 为 10 万元/件．设第�个生产周期设备的售价为�万元/件，售价�与�之间的函数解析式是� = 15,0 < � ≤ 12 �� + �, 12 < � ≤ 20，其中�是正整数．当� = 16 时，� = 14；当� = 20 时，� = 13． (1)求�，�的值； (2)设第�个生产周期生产并销售完设备的数量为�件，且�与�满足关系式� = 5� + 20． ①当 12 < � ≤ 20 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当 0 < � ≤ 20 时，若有且只有 3 个生产周期的利润不小于�万元，求实数�的取值范围． 第 5页，共 6页 21.(本小题 9 分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数� = �� + �与反比例函数� = ��的图像在第一象限内 交于�(�, 4)和�(4,2)两点，直线��与�轴相交于点�，连接��． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当� > 0 时，请结合函数图像，直接写出关于�的不等式�� + � ≥ ��的解集； (3)过点�作��平行于�轴，交��于点�，求梯形����的面积． 22.(本小题 9 分)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索�1与缆索�2均呈抛物线型，桥塔��与桥 塔��均垂直于桥面，如图所示，以�为原点，以直线��′为�轴，以桥塔��所在直线为�轴，建立平而直角 坐标系． 已知：缆索�1所在抛物线与缆索�2所在抛物线关于�轴对称，桥塔��与桥塔��之间的距离�� = 100�，�� = �� = 17�，缆索�1的最低点�到��′的距离�� = 2�. (桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索�1所在抛物线的函数表达式； (2)点�在缆索�2上，�� ⊥ ��′，且�� = 2.6�，�� < ��，求��的长． 第 6页，共 6页 23.(本小题 10 分)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． (一)拓展探究 如图 1，在△ ���中，∠��� = 90°，�� ⊥ ��，垂足为�． (1)兴趣小组的同学得出��2 = �� ⋅ ��.理由如下： ∵ ∠��� = 90° ∴ ∠� + ∠� = 90° ∵ �� ⊥ �� ∴ ∠��� = 90° ∴ ∠� + ∠��� = 90° ∴ ∠� = ①_____ ∵ ∠� = ∠� ∴△ ���∽△ ��� ∴ ���� =②_____ ∴ ��2 = �� ⋅ �� 请完成填空：① ______；② ______； (2)如图 2，�为线段��上一点，连接��并延长至点�，连接��，当∠��� = ∠���时，请判断△ ���的形状， 并说明理由． (二)学以致用 (3)如图 3，△ ���是直角三角形，∠��� = 90°，�� = 2，�� = 2 6，平面内一点�，满足�� = ��，连接 ��并延长至点�，且∠��� = ∠���，当线段��的长度取得最小值时.求线段��的长． 2025年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的立方根是(    ) A. B. C. D. 2.将数据用科学记数法表示正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第7题图 第6题图 第5题图 第3题图 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点若，，则的半径为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在四边形中，，，按下列步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点则的长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 8.已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(    ) A. B. C. D. 9.下面的三个问题中都有两个变量： 汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用下图所示的图象表示的是(    ) A. B. C. D. 第14题图 第10题图 第9题图 10.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，若正方形与的边长之比为，则=(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为______． 12.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13.若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为          ． 14.如图，在中，，，，是上一点，且，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图的位置则图中的值为______． 15.如图，在矩形中，，，是边上一动点不含端点，将沿直线对折，得到当射线交线段于点时，连接，则的面积为______；的最大值为______． 第15题图 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.先化简，再求值：，其中． 计算：． 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分北京中考真题如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，， ． 求证：四边形是矩形；若，，求和的长． 18.本小题分如图，是的直径，点，在上，点是的中点，垂直于过点的直线，垂足为，的延长线交直线于点． 求证：是的切线； 若，， 求的半径；求线段的长． 19.本小题9分年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． 求点离地面的高度； 求飞船从处到处的平均速度结果精确到，参考数据： 20.本小题分某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元件．设第个生产周期设备的售价为万元件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． 求，的值； 设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 21.本小题分如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． 求一次函数与反比例函数的表达式； 当时，请结合函数图像，直接写出关于的不等式的解集； 过点作平行于轴，交于点，求梯形的面积． 22.本小题分一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平而直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离桥塔的粗细忽略不计 求缆索所在抛物线的函数表达式； 点在缆索上，，且，，求的长． 23.本小题分某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 一拓展探究 如图，在中，，，垂足为． 兴趣小组的同学得出理由如下： _____ ∽ _____ 请完成填空： ______； ______； 如图，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． 二学以致用 如图，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$