6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 1 教学目标 理解平面向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标;(重点) 01 掌握平面向量的坐标运算(重点) 02 能运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算(难点) 03 了解向量的坐标表示与平面内点的坐标. 04 2 学科素养 平面向量的正交分解,平面向量的坐标的概念 数学抽象 直观想象 向量的坐标表示与平面内点的坐标 逻辑推理 平面向量的坐标运算 数学运算 数据分析 数学建模 3 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1, 2,使. 平面向量相等的充要条件 我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 知识回顾 如果不共线,且, ,那么 4 给定平面内两个不共线的向量,由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量,均可以分解为两个向量,即,其中向量与共线,向量与共线. 不共线的两个向量互相垂直是一种重要的情形,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 如图,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形. 5 思考:我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么,如何表示直角坐标平面内的一个向量呢? 如图,,是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量, 取{}作为基底,对于平面内的任一个向量,由平面向量基本定理可知,则有且只有一对实数x,y,使得, 这样,平面内的任一向量都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作. 其中,x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标, 叫做向量的坐标表示. 注意向量的坐标表示与点的坐标表示的区别,向量的坐标表示在向量和坐标之间用等号连接. 显然, =(1,0),=(0,1), =(0,0) 6 x y O 如图示,以原点O为起点作 ,则点A的位置由向量唯一确定. A(x,y) 反之,终点A的坐标(x, y)也就是向量的坐标. 这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 思考:在平面直角坐标系中,向量的坐标与点的坐标之间有什么联系? 设,则向量的坐标(x, y)就是终点A的坐标; 一 一 对 应 向量 坐标(x ,y) 结论:向量的起点为原点时,向量的坐标与向量终点的坐标一致。 例1.如图,分别用基底{}表示向量,并求出它们的坐标. 【解析】由图可知, 所以 同理 8 课堂练习 1.判断(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.( ) (2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同.( ) 【解析】 (1)错误.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样. (2)正确.根据向量的坐标表示,当始点在原点时,终点与始点坐标之差等于终点坐标. (3)错误.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关. (4)错误.当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标等于(终)点的坐标. 2.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且,则_; _. 【解析】因为,所以A(-1,-1),由正方形的对称性 可知,B(1,-1),所以=(1,-1),同理=(-1,1). 3.如图,已知在边长为1的正方形ABCD中,AB与轴正半轴成角,求点B和点D的坐标和与的坐标. 解析:由题意知B,D分别是角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设,, .由三角函数的定义, , ∴ ,. , ∴ ,. ∴ 如图, 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量, 归纳总结 取{}作为基底,对于平面内的任一个向量,由平面向量基本定理可知,则有且只有一对实数x,y,使得, 这样,平面内的任一向量都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作. 12 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 13 教学目标 掌握平面向量加减法运算的坐标表示(重点) 01 能运用向量的加法、减法的坐标运算法则进行有关的运算(难点) 02 03 04 14 学科素养 数学抽象 直观想象 平面向量加减法运算的坐标表示 逻辑推理 能运用向量的加法、减法的坐标运算法则进行有关的运算 数学运算 数据分析 数学建模 15 如图, 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量, 知识回顾 取{}作为基底,对于平面内的任一个向量,由平面向量基本定理可知,则有且只有一对实数x,y,使得, 这样,平面内的任一向量都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作. 16 思考:已知,,,你能得出, 的坐标吗? 即 同理可得 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 知识精讲 17 例1.已知,,,求, 的坐标. 【解析】 18 探究:如图,已知,,, 你能得出的坐标吗? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 19 例2.如图,已知 ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标. 【解析】法1:设顶点D的坐标为(x,y). 因为 又 , 即 解得 所以顶点D的坐标为(2,2). 所以 20 例2.如图,已知 ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标. 【解析】法2:如图,由向量加法的平行四边形法则可知 而 , 所以顶点D的坐标为(2,2). 21 变式.已知平行四边形的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),求第四个顶点D的坐标. 22 练习.若点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),则AB与CD有什么位置关系?证明你的猜想. 【解析】 因为 所以 , 所以 , 即 23 课堂练习 1.点A(1,-3),的坐标为(3,7),则点B的坐标为( ) A.(4,4) B.(-2,4) C.(2,10) D.(-2,-10) 2.若向量=(1,2), =(3,4),则等于( ) A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2) 3.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量, , , 的坐标. 平面向量加、减运算的坐标表示 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 归纳总结 设,,,则, 已知,,,则 26 P36习题6.3 3,4 课后作业 27 $$