专题02 向量坐标表示及其应用（8大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题02 向量坐标表示及其应用 目录 【题型一 已知向量共线（平行）求参数】 2 【题型二 平面向量共线定理推论】 2 【题型三 利用平面向量基本定理求参数】 4 【题型四 由向量线性运算结果求参数】 6 【题型五 由向量线性运算解决最值范围问题】 8 【题型六 用向量解决夹角问题】 10 【题型七 用向量解决长度问题】 11 【题型八 向量与几何最值】 13 一、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 三、平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 四、两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 【题型一 已知向量共线（平行）求参数】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，点在边上，且，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（23-24高三上·福建·阶段练习）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高一下·天津滨海新·期末）在中，，并且满足.（ⅰ）角 ；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为 . 【题型二 平面向量共线定理推论】 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点.设则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2020·江苏南通·一模）在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 7．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）在 中，点 分别在边和边上，且 交 于点 ，设. (1)试用表示; (2)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置. 8．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）如图所示，在中，，，AD与BC相交于点M．设，． （1）试用向量，表示； （2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，，其中．当EF与AD重合时，，，此时；当EF与BC重合时，，，此时；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式恒成立，请说明理由． 【题型三 利用平面向量基本定理求参数】 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 3．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 4．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 ． 5．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 6．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 7．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 【题型四 由向量线性运算结果求参数】 1．（23-24高一下·四川成都·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 ． 4．（23-24高一下·浙江金华·期末）在中，，，，在边上，延长到，使.若，则 . 5．（23-24高一下·山东潍坊）设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则 ；若在线段上，且，则的取值范围为 . 6．（23-24高一下·山东菏泽）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.    (1)设，求的值； (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由. 【题型五 由向量线性运算解决最值范围问题】 1．（23-24高一下·湖南）已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东泰安）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江台州）已知向量，，满足，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海松江·期中）设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是 ． 5．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）在四边形中，，，，，，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 6．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 7．（23-24高一下·浙江温州·期中）在等腰梯形中，已知，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，. （1）当时，求的值. （2）记，试求函数的解析式及其最小值. 【题型六 用向量解决夹角问题】 1．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 4．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    5．（2024·广东广州·三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 6．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【题型七 用向量解决长度问题】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 3．（23-24高一下·辽宁锦州）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高三下·云南·阶段练习）已知平面向量，，满足，，，则的取值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（多选）（23-24高二下·浙江温州）已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一·全国）如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 【题型八 向量与几何最值】 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 4．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是 . 5．（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 6．（2024高三·全国·专题练习）四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是 . 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．在中，，，，若，则为锐角三角形 B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心 C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是 D．在中，若，则与的面积之比为 4．（23-24高一下·四川成都）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为斜三角形，则 B．若，则为的内心 C．已知中，，，，为的外心，若，则的值为 D．在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为 三、填空题 5．（2025·河南洛阳·模拟预测）在中，为的中点，为的中点，过点作一直线分别与边相交于两点，设，则的最小值为 ． 6．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 7．（2024·天津河西·一模）在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示 .若，则余弦值的最小值为 . 8．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为 . 9．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 10．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知向量满足，，，，则的最小值是 ． 11．（23-24高一下·四川德阳）如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为 .    12．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知是的外心，且，则 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 向量坐标表示及其应用 目录 【题型一 已知向量共线（平行）求参数】 2 【题型二 平面向量共线定理推论】 5 【题型三 利用平面向量基本定理求参数】 13 【题型四 由向量线性运算结果求参数】 22 【题型五 由向量线性运算解决最值范围问题】 28 【题型六 用向量解决夹角问题】 34 【题型七 用向量解决长度问题】 40 【题型八 向量与几何最值】 45 一、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 三、平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 四、两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 【题型一 已知向量共线（平行）求参数】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线定理可设＝k，可得，再根据平面向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】因为∥，所以设＝k， 因为，(λ，μ∈R)，所以， 即， 由，不共线可得，所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，点在边上，且，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据三点共线得出，再由向量的线性运算得出. 【详解】三点共线，，解得或（舍去）， ， ， 故选：C. 3．（23-24高三上·福建·阶段练习）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【详解】 因为，所以， 则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点， 所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 故选：A 4．（23-24高一下·天津滨海新·期末）在中，，并且满足.（ⅰ）角 ；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为 . 【答案】 / 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】由，可得，从而求得角；由，得，两边平方化简可求出，从而可得，再设，利用共线定理可得，从而得，再将用表示，两边平方化简可得答案. 【详解】在中，设所对的边分别为，则， 因为，所以， 所以，即，又，所以； 因为，所以， 所以， 所以， 所以，化简得， 解得或（舍去）， 所以，即， 设，因为， 所以， 因为三点共线，所以，解得，所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以. 故答案为：，. . 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是利用求出，然后将作为基底，从而利用向量数量积的运算法则计算即可得解.. 【题型二 平面向量共线定理推论】 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值、平面向量共线定理的推论、平面向量基本定理的应用 【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得及且，再通过二次函数求最小值；由及点Q在对角线BD上，得，再通过基本不等式求最小值. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 又点P在对角线AC上（不包括端点A，C），所以且， 则，当时，． 同理，因为点Q在对角线BD上（不包括端点B，D）， 所以且，， 则， 当且仅当，时取得等号，所以． 故选：A． 2．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式求和的最小值 【分析】利用平面向量共线定理的推论得到的关系，进而利用均值定理即可求得的最小值 【详解】由三点共线，可得存在实数t，使 又由三点共线，可得存在实数m，使得 则，解之得，则 又，()， 则，由三点共线，可得 则 （当且仅当时等号成立） 则的最小值为 故选：D 4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点.设则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理的推论 【分析】利用表示出，再结合结论：若三点共线且，则.即可得出的关系式，即可得出有最小值. 【详解】因为，所以. 又因为三点共线，所以.所以. 所以 所以当时,有最小值为. 故选:A. 5．（多选）（2020·江苏南通·一模）在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】平面向量共线定理的推论 【解析】先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，. 充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，， 因为，则，充分性成立； 必要性：因为且， 所以，，即，所以，， 所以，、、三点共线. 本题中，取的中点，连接，如下图所示： 、分别为、的中点，则且， ，，即， ，即，，， ，， 、、三点共线，为直线外一点，则且. ，，则， 所以，，可得，由可得， 由基本不等式可得. 当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为，ABC选项均不满足. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）利用三点共线的结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.利用该结论推出； （2）利用基本不等式求出的最小值. 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 【答案】3 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，因为面积比得出，化简后求值. 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案为： 7．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）在 中，点 分别在边和边上，且 交 于点 ，设. (1)试用表示; (2)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置. 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则、平面向量共线定理的推论、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）先利用进行线性运算，再利用三点共线的性质即可求得参数； （2）利用平面向量基本定理，由对应系数相等可解出参数. 【详解】（1） 在 中，由 ，可得 ，且 ， 设 ，则 ， 又因为 三点共线，可得 ，解得 . 可得 . （2） 设 ，所以 ， 因为 ，又因为 ，三点共线，所以 ， 即，又因为，由平面向量基本定理得， 所以 ，解得 ，所以满足 . 8．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）如图所示，在中，，，AD与BC相交于点M．设，． （1）试用向量，表示； （2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，，其中．当EF与AD重合时，，，此时；当EF与BC重合时，，，此时；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式恒成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能得出结论，理由详见解析. 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）设，，可得，，联立可解得，； （2）设，可得，又，，故，即，即得解 【详解】（1）设，由A，D，M三点共线， 可知存在（，且）使得， 则，又， 所以， ∴，即①， 由B，C，M三点共线， 可知存在（，且）使得， 则，又， 所以， ∴  即② 由①②得，，故． （2）能得出结论． 理由：由于E，M，F三点共线， 则存在实数（，且），使得， 于是， 又，， 所以， 所以， 从而，所以消去得． 【点睛】本题考查了向量的线性运算综合问题，考查了向量共线基本定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题. 【题型三 利用平面向量基本定理求参数】 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用可得出P为的重心，取中点再利用三点共线，可得取得最小值1，再当点M与C重合时，取得最大值2，从而可得的范围. 【详解】 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，结合向量线性运算法则利用表示，结合平面向量基本定理列方程求. 【详解】因为是直线上一点，故可设， 所以,， 又，所以， 所以，又，不共线， 所以， 所以，. 故答案为：. 4．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，设，且，整理可得，进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则， 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 5．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量的线性运算的几何应用、已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【详解】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 6．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）解法一：由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果； 解法二：将表示为的表达式，将表示为的表达式，代入可得结果； （2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值； （3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. （2）由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. （3）由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 7．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、条件等式求最值、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可； （2）设,利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后计算即可求解； （3）由（2）知，利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后使用基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为为中点，, 所以, 所以， 所以. （2）因为，所以, 设, 则， 又因为三点共线， 所以，即. 所以, 因为, 所以，即. （3）由（2）可知，， 因为, 所以, 因为三点共线， 所以，， 即, 所以 ， 当且仅当时，即取等号， 所以的最小值为. 【题型四 由向量线性运算结果求参数】 1．（23-24高一下·四川成都·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果. 【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转， 即将点绕点沿逆时针方向旋转， 可得， 化简可得，， 又因为， 所以，解得，所以. 故选：D 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 ． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，再由即可求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， ，即， 则，，， 因为， 所以， 即， 所以，两式相加并整理得，因为， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·浙江金华·期末）在中，，，，在边上，延长到，使.若，则 . 【答案】4 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由向量线性运算结果求参数 【分析】建系标点，设，根据向量的坐标运算解得，进而可得，结合图形即可得结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，    则，可知， 设， 可得， 因为， 则，解得， 且，可得，， 所以. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：建系，根据可设，进而结合题意运算. 5．（23-24高一下·山东潍坊）设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则 ；若在线段上，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、用定义求向量的数量积、由向量线性运算结果求参数、向量加法的法则 【分析】分析可知为线段的中点，可化简得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可出关于的线性表达式，即可得出的取值范围. 【详解】由正八边形的对称性可知，为线段的中点， 则，所以，， 故； 在正八边形中，，则， 以为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、、， 所以，，，，， 设，其中，则 ， 因为，即 ， 所以，，即. 故答案为：；. 6．（23-24高一下·山东菏泽）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.    (1)设，求的值； (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】（1）以点A为原点建立平面直角坐标系，根据求得点的坐标，设，再根据平面向量相等的坐标表示即可得解； （2）分点P在AB上和点P在BC上两种情况讨论，结合可得求得点的坐标，再根据平面向量的模的坐标表示即可得解. 【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系， ，， 因为，则，则，故， 又D，M，E三点共线，则设，， 即，则， 解得；    （2）由题意得，假设存在点P，使得， ①当点P在AB上时，设，，， 则，则，故， ； ②当点P在BC上时，设，，， 则，解得（舍去）； 综上，存在符合题意的点，. 【题型五 由向量线性运算解决最值范围问题】 1．（23-24高一下·湖南）已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先以为x轴，D为原点建立坐标系，得到对应坐标，再根据向量关系解得，结合题意知，即解得结果. 【详解】以为x轴，D为原点建立如图坐标系． 设，则， ， 由，有，故， ∵点P在内，∴即， 解得. 故选：A． 2．（23-24高一下·山东泰安）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、用定义求向量的数量积、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】在等腰△中，，则， ∵分别是边的点， ∴，，而， ∴两边平方得：，而， ∴，又，即， ∴当时，最小值为，即的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值. 3．（23-24高三上·浙江台州）已知向量，，满足，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、数量积的运算律 【解析】由向量的运算性质有，展开后结合已知条件即得，又令整理可得关于m的不等式，即可求出的最值. 【详解】∵， 而， ∴，又，，，， ∴，而， 若令，则，即， ∴，可知的最大值为， 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的性质，结合凑配的方式得到关于的不等式，求解集，即可知的最值. 4．（23-24高一下·上海松江·期中）设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题、利用坐标求向量的模 【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解 【详解】依题意，设，，. 根据，即，即，整理得. 显然，否则，，与已知矛盾，故可得. 由，即，故，解得. 故. 故答案为： 5．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）在四边形中，，，，，，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】已知模求参数、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算； （2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值． 【详解】解：，， ，， ， ； 过作，垂足为，则，，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 则，设，，， ，， ， 当时，取得最小值． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题． 6．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)，. 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、用基底表示向量 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合已知条件，即可容易表达； （2）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出对应向量的坐标，用点横坐标表达，进而根据点横坐标的范围，即可求得结果. 【详解】（1）因为为上靠近的三等分点，故可得， 又//，且，故， 则 . 即. （2）根据题意，因为，故以为坐标原点， 建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 因为点在上运动，故可设其坐标为， 则， 由可得， 则，因为，则， 故. 7．（23-24高一下·浙江温州·期中）在等腰梯形中，已知，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，. （1）当时，求的值. （2）记，试求函数的解析式及其最小值. 【答案】（1）； （2），最小值为 . 【知识点】利用坐标求向量的模、由向量线性运算解决最值和范围问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出点的坐标，联立直线和求得点，进而求得； （2）求得，从而求得，最后利用二次函数可求得其最小值. 【详解】以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 依题意知，，，. （1）当时，，，则直线：，直线：， 联立可得，，所以，所以，故. （2）因为，所以； 因为，所以. 则， 所以， 因为，所以. 【题型六 用向量解决夹角问题】 1．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 【答案】 【知识点】由坐标解决三点共线问题、数量积的坐标表示、用向量解决夹角问题 【分析】建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，表示出点坐标，再根据三点共线，得到，即可求出，再根据平面向量数量积的坐标运算计算可得； 【详解】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设与轴正方向的夹角为， 则，即， 所以， 因为三点共线，所以，即， 解得， 所以，所以， 所以，又为锐角，所以 ，所以 ； 故答案为： 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【知识点】用向量解决夹角问题、向量夹角的坐标表示 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 4．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（2024·广东广州·三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点，所以，. 又因为，所以 , , , 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、用向量解决夹角问题、用向量解决线段的长度问题 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 【题型七 用向量解决长度问题】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、用向量解决线段的长度问题 【分析】设，依题意可得，根据数量积的运算律求出，从而得到. 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 3．（23-24高一下·辽宁锦州）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题、用基底表示向量 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 4．（多选）（23-24高三下·云南·阶段练习）已知平面向量，，满足，，，则的取值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BCD 【知识点】向量与几何最值、用向量解决线段的长度问题 【分析】作，，，由已知得A，B在以点C为圆心，为半径的圆上，根据矩形性质得点D在以点C为圆心，8为半径的圆上，从而得，根据选项逐项判断即可. 【详解】如图，作，，， 由，可知A，B在以点C为圆心，为半径的圆上， 以，为邻边作矩形，由矩形的性质可知，， 可得，即点D在以点C为圆心，8为半径的圆上， 所以，即，所以. 故选：BCD 5．（多选）（23-24高二下·浙江温州）已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】设，.先判断出点P、Q在直线AB上，得到夹角为.由，得到.设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H.设，,得到.设，求出，得到：.把表示为，求出. 对照四个选项，得到正确答案. 【详解】设， . 因为，所以点P、Q在直线AB上. 因为，所以，即夹角为. 因为，所以. 设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H. 设，,则. 设，因为，所以. 所以. 因为，所以，所以， 所以，即，解得：， 所以. 因为，所以. 对照四个选项，，，，. 故的值可以是CD. 故选：CD 6．（2024高一·全国）如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用向量解决线段的长度问题、平面向量基本定理的应用、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）用作基底表示向量，根据三点共线，可求． （2）利用三角形面积可求得，根据，结合向量的运算可求的最小值． 【详解】（1）依题意， =， 因为三点共线，故，解得． （2）因为，故， =，所以； ， 所以 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 【题型八 向量与几何最值】 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量与几何最值 【分析】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值. 【详解】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量与几何最值、平面向量基本定理的应用、向量减法的法则、向量的模 【分析】首先根据题意确定，的位置，然后设，利用平面向量的减法运算可得，，，最后求点关于的对称点,点关于的对称点，计算长度即可得到答案. 【详解】由题意知，当时，点的轨迹与相交于，即， 当时，点的轨迹与相交于，即. 设，则， ，. 于是, 设点关于的对称点,点关于的对称点， 则， 所以点共线的时候取得最小值， 即. 故选：B. 3．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值 【分析】第一空利用向量形式的三角不等式即可求解；第二空将转化为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 4．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是 . 【答案】14 【知识点】向量与几何最值 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及绝对值三角不等式，由此求得正确答案. 【详解】连接，如下图所示： 因为，则为圆的一条直径，故为的中点， 所以，， 所以 ， ， 当且仅当共线且同向时，等号成立． 故答案为： 5．（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【答案】4 【知识点】向量与几何最值、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用向量的加法可得和向量的模为点到直线上任意点的两点间距离，从而可得最小值为；也可用平方法，利用数量积来计算和向量的模，再结合二次函数求最小值即可. 【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动， 故的最小值为，由图可得：； 方法二：由题意可知，，令， 因为，所以恒大于零， 所以当时，取得最小值2， 所以，化简得，所以. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值、用基底表示向量、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得，计算出的表达式,最后根据的大小，可以求出的取值范围 【详解】M是上的点且C、D两点在以为直径的圆上， 且圆心为M，是等腰直角三角形， 所以， 又， 所以， 在等腰直角中,点M到线段MN上的一点N的距离最大值为1,取最小值时,N为的中点,此时， ， 所以. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、已知模求数量积 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积 【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【详解】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为    因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以 易知 所以 因为 所以 因为 所以 故选：B 【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线. 二、多选题 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．在中，，，，若，则为锐角三角形 B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心 C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是 D．在中，若，则与的面积之比为 【答案】BD 【知识点】向量加法法则的几何应用、用向量解决夹角问题、平面向量共线定理的推论、根据向量关系判断三角形的心 【分析】利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用单位向量的定义与加法的平行四边形法则判断与的角平分线的关系，从而判断C；注意到与同向的情况，可否定C；利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到的比例，从而利用比例的性质与三角形面积的特点判定D. 【详解】对于A，因为，即，所以，则为钝角，故A错误； 对于B， 因为、分别表示向量、方向上的单位向量， 所以的方向与的角平分线重合， 又，可得， 又，所以向量的方向与的角平分线重合， 所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确； 对于C ，因为，，所以， 当时，，此时与同向，夹角不是锐角，故C错误； 对于D，因为，所以， 延长交于，如图所示.    因为共线，所以存在实数，， 因为共线，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，则，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是延长交于，利用向量基本定理的推论得到在上的位置，从而得解. 4．（23-24高一下·四川成都）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为斜三角形，则 B．若，则为的内心 C．已知中，，，，为的外心，若，则的值为 D．在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为 【答案】AB 【知识点】基本不等式求和的最小值、向量在几何中的其他应用、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用 【分析】A选项：利用三角形内角和，两角和的正切公式可得； B选项：根据向量证明在三角形内角的角平分线上即可； C选项：根据向量的线性运算和等量关系，求出，即可判断； D选项：根据，即向量的数量积运算，得到，的关系，再利用基本不等式即可判断. 【详解】A选项：因， 所以， 得， 整理得， 故A正确. B选项： ，， 又， 即 整理得， 因，分别为，方向上的单位向量， 故在的角平分线上， 同理可证也在和的角平分线上, 故为的内心， 故B正确 C选项： 如图：为的外心，，，，， 则， 因，共线，，共线， 所以，， 即， ， 因，所以， 所以，， 由， 得， 得 故， 故C错误 D选项： 因，， 所以，，， 由得 ， 即， 因与线段交于点，故，， 故， 即，当且仅当时等号成立， 故D错误. 故选：AB. 三、填空题 5．（2025·河南洛阳·模拟预测）在中，为的中点，为的中点，过点作一直线分别与边相交于两点，设，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算得到，再对目标式进行化简，最后利用基本不等式中‘1’的代换求解即可. 【详解】首先，我们作出符合题意的图形， 因为为的中点，所以， 由向量加法法则得， ， 设，则， ， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 因为不共线，所以， 解得，故， 即，，化简得， 而， 故， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 故，即， 故的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是利用平面向量的线性运算得到，然后对目标式化简后再利用基本不等式得到所要求的最值即可． 6．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 2 / 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值、基本不等式求积的最大值、解析法在向量中的应用 【分析】建立直解坐标系，设，利用不等式，考虑极限情况求范围. 【详解】建立如图所示的平面直解坐标系，易知， 不妨设，其中， 则， 当且仅当或时，等号成立， 又， 当且仅当，即或时，等号成立. 故答案为：，. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算，将几何问题代数化，再利用基本不等式，考虑极限情况即可求解. 7．（2024·天津河西·一模）在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示 .若，则余弦值的最小值为 . 【答案】 / 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、基本不等式求和的最小值 【分析】第一空使用向量线性运算求解即可；第二空以为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 由已知，得 ， 所以， 设，即的夹角为， ， ∴若，则， ∴， 又∵， ∴由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：，. 8．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为 . 【答案】4 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、利用平面向量基本定理求参数 【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长， 【详解】在平行四边形中，是的中点，，与相交于O． 设， 则 由，可得 则，解之得，则 则 又，则，解之得，即的长为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用不同的途径，用基底表示向量. 9．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】构建直角坐标系，设，求出，结合辅助角公式可求最值，故可得范围. 【详解】构建如下图示，以为原点的直角坐标系，且， 由圆的半径为12， 设， 则，， 所以， ， 令，则， 故， 又 则，故， 综上， 故答案为： 10．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知向量满足，，，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】向量与几何最值、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由题意，若，设，求出、坐标，法一：根据求最小值；法二：由已知，结合基本不等式求范围，再由向量数量积坐标表示求的最小值；注意取值条件. 【详解】由题意，若，设，则，， 法一：， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 法二：， 即，（基本不等式） 所以，当且仅当时等号成立，故． 所以的最小值为． 故答案为： 11．（23-24高一下·四川德阳）如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为 .    【答案】 【知识点】数量积的运算律、解析法在向量中的应用、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可. 【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：    由题意三角形是边长为2的正三角形，则， 设，则，所以， 所以， 因为，所以，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（不等式）范围问题解决即可. 12．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知是的外心，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、用向量解决夹角问题、向量在几何中的其他应用 【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得，，，再求出，，，再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】，即，设， 两边同平方得，解得， 同理可得，， ， ，则， ，， . 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$