6.2.4平面向量的数量积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 平面向量的数量积 1 教学目标 理解平面向量数量积的含义并会计算 （重点） 01 理解在上的投影向量的概念（重点） 02 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模（难点） 03 掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 04 2 学科素养 在上的投影向量的概念 平面向量夹角、模的定义 数学抽象 理解在上的投影向量的概念 直观想象 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模 逻辑推理 理解平面向量数量积的含义并会计算 掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 数学运算 数据分析 数学建模 3 1.向量的夹角 2.平面向量数量积的定义 知识回顾 已知两个非零向量,O是平面上的任意一点，作, ,则∠AOB＝θ (0≤θ≤π) 叫做向量与的夹角．记作. 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，把数量做向量与的数量积(或内积)，记作,即. 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 4 3.投影向量 我们可以在平面内任取一点O，作，.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 对任意的向量在向量上的投影向量为 5 (1) (2) (3)当与同向时， ; 当反向时， ; 特别地， 或 (4) (由推得) (5) = a a常记为a 见到模长，想到平方 模的平方=向量的平方 可用于求向量的模. 实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式. 设，是非零向量，它们的夹角为 ，是与方向相同的单位向量，则 4.数量积的性质 与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律. 知识精讲 探究.类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ ① ③ ② 实数 猜 想 向量数量积 ① ③ ② 正确吗？ 7 m n 与不一定是共线 × 追问 三个向量不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘呢？ ∴ 向量数量积不满足结合律 . 思考1. 是否成立？ 设向量和的夹角为θ ∵， ∴ 思考2. 是否成立？ 思考3.是否成立？ 证明：当时， ∴ 同理可证，当， 时，等式成立. 思考4.设是非零向量，若,则一定成立吗？为什么？ 10 证明:如图，任取一点O，作, , , ．设, , 与的夹角分别为1，2，，它们在上的投影分别为, , ,与方向相同的单位向量为，则 因为 ，所以 ， 则 ，即 思考5.是否成立？ 向量数量积的运算律： 已知向量和实数，则向量的数量积满足： （交换律） （数乘结合律） （分配律） 例1.对任意，恒有， 对任意向量，是否也有下面类似的结论？ (1) ， 因此，上述结论是成立的. 向量的数量积满足实数的乘法公式. 追问 由此你能得出什么结论？ 例2.已知, , 与的夹角，求 (1) (2) 14 例3.已知,,且与不共线.当实数k为何值时,向量与互相垂直？ 15 的夹角 这四个量，知三可求一 例4.已知,, ,求与的夹角. 16 练习 1.给出下列判断: (1)若,则; (2)已知是三个非零向量,若,则; (3)向量与共线⇔ ; (4) ; (5) ; (6); (7)向量与满足: ,则与的夹角为锐角. 2.若非零向量, 满足,则与夹角的余弦值为( ). 3.已知, ,向量与的夹角为,, ,求当为何值时， . 巩固练习 课本P22 1.已知,, ,向量与的夹角为,向量与的夹角为.计算： (1) (2) 3.求证 2.已知,, 且与互相垂直,求证： . 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.知识点： (1)向量数量积的运算律. (2)利用数量积求向量的模和夹角. (3)向量垂直的应用. 2.方法归纳：类比法. 3.易错点：忽视向量数量积不满足结合律. 1.已知两单位向量， 的夹角为60º，若, 且，求实数 t 的值. 2.已知两向量,的夹角为，且, ,求 课后作业 22 【解析】　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错； 综上可知①②⑥正确． $$