6.2.4平面向量的数量积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 平面向量的数量积 1 教学目标 理解平面向量数量积的含义并会计算 （重点） 01 理解在上的投影向量的概念（重点） 02 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模（难点） 03 掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 04 2 学科素养 在上的投影向量的概念 平面向量夹角、模的定义 数学抽象 理解在上的投影向量的概念 直观想象 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模 逻辑推理 理解平面向量数量积的含义并会计算 掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 数学运算 数据分析 数学建模 3 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下∶ 设λ、μ为实数，那么 (1)λ(μ) = (λμ) (2)λμ (3)+) = λ+λ (2) λ>0时，λ与方向相同； λ<0时，λ与方向相反； 复习回顾 (1) 4 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是向量. 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？ 物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？ 5 思考1.一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 思考2. 功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ θ s F F 标量，大小由力、位移两个向量及它们的夹角确定。 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 先定义向量夹角的概念 向量的夹角 已知两个非零向量,O是平面上的任意一点，作, ,则∠AOB＝θ (0≤θ≤π) 叫做向量与的夹角．记作. O A B θ 显然，当θ=0时，与同向. 当时，与垂直，记作. 当θ=π时，与反向. 注意：计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起. O A B O A B O A B 50° A B C 45° 85° 在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角： (1) 与 45° 130° 85° 45° 130° 85° (2) 与 (3) 与 追问 两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？ 向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0, π], 两直线夹角的范围 . 跟踪练习 思考 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ ？ = 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是什么呢？ 力与位移的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是功； 向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，把数量做向量与的数量积(或内积)，记作,即. 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. O A B θ ①“”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ②数量积的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 即 ③在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0，]. 思考.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 数量积的正负是由什么决定的？ 两个非零向量的数量积，符号由夹角θ决定： ①当时， ， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ④当时， ， ； ⑤当时， ， 例1.已知, , 与的夹角，求. 典例解析 例2.已知, , ，求与的夹角. 新知探究 思考.在计算力所做的功的过程中，我们会先求力在物体运动方向上的分力，你能将其表示出来吗？ 那么，在向量中我们也有类似的概念。 设,是两个非零向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称这种变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量． 我们可以在平面内任取一点O，作，.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 投影向量 思考.设与方向相同的单位向量为, 与的夹角为， 那么与， ， 之间有何关系？ N M O M1 图(1) 图(2) 图(3) 如图(1),当为锐角时 显然与共线，于是 如图(2),当为直角时 如图(3),当为钝角时 与同向 与反向 ∴ ⇒ ∴ ∴ 图(4) 图(5) 如图(4),当时 ∴ ∴ 如图(5),当时 ⇒ ⇒ 综上可知，对任意的向量在向量上的投影向量为 课本P4练习3.已知, 为单位向量,当向量与的夹角分别等于,, 时，求向量在向量上的投影向量. 例3.(1)已知, , 与的夹角，求在上的投影向量. (2)已知, , 与的夹角，求在上的投影向量. 例4.已知, , ，求在上的投影向量. 从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 从，，这三个量进行思考与描述！ 数量积的性质 (1) (2) (3)当与同向时， ; 当反向时， ; 特别地， 或 (4) (由推得) (5) = a a常记为a θ=90º θ=0º θ=180º 见到模长，想到平方 模的平方=向量的平方 可用于求向量的模. 实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式. 设，是非零向量，它们的夹角为 ，是与方向相同的单位向量，则 达标检测 1.在△ ABC中, , , ,则. A. B. C. D. 2.设是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是. A. B. C. D. 3.在△ ABC中,,, 当或时，试判断△ ABC的形状. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.向量的夹角； 2.数量积的定义； 3.投影向量的定义； 4.数量积的性质。 【解析】　eq \o(BC,\s\up15(→))·eq \o(CA,\s\up15(→))＝|eq \o(BC,\s\up15(→))||eq \o(CA,\s\up15(→))|cos 120°＝5×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20. $$