专题02 平行线的判定（8题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版2024）

专题02 平行线的判定 目录 【题型一 平行线】 1 【题型二 平行线公理及其推论】 2 【题型三 添加条件使两直线平行】 4 【题型四 补充过程使两直线平行】 6 【题型五 直接证明两直线平行】 9 【题型六 旋转使两直线平行】 10 【题型七 平行线的判定的应用】 13 【题型八 作辅助线证平行】 14 【题型一 平行线】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．平行或相交 C．垂直或相交 D．平行或垂直 【答案】B 【分析】本题考查了在同一平面内，不重合的两条直线的两种位置关系．根据同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可知． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线有2种位置关系，它们是相交或平行． 故选B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的认识，射线、线段、直线的认识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的； 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的； 不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由两条射线组成，且射线无限延伸后没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条射线组成，当直线线延时，与射线有交点，故可以相交； 对于③，由两条直线组成，且在同一平面内没有交点，故一定平行， 故答案为：②；③． 【题型二 平行线公理及其推论】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在同一条直线上， 故答案为：② 2．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，将直角三角板放置在长方形纸片上，若，则的度数为 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，过点B作，可得，根据平行线的性质求得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三 添加条件使两直线平行】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）老师在固板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得，以下四位同学的答案不正确的是（　　） A．小龙： B．小年： C．小达： D．小吉： 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，∴，故该选项不符合题意； ． ∵，，∴，∴，故该选项不符合题意； ．，不能判断，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行可知添加条件即可． 【详解】解：可以添加，可根据同位角相等，两直线平行得到， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．由平行线的判定，即可得到答案． 【详解】解：要使直线，则需要添加的条件可以为，也可以为，也可以为， 故答案为：（或或）． 【题型四 补充过程使两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． (1)已知，，平分，与平行吗？为什么？ 解：．理由如下： 因为，平分（已知）， 所以（__________）， 又因为（已知）， 所以____________________， 所以（__________）． (2)已知，平分，与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据同位角相等，两直线平行即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，，，内错角相等，两直线平行； （2）解：平行．理由如下： ∵EF平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 【答案】；60；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明． 【详解】解：解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以（角平分线的定义） 又因为， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案． 【详解】解：∵， ∴（等式的性质）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵， ∴（补角定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；补角定义；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【题型五 直接证明两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在射线上，点在射线上，．与平行吗？为什么？ 【答案】与平行．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义得出，结合已知可得出，再由可得出，进而可得出． 【详解】解：与平行．理由如下： 由题图可知，． ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，垂足为．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直的性质，平行线的判定，余角的性质等知识点，由垂直的定义可，利用等角的余角相等可得，最后由平行线的判定即可得证，熟练掌握垂直的性质，平行线的判定是解决此题的关键． 【详解】解：， ， 又， ， ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的平分线，且．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线，角平行线的综合题，平行线的判定，角平分线定义，将两个角的互补关系转化为两条直线的平行关系是解题的关键．根据角平分线定义，平行线的判定问题可以得证． 【详解】解：分别是的平分线， ． ， ， ． 【题型六 旋转使两直线平行】 例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．如图，根据要使，运用同位角相等，两直线平行，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】要使，由同位角相等，两直线平行可知 即直线绕点按逆时针方向至少旋转 故选择：D 【变式训练】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A．72° B．62° C．18° D．36° 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 过点B作射线，根据平行线的性质与判定先求得，再利用平行线的性质即可求得． 【详解】解：过点B作射线 ∵ ∴ 由图可知， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，将以点C为旋转中心旋转得到，过点A作，交的延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，，再由平行线的判定得到，进而可证四边形是平行四边形，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵将以点C为旋转中心旋转得到， ∴，，． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． 【题型七 平行线的判定的应用】 例题：（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等， ∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，工人师傅在施工过程中，需在平面内制作一个弯形管道，使其拐角，则管道与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】①，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； ②，无法判定，不满足要求； ③，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； 综上所述：①③符合要求； 故答案为：①③． 【题型八 作辅助线证平行】 例题：（20-21七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出结果即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ， ，， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了方向角，平行线的判定和性质，过点作，可得，即得，，再根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：．    2．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 小佳同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 小丽同学：如图③，过点作交的延长线于点，然后再证明， ，． (1)如图②，请按小佳同学的思路，写出证明过程； (2)如图③，请按小丽同学的思路，补齐图形并写出证明过程； (3)如图④，已知，平分，平分，与交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义， （1）过点作，则，进一步得，则有，即可证； （2）过点作交的延长线于点，则，利用平行线的性质得，可得，即可证得； （3）由（1）知，，结合角平分的定义得和，再得到，即可证明． 【详解】（1）解：过点作，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作交的延长线于点，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 由（1）知，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 故选A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下： 下列说法正确的是（   ） A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确 C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确 【答案】C 【分析】根据作图的意义，平行线的判定解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 根据基本作图，得, 故． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（   ） A．第一次右拐，第二次右拐 B．第一次右拐，第二次右拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质．两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，据此判断即可． 【详解】解：因为两次拐弯后，按原来的方向前进， 所以两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且相等，因此四个选项中只有D选项正确． 故选：D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，能利用判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理一一判定以及可得出答案． 【详解】解：．由无法判断，故该选项不符合题意； ．∵，∴，无法判断故该选项不符合题意； ．由无法判断，故该选项不符合题意； ．∵，∴ ，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定逐一判断． 【详解】解： ，（内错角相等两直线平行）； ，和是不相关的一组角，不能判断； ，（同旁内角互补两直线平行）； ，（同旁内角互补两直线平行）； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线判定的应用，解题的关键是掌握平行线判定的方法．根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 即木条a旋转的度数至少是时，， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】解：添加：， ，， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据与相交，来判定与的关系． 【详解】解：∵与相交，， ∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，折叠的性质，角平分线定义的应用，根据长方形的性质和直角三角形的性质可求，根据折叠求出，根据平角的定义可求，再根据角平分线定义求出，再根据直角三角形的性质可求的度数，进而得，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】解：因为四边形是长方形， 所以， 因为， 所以， 根据折叠可得， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图： ①找一格点P，使得； ②过点B作，垂足为Q． (2)在（1）的条件下，在网格内画出到直线的距离为4的所有点构成的图形，该图形与直线、直线围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；10 【分析】本题主要考查了网格作图，在网格中利用网格特点作垂线和平行线，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）①根据网格特点，根据点C向左移动4格，向上移动2格，到点A，找到点B向左移动4格，向上移动2格的格点，然后连接此格点与点B的直线即可作出平行线，在该次平行线上的格点，都可以作出点P； ②根据网格特点，根据点C向左移动4格，向上移动2格，到点A，找到点B向下移动4格，向左移动2格的格点Q，连接即可； （2）根据两条直线间距离定义画出直线即可；根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：①如图，、、、中，任选一个点即可； ②如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， 与直线、直线围成的图形的面积为： ．    12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，对于两条直线被第三条直线l3所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． (1)已知是的关联角． ①当时，___________； ②当时，直线的位置关系为 ___________； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ___________． 【答案】(1)①；②平行 (2)①见解析；②、或 【分析】（1）①根据关联角所满足的关系式即可解答， ②解与构成的方程组，根据和的关系来确定直线的位置关系． （2）①由与与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而命题得以证明． ②根据直线过点的形式可分种情况，每种情况均有个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即可． 【详解】（1）解：①∵是的关联角，， ∴． 故答案为：． ②由题意可得方程组， 解得， ∴， ∴． 故答案为：平行． （2）解：①证明：∵是的关联角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的关联角． ②当直线位于如图所示位置时： ∵是的关联角，， ∴． 若是的关联角，则． 若是的关联角，则， 解得． 当直线位于如图所示位置时： ∵， ∴，， 若是的关联角，则． ∵， ∴（舍去）． 若是的关联角，则， 解得． 故答案为：、或． 【点睛】本题主要考查新定义，角度的和差计算，平行线的判定，互补角的计算，理解新定义，掌握角度的和差计算方法，分类讨论思想，数形结合是解题的关键． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，平行线的判定；根据题意以及角平分线的定义得出，根据邻补角以及三角形内角和定理得出，即可得证． 【详解】证明：如图所示， ∵平分． ∴， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的判定 目录 【题型一 平行线】 1 【题型二 平行线公理及其推论】 2 【题型三 添加条件使两直线平行】 3 【题型四 补充过程使两直线平行】 3 【题型五 直接证明两直线平行】 5 【题型六 旋转使两直线平行】 6 【题型七 平行线的判定的应用】 7 【题型八 作辅助线证平行】 8 【题型一 平行线】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．平行或相交 C．垂直或相交 D．平行或垂直 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 【题型二 平行线公理及其推论】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，将直角三角板放置在长方形纸片上，若，则的度数为 ． 【题型三 添加条件使两直线平行】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）老师在固板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得，以下四位同学的答案不正确的是（　　） A．小龙： B．小年： C．小达： D．小吉： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是 ．（写出一个即可） 2．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 【题型四 补充过程使两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． (1)已知，，平分，与平行吗？为什么？ 解：．理由如下： 因为，平分（已知）， 所以（__________）， 又因为（已知）， 所以____________________， 所以（__________）． (2)已知，平分，与平行吗？为什么？ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 【题型五 直接证明两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在射线上，点在射线上，．与平行吗？为什么？ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，垂足为．试说明：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的平分线，且．试说明：． 【题型六 旋转使两直线平行】 例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A．72° B．62° C．18° D．36° 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，将以点C为旋转中心旋转得到，过点A作，交的延长线于点F，求证：． 【题型七 平行线的判定的应用】 例题：（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，工人师傅在施工过程中，需在平面内制作一个弯形管道，使其拐角，则管道与的位置关系是 ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【题型八 作辅助线证平行】 例题：（20-21七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    2．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 小佳同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 小丽同学：如图③，过点作交的延长线于点，然后再证明， ，． (1)如图②，请按小佳同学的思路，写出证明过程； (2)如图③，请按小丽同学的思路，补齐图形并写出证明过程； (3)如图④，已知，平分，平分，与交于点，请直接写出与的数量关系． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下： 下列说法正确的是（   ） A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确 C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（   ） A．第一次右拐，第二次右拐 B．第一次右拐，第二次右拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，能利用判断的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 7．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图： ①找一格点P，使得； ②过点B作，垂足为Q． (2)在（1）的条件下，在网格内画出到直线的距离为4的所有点构成的图形，该图形与直线、直线围成的图形的面积为________． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，对于两条直线被第三条直线l3所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． (1)已知是的关联角． ①当时，___________； ②当时，直线的位置关系为 ___________； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ___________． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$