6.2.1-6.2.2向量的加、减法运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 向量的加法、减法运算 1 教学目标 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律 01 会用向量的三角形法则和平行四边形法则进行两个向量的加减法运算 02 03 04 2 学科素养 数学抽象 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律 会 会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和 直观想象 利用向量的加法法则推导向量的减法法则 逻辑推理 能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算 数学运算 数据分析 数学建模 3 向量：既有大小又有方向的量. 向量的表示：用有向线段表示向量 A(起点) B(终点) 有向线段三要素：起点、方向、长度. 平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量. 规定：零向量与任一向量平行. 有向线段的长度即为向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作. 相等向量：长度相等且方向相同的向量. 知识回顾 4 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢?人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算 性质，体会向量运算的作用.
 下面先学习向量的加法.

 知识精讲 5 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成.能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 向量的加法运算 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ A C B 物理知识告诉我们，这个质点两次位移, 的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移与合成的.数的加法启发我们，从运算的角度看， 可以看作是与的和，即位移的合成可以看作向量的加法. 6 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上述这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 如图，已知非零向量, ,在平面内取任意一点A，作= , = ，则向量叫做与的和，记作， 即= . A C B （首尾相连，首尾连） 我们再来看力的合成问题. 7 如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗? A F1 B F2 O 我们知道，合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，F可以看作是F1与F2的和，即力的合成可以看作向量的加法. O A B F1 F2 F 8 如图,以同一点 O为起点的两个已知向量,,以OA,OB为邻边作□ OACB,则以O为起点的向量(OC是□ OACB的对角线)就是向量与的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. 思考:向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么? O A B 9 【1】两个法则的使用条件不同： 【2】当两个向量不共线时，两个法则是一致的. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和； 平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和； 【3】三角形法则中强调“首尾相连”；平行四边形法则中强调的是“共起点，不共线”. 又因为，所以(三角形法则) 如图所示，(平行四边形法则)， O A B 对于零向量与任意向量，我们规定： 备注： 10 例1.如图，已知向量, 求作. O 作法1： 在平面内取任意一点O，作,，则向量. 11 O 作法2： 在平面内取任意一点O，作,,以OA，OB为邻边作▱OACB，连接AC，则向量. 例1.如图，已知向量, 求作. 12 探究:（1）如果向量, 共线，它们的加法与数的加法有什么关系?你能作出向量吗? 13 探究:（2）结合例1，探索 , 之间的关系. 1.当, 共线时 当, 同向时，有 当, 反向时，有 14 O 2.当, 不共线时 当, 不共线时,可知： 综上所述： 探究:（2）结合例1，探索 , 之间的关系. 同向取等 反向取等 15 探究:数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢? A B D A 由右图，你能否验证 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律. 16 例2. 长江两岸之间没什么大桥的地方,常常通过轮渡进行运输. 如图示,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h. (1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际的 航行速度； (2) 求船实际航行的速度大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到). A D B C 解：(1) 如右图， 表示江水速度； 表示船速； (1) (2) (3) (4) 1. 如图，在下列各小题中已知向量 ，分别用两种方法求作向量 . 课堂练习 课本P8 课本P8 3. 根据图示填空： ① ② ③ ④ 2. 当向量 满足什么条件时， A D C B E A D C B P 4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，判断下列各式是否正确（正确打“√”，错误打“×”）. × × √ 课堂练习 课本P8 5. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河. 小船航行速度的大小为15km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5km/h，求小船实际航行速度的大小与方向. A D C B E 课堂练习 向量的减法运算 与数的相反数是类似，我们规定：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此与互为相反向量. 思考：在数的运算中,减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？ 21 (1) ; (2) ; (3) 如果, 互为相反向量，那么,, 向量加上的相反向量，叫做与的差，即 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行∶减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 我们规定：零向量的相反向量仍是零向量. 22 A B C D E 即 已知, ，根据减法的定义，如何做出呢？ O B A 起点相同 指向被减向量 向量的减法几何意义： 已知非零向量, ,在平面内取任意一点A，作= , = ，则向量叫做与的差，记作，即= . 这种求向量差的方法，叫做向量减法的三角形法则. 思考：(1)上图中，从的终点到的终点作的向量是什么？ (2)如果∥，那么怎样作出呢？ 25 例3.如图，已知向量, , , ，求作, . 在平面内任取一点O，作 ，则 26 例4.如图，在□ABCD中，= , = ,用, 表示向量, . B 27 变式1.如图，在□ABCD中， = , =,用, 表示向量, . B 联立方程可解得： 28 A D C B 不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同. 变式2., 满足什么条件时,与垂直? 变式3., 满足什么条件时,? 和互相垂直 变式4.与有可能是相等向量吗? 例5. 如图，已知 ， ， ， ， ， 试用 ,, , , 表示以下向量： （1） ； （2） ； （3） ； . . （4） ； . （5） . . . 例6. 不作图，直接写出结果. 1. ( ) A. B. C. D. 0 D 2. ____. <m></m> 3.如图，，，分别是 的边，，的中点， 则 _ ___（用图中向量表示）. <m></m> 练习2.若||＝1，||＝2，求和的取值范围. 练习1.化简下列式子： 32 120o A D B 练习3.如图，已知向量， ，,且， 求和. 1. 如图，在各小题中，已知 分别求作 (1) (2) (3) (4) (1) O A B (2) O A B (3) O A B (4) O A B 课堂练习 课本P13 C 3. 作图验证： D′ C′ B′ A B D 课本P13 课堂练习 O A B A C B 向量的加法： 【1】两个法则的使用条件不同： 【2】当两个向量不共线时，两个法则是一致的. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和； 平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和； 【3】三角形法则中强调“首尾相连”；平行四边形法则中强调的是“共起点，不共线”. 归纳总结 又因为，所以(三角形法则) 如图所示，(平行四边形法则)， 36 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 向量的减法：向量加上的相反向量，叫做与的差.向量的减法可以转化为向量的加法来进行∶减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 即 向量的减法（三角形法则）： (1)共起点，连终点； (2)减向量的终点指向被减向量的终点. 37 课后作业 38 (2)(－)－(－). 【解析】（1）原式＝＋－＝＋＝－ （2）原式＝(－)＋(－)＝＋ (1)－－－； 1.化简－＋＋的结果等于(　　) A. B. C. D. 2.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________. 3.在平行四边形ABCD中，－＋－＝________. $$