11.2 反比例函数的图像与性质同步练习2024—2025学年苏科版数学八年级下册

2024—2025学年苏科版八年级下册数学11.2 反比例函数的图像与性质 一、单选题 1．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、……、An－1PnAnBn都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、……、An－1An都在y轴上(n≥2)，点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，……，点Pn(xn，yn)在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，已知B1（-1，1）则反比例函数解析式为（    ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，若点，，在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．定义新运算：m⊕n＝﹣（m≠0），则对于函数y＝x⊕3，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x增大而减小 B．该函数图象经过点（3，1） C．该函数图象位于第二、四象限 D．当﹣3＜x＜﹣1时，﹣3＜y＜﹣1 4．平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（      ） A． B． C． D． 5．已知点为反比例函数图象上的两点，当时，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（　　） A．b1＞b2 B．b1=b2 C．b1＜b2 D．大小不确定 7．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．当时，y随x的增大而增大 8．如图，点在反比例函数的图象上，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 9．如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连结AD，已知、、．则＝ ． 10．如图，直线AB交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若，则k的值为 . 11．反比例函数y＝（k≠0）的图象与以原点为圆心，为半径的圆的交点的横、纵坐标均为整数，那么k的值为 ． 12．反比例函数的图像是由两支曲线组成的（这两支曲线通常称为双曲线），当k>0时，两支曲线分别位于第 象限内，当k<0时，两支曲线分别位于第 象限内． 13．在一次数学兴趣小组的活动中，大家想编这样一道题：写出一个反比例函数，在x<0时，y随x的增大而减小．请你写出一个符合这些条件的函数解析式： ． 三、解答题 14．如图，一次函数（，为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于点和，一次函数（为常数，且）的图象与双曲线在第二象限部分的公共点为，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）判断点是否在上，并通过计算说明一定过点； （3）对于一次函数（为常数且），当随增大而减小时，直接写出的取值范围．    15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为，过点D和E的直线分别与AB，BC交于点M，N． （1）、求直线DE的解析式和点M的坐标； （2）、若反比例函数y=的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上； （3）、若反比例函数的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围． 16．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)求面积． 17．制作一种产品,需先将材料加热达到60℃后,再进行操作．设该材料温度为y(℃),从加热开始计算的时间为x(分钟).据了解,设该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图所示).已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式； (2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间? (3)根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃时，为最佳操作时间，那么此工艺品的最佳操作时间为多久? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A A A D B 1．A 【分析】由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），据此可得答案. 【详解】在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称．∵B1（﹣1，1），∴P1（1，1）．则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=，故选择A. 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数函数解析式，解题的关键是待定系数法求函数解析式． 2．B 【分析】先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】∵反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点， ∴， ∴在二四象限内反比例函数y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的图形与性质，判断出是解答本题的关键． 3．C 【分析】根据新运算“⊕”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可． 【详解】解：⊕， ⊕． ．当时，随增大而增大，故本选项不符合题意； ．当时，，故本选项不符合题意； ．该函数图象位于第二、四象限，故本选项符合题意； ．当时，，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键． 4．A 【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小， ∴点和中，， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键． 5．A 【分析】根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结论． 【详解】∵反比例函数在时，y随着x的增大而减小， ∴当时， 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 6．A 【详解】解： 反比例函数的图象在第一、三象限. 图象在第一象限，随的增大而减小， 故选A. 7．D 【分析】依据反比例函数图象的性质作答． 【详解】解：A．当时，代入反比例函数得，，正确，故本选项不符合题意； B．，图象位于第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； C．反比例函数的图象是双曲线，图象关于原点成中心对称，正确，故本选项不符合题意； D．，在第一、三象限内y随x增大而减小，所以当时，y随x的增大而减小，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大． 8．B 【分析】设点A的坐标为（x，y）,S△AOB=OA•AB=xy=|k|，利用反比例函数k的几何意义判断即可． 【详解】解：设点A的坐标为（x，y） ∵点在反比例函数的图象上， ∴xy=4 ∴OB=-x,AB=-y ∴S△AOB=OA•AB=xy=×4=2 故选择：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是熟练掌握“在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|．” 9．． 【分析】过点A作轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，根据，可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积，进而可求出． 【详解】解：过点A作轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图： ∵，反比例函数经过B点 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】此题主要考查的知识有：反比例函数系数k的几何意义和性质，通过矩形的面积求出k的值是解本题的关键． 10． 【分析】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到•k，得到b=3a， 然后根据三角形面积公式得到b•，于是可计算出k的值． 【详解】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0）． ∵B恰为线段AC的中点，∴B点坐标为（，）． ∵B点在反比例函数图象上，∴•k，∴b=3a． ∵S△OAC=，∴b•，∴•3a•，∴k=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式． 11．±2． 【分析】设反比例函数y＝（k≠0）的图象与以原点为圆心，为半径的圆的交点为（x，y），则有x2+y2＝5，由于横、纵坐标均为整数，则x＝±1，y＝±2或x＝±2，y＝±1，最后代入y＝即可． 【详解】解：设反比例函数y＝（k≠0）的图象与以原点为圆心，为半径的圆的交点为（x，y）， ∴x2+y2＝5， ∵横、纵坐标均为整数， ∴x＝±1，y＝±2或x＝±2，y＝±1， ∵y＝ ∴k＝±2， 故答案为±2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，确定交点的横坐标和纵坐标是解答本题的关键． 12． 一、三 二、四 【解析】略 13．（答案不唯一，只要k＞0即可）． 【详解】试题分析：由反比例函数的性质可得，当x<0时，y随x的增大而减小时可确定k＞0，所以只要写出一个满足k＞0的反比例函数的表达式即可． 考点：反比例函数的性质． 14．（1）， （2）在；见解析 （3） 【分析】（1）用待定系数法解题，将点代入中，可解得，进而解得，再将点A、B代入一次函数中，转化为解二元一次方程组，据此解题即可； （2）将代入一次函数解析式中，解得y=4，即说明点D在直线上，将代入一次函数解析式中，解得y=4，即可说明经过点D； （3）分两种情况讨论：如图1，当轴时，如图2，当轴时，结合函数图象增减性解题即可． 【详解】解：（1）∵反比例函数经过点，∴． ∵点在上， ∴，∴． 把坐标代入， 则有，解得． ∴． （2）的解析式为：，把代入得， ∴点在上， 把代入的解析式中，得， ∴无论为何值，均有点满足的解析式． 故一定过点． （3）． 如图1，当轴时，；如图2，当轴时，，代入反比例函数中．∴当增大而减小时，．      【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，其中涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数法解反比例函数解析式、判断点是否在直线上、直线经过定点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15．（1）、y=-x+3，M（2，2）；（2）、y=，在；（3）、4≤m≤8 【详解】试题分析：（1）、已知点D（0，3）和E（6，0），设DE直线解析式为y=ax+b，分别把x=0，y=3和x=6，y=0代入解析式，解得a=-，b=3.求出DE直线解析式；已知DE解析式，M为DE直线上的点，且M在AB上，故M点y值为2. 把y=2代入解得x=2，故M点坐标（2,2）；（2）、把M点坐标代入反比例函数，求得m=4， 已知N在BC上，故N点所对x=4.把x=4代入得y=1，N（4,1），故4×1=4=m，故N在反比例函数上；（3）、若反比例函数（x>0）的图象与△MNB有公共点，M点坐标（2,2），N（4，1），B（4，2）．则在x值范围2≤x≤4时，对应y值范围在1≤y≤2，且m=xy．故m的取值范围为：4≤m≤8 试题解析：（1）、设DE直线解析式为y=ax+b 将（0,3）和（6,0）代入可得： 解得： ∴函数解析式为y=-x+3 根据题意可得： 点M的纵坐标为2，代入直线y=-x+3可得：x=2 即点M的坐标为（2,2） （2）、将点M（2,2）代入y=可得：m=4 即反比例函数的解析式为：y= 将x=4代入反比例函数解析式可得：y=1，即点N在反比例函数图像上. （3）、∵反比例函数（x>0）的图象与△MNB有公共点，M（2,2），N（4，1），B（4，2） ∴2≤x≤4 则1≤y≤2 ∵m=xy ∴4≤m≤8 考点：反比例函数的性质 16．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． （3）设直线与y轴的交点为C，利用直线解析式计算，结合计算即可． 【详解】（1）∵一次函数与反比例函数的图像相交于、两点， ∴ ， 解得， 故；． （2）∵，，且， 故或． （3）设直线与y轴的交点为C， ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴． 17．（1）当0≤x≤5时，y=9x+15；当x＞5时，y＝；（2）20分钟；（3）. 【分析】（1）分成0≤x≤5和x＞5两种情况，利用待定系数法即可求解； （2）在当x＞5时的函数解析式中，求得y=15时对应的自变量x的取值即可； （3）在两个函数解析式中求得y=30时对应的自变量的值，求差即可． 【详解】解：（1）当0≤x≤5时， 设函数的解析式是y=kx+b，则 解得： 则函数的解析式是：y=9x+15； 当x＞5时，y＝ ； （2）把y=15代入y＝，得15＝，x=20； 经检验：x=20是原方程的解． 则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟； （3）把y=30代入y=9x+15得x=；把y=30代入y＝得x=10， 所以材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间为10-=分钟． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$