11.3 用反比例函数解决问题同步练习2024—2025学年苏科版数学八年级下学期

2024—2025学年苏科版八年级下册数学11.3 用反比例函数解决问题 一、单选题 1．在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近（   ） 动力臂 动力 0.5 600 1.0 302 1.5 200 2.0 2.5 120 A． B． C． D． 3．某直角三角形的面积为6，两直角边长分别为x，y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个电子体重秤的电路图如图（2）所示，可变电阻可随着人的质量的变化而变化，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为（该读数可以换算为人的质量），则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 5．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 6．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产只（取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点．轴于点B，轴于点D，则四边形的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x吨，这批材料能用y天，则y与x之间的函数关系式为(       ) A． B． C． D． 二、填空题 9．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．若压强由减压，则气体体积增大了 mL． 10．如图，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的表达式为 ． 11．当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的取值范围是 ． 12．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B．下面结论： ①PA与PB始终相等；②△OBP与△OAP的面积始终相等； ③四边形PAOB的面积不变；④PA•BD=PB•AC． 其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上） 13．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC的边OB在x轴上，过点C（3，4）的双曲线与AB交于点D，且AC=2AD，则点D的坐标为 ． 三、解答题 14．2021年4月12日，由国药集团中国生物武汉生物制品研究所申报的一类新药——新型冠状病毒灭活疫苗，获得国家药品监督管理局临床试验许可，这是全球首家获得临床试验批件的新型冠状病毒灭活疫苗．疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：miu/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50miu/ml时，并且不低于23miu/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 15．如图，小明用图形计算器绘制了如图所示的关于轴对称的图形，该图形由左右两侧的两段反比例函数图象和构成，点恰为的中点，． 求左右两侧反比例函数的关系式(要求分别注明自变量的取值范围)； 平行于轴的直线与该图形有三个交点，请求出交点坐标； 请分别写出直线与该图形有两个交点和没有交点时的取值范围． 16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别于AB，BC交于点M，N． （1）求直线DE的解析式和点M的坐标； （2）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，求该反比函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上． 17．某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价万元，首次付款后每个月应还的钱数y（元）与还钱月数t的关系如图所示．    (1)根据图像写出y与t的函数关系式； (2)求出首次付款的钱数； (3)如果要求每月支付的钱数不多于400元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D C A C C B 1．C 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据题意求出y与x的函数解析式，即可判断其图象． 【详解】解∶根据题意，得，即． ∴函数图象为双曲线在第一象限的部分． 故答案：C． 2．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设，将代入得出，再令，计算即可得解，解题的关键是从表格中得出动力臂与动力成反比的关系． 【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系， 设， 将代入得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的图象与应用，根据直角三角形的面积公式列出式子，再化为用x的代数式表示y得出关系式，再根据反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的长、宽分别为x、y，面积为6， 根据直角三角形的面积公式得：， 即 ∵x和y都大于零， 根据反比例函数的性质得：的图象是D， 故答案选：D． 4．C 【分析】通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为关于的函数解析式 【详解】由题意得：可变电阻两端的电压=电源电压-电表电压， 即：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴． 化简得：， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的． 5．A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：A． 6．C 【分析】根据等量关系“每只玩具熊猫的成本=总成本÷数量”列出关系式即可． 【详解】解：由题意得：y与x之间满足的关系为． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的运用，重点是找出题中的等量关系． 7．C 【分析】联立正比例函数与反比例函数的解析式，解方程组得点、、、的坐标，然后在求四边形的面积． 【详解】解：解方程组  得，, 即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为，，, 所以点的坐标为，点的坐标为, 因为，轴于点，轴于点, 所以，与均是直角三角形. 则：， 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解. 8．B 【分析】利用总原料的用量等于平均每天的用量乘以使用天数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 变形得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了列反比例函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 9．20 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设这个反比例函数的解析式为，求得，当时，求得，当时求得，，于是得到结论． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ， ， 当时，， 当时，， ， 气体体积增大了， 故答案为：20． 10．y= 【详解】设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： πr2=10π 解得：r=. ∵点P(3a，a)是反比例函y= (k>0)与O的一个交点， ∴3a2=k. ∴a2==4. ∴k=3×4=12， 则反比例函数的解析式是：y=. 故答案是：y=. 点睛：本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键. 11． 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法即可求出电流关于电阻的函数关系式，将代入函数关系式解出即可． 【详解】解：设， 根据题目条件知，当时，， 故， ， ， 当电流时， 即， ， 所以当电路中的电流时，电阻的取值范围是， 故答案为：． 12．②③④ 【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：∵A、B是反比函数y=上的点， ∴S△OBD=S△OAC=， ∵点P在y=上， ∴S△PDO=S△POC=， ∴S△POB=S△POA=1，故②正确， ∵当P的横纵坐标相等时PA=PB，故①错误； ∴S四边形PAOB=S△PBO+S△POA=3，故③正确； 连接OP， ∵=3， ∴AC=PC，PA=PC， ∴=2， 同理可得=2， ∴=，即PA•BD=PB•AC故④正确． 故答案为②③④. 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，还要熟悉反比例函数的对称性，体现了数形结合的魅力. 13．（7，）． 【分析】如图，作CF⊥OB于点F，作DE⊥OB于点E，连接CD并延长CD交x轴于点M，根据勾股定理求得OC=5，设AC=2a，则AD=a，OB=2a，DB=5-a，证明△COF∽△DBE，根据相似三角形的性质求得，，即可得D（，），因为点D在反比例函数的图象上，可得方程·=12，解得a=或a=0（舍去）；从而求得点D的坐标. 【详解】如图，作CF⊥OB于点F，作DE⊥OB于点E，连接CD并延长CD交x轴于点M， 设反比例函数的解析式为，把点C（3，4）代入求得k=12，即； ∵四边形ABOC是平行四边形， ∴AC∥OB，OC∥AB，AC=OB，AB=OC， ∵C（3，4） ∴OF=3，CF=4， 在Rt△CFO中，根据勾股定理求得OC=5， ∴AB=5. 设AC=2a，则AD=a，OB=2a， ∴DB=5-a， ∵OC∥AB， ∴∠COF=∠DBE， ∵∠CFO=∠BED=90°， ∴△COF∽△DBE，023 ∴, ∴，， ∴OE=， ∴D（，）， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴·=12， 解得a=或a=0（舍去）； ∴D（7， ）. 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，作出辅助线，证明△COF∽△DBE，利用相似三角形的性质求得，是解决本题的关键. 14．(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min (2)①两段函数对应的表达式为y；②小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内 【分析】（1）根据题意，列二元一次方程可解； （2）①由函数可象过（0.7， 910）且两段函数分别为正比例函数和反比例函数，利用待定系数法可求出函数解析式，由函数可象可知自变量的取值范围；②让反比函数函数的函数值在23和50之间解不等式可得答案； 【详解】（1）设生产1支单针疫苗需要xmin，生产1支双针疫苗需要ymin． 则：， 解得：， 所以，生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min． （2）①设函数解析式为y＝kx，将（0.7，910）代入， 解得k＝1300， 故y＝1300x； 设函数解析式为，将（0.7，910）代入， 解得m＝637， 故， 两段函数对应的表达式为y； ②当y＝50时，x＝12.74，当y＝23时，x＝27.7， 所以小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内． 【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，注意两段函数的特点及取值范围是解答本题的关键． 15．（1）；（2）和；（3）有两个交点时：；没有交点时：或． 【分析】（1）连接OA,OB，根据点是的中点，图形关于轴对称，，得到，再根据，得到，即可求解. （2）根据平行于轴的直线与该图形有三个交点，得出直线经过点，分别令即可求解. （3）直接看图即可求解. 【详解】如图，连接 点是的中点，图形关于轴对称，， 点在第二象限，点在第一象限， 平行于轴的直线与该图形有三个交点， 直线经过点 分别令得， 交点坐标为和． 有两个交点时：； 没有交点时：或． 【点睛】此题主要考查反比例函数关系式的求法和函数图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键. 16．（1），M（2，2）；（2），在． 【详解】试题分析：（1）设直线DE的解析式为，将D（0，3），E（6，0）代入，解方程即可求出直线DE的解析式；由矩形的性质可得M点与B点纵坐标相等，将y=2代入直线DE的解析式，求出x的值，即可得到M的坐标； （2）将点M（2，2）代入，即可求出反比函数的解析式，再由直线DE的解析式求出N点坐标，进而判断点N是否在该函数的图象上． 试题解析：（1）设直线DE的解析式为，∵D（0，3），E（6，0），∴，解得：，∴直线DE的解析式为；当y=2时，，解得x=2，∴M的坐标为（2，2）； （2）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点M（2，2），∴m=2×2=4，∴该反比函数的解析式是；∵直线DE的解析式为，∴当x=4时，y=×4+3=1，∴N点坐标为（4，1），∵4×1=4，∴点N在函数的图象上． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 17．(1) (2)1000元 (3)15 【分析】（1）函数图象经过点，根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）首付的钱数就是电脑的价值与剩余钱数的差； （3）求出钱数是400元时的月份，根据函数图象的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设函数的解析式是， 把代入得到：， 解得：， ∴函数的解析式是； （2）解：万元元， （元）； 答：首付的钱数为1000元． （3）解：把代入得：， 解得． 答：至少15个月才能将所有的钱全部还清． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出反比例函数解析式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$