第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024，辽宁专用）

第二章 相交线与平行线 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 2．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（    ） A．B．C．D． 3．下列图形中，与互为对顶角的是（） A． B． C． D． 4．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与互余的是（   ） A． B．C． D． 5．如图，点C、O、B在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 7．如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（   ） ①以C为圆心，长为半径画弧，交于点 M． ②作射线，则． ③以M 为圆心，长为半径画弧，交弧 于点 D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点 E，F． A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 8．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 10．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．已知，则的补角的度数是 ． 12．一个角的补角比它余角的2倍多10°，则这个角的度数为 ． 13．社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 14．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，，两点分别落在，两点处，若：：，则 度． 15．如图，在中，，，D是边上一点（点D不与A、B重合）．将沿着翻折，点B的对应点为点E， 交于点F，如果，则 ．    三、解答题 （共75分) 16．（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 18．如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解： （已知）， ___________（            ）， 又（已知）， （              ） ___________（              ） （              ） （已知）， ___________． 19．如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 20．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 21．如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 22．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)求证：； (2)若，，则______． 23．综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线与相交线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【详解】解：若，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 2．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟知相关的定义是解答本题的关键 根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可． 【详解】解：A、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； B、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； C、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； D、于，则线段的长表示点到直线的距离，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列图形中，与互为对顶角的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的意义，掌握对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的意义，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角的意义得，C选项的图象符合题意， 故选：C． 4．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据等角的补角相等，同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据等角的补角相等，故本选项不符合题意； B、根据同角的余角相等，，故本选项不符合题意； C、，与互余，故本选项符合题意； D、，与不互余，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，点C、O、B在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了余角的性质，解题关键是明确同角的余角相等．根据角度关系一一判断即可． 【详解】解：点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴，即 ∴ 与不一定相等， 与也不一定相等， ∴①②④正确，共3个． 故选：C． 6．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 7．如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（   ） ①以C为圆心，长为半径画弧，交于点 M． ②作射线，则． ③以M 为圆心，长为半径画弧，交弧 于点 D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点 E，F． A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 【答案】C 【分析】本题考查了作图  −  基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． ①以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以为圆心，长为半径画弧，交弧 于点． ②作射线，则． 故选：C． 8．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到． 【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ， ， 又， ， 即， 故选：A． 10．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．先利用互补得到，再利用互余得到的余角，则可对①进行判断；由于，所以的余角，则可对②进行判断；利用得到，从而可对③④进行判断． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵的余角，所以①正确； ∵， ∴的余角，所以②正确； ∵， ∴， ∴的余角，所以③错误，④正确． 故选：C． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．已知，则的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的概念，角度的运算，根据“如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角”，即可列式计算． 【详解】解：的补角的度数是． 故答案为：． 12．一个角的补角比它余角的2倍多10°，则这个角的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了余角和补角的概念，一元一次方程的应用，理解“如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角”，“如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角”等相关概念是解题关键．设这个角的度数为，补角为，余角为，然后根据题目中的等量关系，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为， 由题意得， 解得， 故答案为：． 13．社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平行线的性质、点到直线的距离，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，即，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∴， ∴，即， 地到公路的距离是线段的长度，即为12千米． 故答案为：12． 14．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，，两点分别落在，两点处，若：：，则 度． 【答案】54 【分析】依据折叠的性质，即可得到，依据：：，即可得到'，根据平角的定义可得'，进而可以得出的度数． 【详解】解：由折叠可得， ：：， '， 由折叠可得， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折变换的知识，解题的关键能够根据折叠的性质得出'． 15．如图，在中，，，D是边上一点（点D不与A、B重合）．将沿着翻折，点B的对应点为点E， 交于点F，如果，则 ．    【答案】 【分析】由等边对等角可得，根据折叠的性质可得，，，进而得到，再根据平行线的性质可推出，，得到，，于是设，则，，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质，利用条件，推理论证出，是解题关键． 三、解答题 （共75分) 16．（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见详解，②见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了平行线的作图，平行线的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用网格的性质，过点作，即可作答． ②运用网格的性质，且结合垂线段最短，则，即可作答． （2）过点P作，且交于点，运用两直线平行，同旁内角互补，即可作答． 【详解】解：（1）①过点画直线，如图所示： ； ②在上画点，使的长度最小，如图所示： ； （2）点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使，如图所示： 17．如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义，同角的余角相等可得，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解： （已知）， ___________（            ）， 又（已知）， （              ） ___________（              ） （              ） （已知）， ___________． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由两直线平行，同位角相等得到，进而可得，则可证明，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 19．如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    20．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如下图，      ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 21．如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)求证：； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的判定与性质进行推理是解此题的关键． （1）先证，得出，则，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，再利用垂线定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（）得：，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 23．综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． （1）过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； （2）由（1）得，然后结合邻补角的定义可得； （3）由（1）（2）知，，结合，可证结论成立； 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ． （2） 理由： 由（1）得， ， ； （3）由（1）（2）知，， ∴， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$