第06讲 勾股定理（4个知识清单+8类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第06讲 勾股定理 课程标准 学习目标 1直角三角形的性质 2 勾股定理 3勾股定理的证明 4等腰直角三角形 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理； 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力. 学习重点：勾股定理的内容及证明. 学习难点：勾股定理的证明. 知识点01直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【即学即练1】 1．（2023春•定远县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2 【即学即练2】 2．（2024春•界首市期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　　． 知识点02 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【即学即练1】 3．（2024春•铜官区期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（　　） A．15 B．16 C．17 D．25 【即学即练2】 4．（2024春•无为市月考）如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 　　． 【即学即练3】 5．（2024春•合肥期中）如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，，CD＝5cm． 求AD的长和△ABC的面积． 知识点03勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【即学即练1】 6．（2023春•颍州区校级期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【即学即练2】 7．（2024春•瑶海区校级期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝15，S3＝1，则S1的值是 　　． 【即学即练3】 8．（2024春•庐江县期中）如图1，Rt△ABC的三边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，以AC为一边作正方形ABDE,点B在边CD上，将△ABC裁剪拼接至△AFE位置，如图2，请用图1、图2的面积不变证明勾股定理． 知识点04等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 【即学即练1】 9．（2024春•蒙城县期末）如图，AB⊥AC，．B，C，D在同一条直线上，AD＝BC，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 10．（2024春•瑶海区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为　　． 【分析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上；（2）点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况（1）中BQ＝QC+BC，情况（2）中BQ＝QC﹣BC． 【解答】解：分两种情况： （1）点Q在线段BC的延长线上，如图： 【即学即练3】 11．（2023春•包河区校级期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°. （1）求BD的长； （2）连接AD交BC于点E，求的值． 题型01 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）在直角三角形中，已知则直角三角形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长． 题型02勾股定理的证明方法 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．（八年级下·安徽安庆·期中）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ． 6．（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 题型03 勾股树（数）问题 7．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 8．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 9．（八年级下·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 题型04 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 题型05 求旗杆高度(勾股定理的应用) 12．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． 则风筝的垂直高度 米． 13．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 题型06求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 15．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 题型07求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 16．（八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部(    )处    A．5m B．7m C．8m D．10m 17．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为 米.    18．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 题型08求最短路径(勾股定理的应用) 19．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 21．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图：正方体的棱长为，一只蜗牛想沿最短路线从点爬向点．请求出这条最短路线的长度．    一、单选题 1．下列各组数中，哪一组是勾股数（   ） A．1，1，2 B．6，8，10 C．32，42，52 D．7，12，15 2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．13m B．12m C．10m D．8m 3．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 4．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 5．如图，小明用的木棒加固小树，已知，，则木棒底端距树根之间的距离为（　　） A． B． C． D． 6．一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，那么这个直角三角形的斜边长为（　　） A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．24 cm 7．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A．61 B．71 C．81 D．91 8．一次函数的图象与轴、轴分别交于点,,点,分别是,的中点,是上一动点.则周长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=EF，则正方形ABCD的面积为（ ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 二、填空题 11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 ．    12．如图，中，，，，若是的角平分线，则 ． 13．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 . 14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为 ． 三、解答题 15．在中，，，，求的长． 16．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗? 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，，，求四边形ABCD的面积． 18．如图1，中，， (1)如图2，点是边上一点，沿着折叠，点恰好与斜边上点重合，求的长． (2)如图3，点为斜边上上动点，连接，在点的运动过程中，若为等腰三角形，请直接写出AF的长． 19．如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上． (1)求出A，B两村之间的距离； (2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法)． 20．在平面直角坐标平面内，已知点在轴上，它到点和点的距离相等，求点的坐标． 21．如图，过圆锥的顶点和底面圆的圆心的平面截圆锥得截面，其中，是圆锥底面圆的直径，已知，，求截面的面积． 22．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形ECFG的边长为8，求阴影部分的面积和周长（提示：≈1.41，≈3.61，结果保留小数点后一位）． 23．已知：如图1：在中，，，，在下方作于点，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)连接，当为何值时，点在线段的垂直平分线上； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的面积． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 勾股定理 课程标准 学习目标 1直角三角形的性质 2 勾股定理 3勾股定理的证明 4等腰直角三角形 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理； 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力. 学习重点：勾股定理的内容及证明. 学习难点：勾股定理的证明. 知识点01直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【即学即练1】 1．（2023春•定远县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2 【分析】A、B根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断； C、根据同角的余角来找等量关系； D、分∠A＝∠B和∠A≠∠B两种情况来讨论． 【解答】解：A、在Rt△ACD中，，所以∠A与∠1互余,正确； B、在Rt△BCD中，，所以∠B与∠2互余，正确； C、∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°， ∴∠A＝∠2，正确； D、当∠A＝∠B时，,所以CD既是∠C的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以∠1＝∠2，正确；当∠A≠∠B时，∠1≠∠2，错误； 故选：D． 【点评】解答本题时，主要利用了直角三角形中两个锐角互余的性质． 【即学即练2】 2．（2024春•界首市期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　　． 【分析】因为是直角三角形，没有说明哪两个角是直角，这里应分两种情况求解：①∠C是直角；②∠B是直角． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形， ∴分两种情况： ①∠C是直角时，则∠A+∠B＝∠C＝90°， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时， ∴∠B＝90°﹣∠A＝45°， ∴∠A＝∠B， 此时m＝2； ②∠B是直角时，则∠A+∠C＝∠B， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时m＝2+4＝6； 故答案为：2或6． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，并注意分类讨论． 知识点02 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【即学即练1】 3．（2024春•铜官区期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（　　） A．15 B．16 C．17 D．25 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵直角三角形两直角边的长分别为9，12， ∴斜边长为， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 【即学即练2】 4．（2024春•无为市月考）如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 　　． 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为求解． 【解答】解：∵正方形PQED的面积等于36， ∴即PQ2＝36， ∵正方形PRGF的面积为64， ∴PR2＝64， 又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得： QR2＝PR2+PQ2＝64+36＝100， ∴QR＝10． 故答案为：10． 【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【即学即练3】 5．（2024春•合肥期中）如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，，CD＝5cm． 求AD的长和△ABC的面积． 【分析】利用勾股定理求得AD＝12cm，在证明△ABD是等腰直角三角形可得AD＝BD＝12cm，从而得出面积． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝＝＝12（cm）， ∵∠BAD＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝12cm， ∴BC＝BD+CD＝17（cm）， ∴△ABC的面积为：＝102（cm2）． 【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 知识点03勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【即学即练1】 6．（2023春•颍州区校级期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【解答】解：①S梯形＝（a+b）2＝（a+b）（a+b）， S梯形＝ab+ab c2＝2×ab+c2， ∴（a+b）（a+b）＝2×ab+c2， 整理得a2+b2＝c2， 故①满足题意； ③S正方形＝ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2， S正方形＝c2， ∴a2+b2＝c2， 故③符合题意； ④S正方形＝a2+2ab+b2， S正方形＝2ab+c2， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2， 故④满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． 【即学即练2】 7．（2024春•瑶海区校级期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝15，S3＝1，则S1的值是 　　． 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝NG，CF＝DG＝NF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2，S1+S2+S3＝27得出3GF2＝27，求出GF2的值即可． 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，MNKT是正方形， ∴CG＝NG，CF＝DG＝NF， ∴S1＝（CG+DG）2 ＝CG2+DG2+2CG•DG ＝GF2+2CG•DG， S2＝GF2， S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF， ∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝15， ∴GF2＝5， ∴S2＝5， ∵S3＝1， ∴S1的值是9． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2＝27是解决问题的关键． 【即学即练3】 8．（2024春•庐江县期中）如图1，Rt△ABC的三边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，以AC为一边作正方形ABDE,点B在边CD上，将△ABC裁剪拼接至△AFE位置，如图2，请用图1、图2的面积不变证明勾股定理． 【分析】连接BF，证明△BAF为等腰直角三角形，根据正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，列出等式即可解决问题． 【解答】证明：如图2，连接BF， ∵AC＝b， ∴正方形ACDE的面积为b2， ∵CD＝DE＝AC＝b，EF＝BC＝a， ∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b， ∵∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠BAE＝90°， ∵∠BAC＝∠FAE， ∴∠FAE+∠BAE＝90°， ∴△BAF为等腰直角三角形， ∴四边形ABDF的面积＝c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2）， ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， ∴b2＝c2+（b2﹣a2）， ∴b2＝c2+b2﹣a2， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是得到△BAF为等腰直角三角形． 知识点04等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 【即学即练1】 9．（2024春•蒙城县期末）如图，AB⊥AC，．B，C，D在同一条直线上，AD＝BC，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，证明△ABC是等腰直角三角形，得BC＝AB＝2，AE＝BE＝CE＝BC＝1，然后与勾股定理求出DE，进而利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB⊥AC，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB＝2， ∴AE＝BE＝CE＝BC＝1， ∵AD＝BC＝2， ∴DE＝＝＝， ∴CD＝DE﹣CE＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是准确作出辅助线． 【即学即练2】 10．（2024春•瑶海区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为　+1或﹣1　． 【分析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上；（2）点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况（1）中BQ＝QC+BC，情况（2）中BQ＝QC﹣BC． 【解答】解：分两种情况： （1）点Q在线段BC的延长线上，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°， ∵AC＝1，AQ＝2， ∴QC＝＝， ∵BC＝1， ∴BQ＝QC+BC＝+1； （2）点Q在线段CB的延长线上，如图： ∵∠ACB＝90°，AC＝1，AQ＝2， ∴QC＝＝， ∵BC＝1， ∴BQ＝QC﹣BC＝﹣1． 综上，线段BQ的长为+1或﹣1． 故答案为：+1或﹣1． 【点评】本题考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的边长计算中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键． 【即学即练3】 11．（2023春•包河区校级期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°. （1）求BD的长； （2）连接AD交BC于点E，求的值． 【分析】（1）已知BC＝AB＝AC＝1，则在等腰直角△BCD中，由勾股定理即可求BC （2）易证△ABD≌△ACD，从而得E点BC的中点，再根据等腰三角形的三线合一结合勾股定理即可求AE，DE，即可求得的值 【解答】解：（1）∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴BC＝1 ∵△BCD是等腰直角三角形，∠BDC＝90° ∴BD＝sin45°•BC＝（法二：由勾股定理：BC2＝BD2+DC2，BD＝DC 得，BC2＝2BD2，则BD＝＝） 故BD的长为 （2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，△BCD是等腰直角三角形 ∴易证得△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠BAE＝∠CAE， ∴E为BC中点，得BE＝EC， ∴在Rt△AEC中，由勾股定理得AE＝ 同理得ED＝ ∵AD＝AE+ED ∴＝＝1+=1+ 故＝． 【点评】此题主要考查等腰三角形“三线合一”性质，熟练运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键． 题型01 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为9，12 ∴斜边长为 故选：A 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）在直角三角形中，已知则直角三角形的面积为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况当为斜边时，利用勾股定理求出，即可求出直角三角形的面积，当当为斜边时，可以直接求出直角三角形的面积． 【详解】解：当为斜边时， 则， ∴直角三角形的面积为， 当为斜边时， 则直角三角形的面积为， 故答案为： 或． 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长． 【答案】尺 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：设尺， 根据题意知，尺， 尺. 尺， 尺，      ， ，即           解得尺.            答：绳索长为尺． 题型02勾股定理的证明方法 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 5．（八年级下·安徽安庆·期中）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ． 【答案】 勾股定理 c2=a2+b2 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理． 【详解】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2， 即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2． 这个定理称为：勾股定理． 故答案为：勾股定理，a2+b2=c2 【点睛】本题考查的是勾股定理的几何背景，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 6．（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 【答案】①在锐角三角形中，．②在钝角三角形中，；证明见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理，作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明． 【详解】解：①当三角形是锐角三角形时， 证明：如图，作垂足是，设的长为， 根据勾股定理得： 整理得： ②当三角形为钝角三角形时 证明：如图，过点作的垂线交于点，设的长为， 在直角三角形中， 在直角三角形中，， 整理得： ，． 所以：①在锐角三角形中，． ②在钝角三角形中，． 题型03 勾股树（数）问题 7．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，熟知勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义进行逐一判断即可：如果三个正整数a、b、c满足，那么a、b、c这一组数叫做勾股数． 【详解】解：A、，2， 这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴这一组数不是勾股数，不符合题意； C、这一组数中的数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴这一组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 8．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 【答案】5 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 9．（八年级下·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 【答案】（1）；（2） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）根据题意给出的四组三维勾股数，可知，第一个数比第四个数小2，据此列出方程组计算即可； （2）根据（1）的方法以及已知定义，列出方程组，进而用含的式子分别表示，． 【详解】（1），，，是“三维勾股数”， ， ， 由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积， ，且为正整数， ， 解得， （2）， ， 即， 令， 解得， ． 【点睛】本题考查了新概念类比勾股数进行求解即可，找出题目中所给数据的规律是解题的关键． 题型04 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出即可求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：m，m， ∴m， ∵m，m， ∴m， ∴梯子底端B向左移动了： 故选：D 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2)米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 题型05 求旗杆高度(勾股定理的应用) 12．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． 则风筝的垂直高度 米． 【答案】21.7 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度 【详解】解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，米， 故答案为21.7 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 13．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．作于点，在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，米， ∴米， ∴米， 答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米． 题型06求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∴， 故选：C． 15．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 题型07求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 16．（八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部(    )处    A．5m B．7m C．8m D．10m 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】首先设树顶端落在离树底部x米，根据勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可． 【详解】设树顶端落在离树底部x米，由题意得： 解得：x=8. 故选C. 【点睛】考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 17．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为 米.    【答案】// 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】由题可知，旗杆、绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】由题意得：， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为， 解得． ∴旗杆的高为米， 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用勾股定理解决实际问题的能力．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 18．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．在中利用勾股定理建立方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， 即， 解得． 题型08求最短路径(勾股定理的应用) 19．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的侧面展开分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 综上可知：∵ ∴爬行到达点的最短路线长为， 故选：． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 21．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图：正方体的棱长为，一只蜗牛想沿最短路线从点爬向点．请求出这条最短路线的长度．    【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出正方体的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先把正方体的侧面展开，连接，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：把长方体的侧面展开如图所示：    连接， 正方体的棱长为， ，， 在中， ． 答：这条路线的最短长度是． 一、单选题 1．下列各组数中，哪一组是勾股数（   ） A．1，1，2 B．6，8，10 C．32，42，52 D．7，12，15 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案． 【详解】解：A．∵ ，∴1，1，2不是勾股数； B．∵ ，∴6，8，10是勾股数； C．∵ ，∴32，42，52不是勾股数； D．∵ ，∴7，12，15不是勾股数； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键． 2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．13m B．12m C．10m D．8m 【答案】B 【分析】根据题意，设旗杆的高为x m ，则绳子AC的长为m ，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，m，如下图： 设旗杆的高为：x m ，则绳子的长为m ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 解得： ， 即旗杆的高为m． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 3．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 【答案】A 【分析】根据勾股定理列出方程，再求出解即可． 【详解】设梯脚与墙角的距离是x，根据题意，得 ， 解得. 所以梯脚与墙角的距离是0.7米. 故选:A． 【点睛】本主要考查了勾股定理的应用，理解勾股定理是解题的关键.即在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. 4．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 5．如图，小明用的木棒加固小树，已知，，则木棒底端距树根之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用．在中，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：，， ． 在中，，，， 则由勾股定理知：． 故选：A． 6．一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，那么这个直角三角形的斜边长为（　　） A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．24 cm 【答案】C 【详解】根据勾股定理可以得出：斜边长==10cm. 故选：C． 点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是灵活应用勾股定理的公式计算. 7．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A．61 B．71 C．81 D．91 【答案】C 【详解】由题可知：(a−b)2+a2=(a+b)2，解之得：a=4b， 所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b. 当b=27时，3b=81. 故选C. 8．一次函数的图象与轴、轴分别交于点,,点,分别是,的中点,是上一动点.则周长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】作C点关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求点P，用勾股定理可求得长度，可得PC+PD的最小值为，再根据CD=2，可得PC+PD+CD= 【详解】解：如图，作C点关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时PC+PD的值最小且 ∵,分别是,的中点，, ∴C（1，0），D（1,2） 在Rt△中，由勾股定理可得 又∵D（1,2） ∴CD=2 ∴此时周长为PC+PD+CD= 故选D 【点睛】本题考查最短路径问题，把图形作出来是解题关键，再结合勾股定理解题. 9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=EF，则正方形ABCD的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2 【详解】解：由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b， ∵AM=2EF， ∴2a=2b， ∴a=b， ∵正方形EFGH的面积为S， ∴b2=S， ∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S， 故选C． 10．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【答案】C 【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当E点在线段DC上时，如图所示：    ∵△AD'E≌△ADE， ∴∠AD'E=∠D=90°， ∵∠AD'B=90°， ∴∠AD'B+∠AD'E=180°， ∴B、D'、E三点共线， ∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD， ∴BE=AB=5， ∵BD'==4， ∴DE=D'E=5-4=1； ②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：    ∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°， ∴∠CBE=∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中， ， ∴△ABD″≌△BEC（ASA）， ∴BE=AB=5， ∵BD''==4， ∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9； 综上所知，DE的长为1或9， 故选C． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度． 二、填空题 11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 ．    【答案】13 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边， ∴大正方形的面积为， 故答案为：13． 【点睛】本题考查勾股定理，理解勾股定理几何应用是解答的关键． 12．如图，中，，，，若是的角平分线，则 ． 【答案】/ 【分析】过点I作于点D，于点E，根据角平分线的性质，得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，根据三角形的面积得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点I作于点D，于点E，如图所示： ∵是的角平分线， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是根据三角形的面积求出． 13．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 . 【答案】3 【详解】试题分析：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b． ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根， ∴a＋b＝4，ab＝3.5； 根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9， ∴c＝3， 即直角三角形的斜边长为3． 故答案为3． 点睛：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为16，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵大正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题 15．在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5， ∴AB为斜边， ∴AB＝． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 16．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗? 【答案】能通过 【分析】先求出弧形所在圆的半径；根据船宽，在Rt△OCH中，利用勾股定理可以求出此拱桥可以通过的船的高度，与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过． 【详解】 解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D为AB、EF的中点,且CD,ME,NF均垂直于AB,MN交CD于H．弧AB所在的圆心为O,连接OA,ON．设OA=r,则OD=OC-DC=r-2.4,AD=AB=3.6 有OA2=AD2+OD2即在Rt△OAD中，r2=3.62+（r-2.4）2 ∴r=3.9（米） 在Rt△ONH中，有OH=（米）． 所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）这里2米＜2.1米,故可以通过该桥．但是余量较小,要非常小心才好． 故答案为能通过. 【点睛】本题考查垂径定理的应用, 勾股定理，解本题的关键是求出此拱桥可以通过的船的高度，再与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过． 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，，，求四边形ABCD的面积． 【答案】 【分析】延长、交于，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出、，再利用勾股定理列式求出、，然后根据四边形的面积等于两个直角三角形的面积的差列式计算即可得解． 【详解】如图，延长、交于． ，， ， 在和中，，， ，， 由勾股定理得，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的面积，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 18．如图1，中，， (1)如图2，点是边上一点，沿着折叠，点恰好与斜边上点重合，求的长． (2)如图3，点为斜边上上动点，连接，在点的运动过程中，若为等腰三角形，请直接写出AF的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，则，根据折叠的性质得出，，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：设，则 ∵， ∵沿着折叠，点恰好与斜边上点重合 ∴，， ∴ 在中， ∴ 解得， ∴； （2）解：∵是等腰三角形， ①， ∴， ②当时，如图， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ③∵点为斜边上上动点，所以不存在， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键． 19．如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上． (1)求出A，B两村之间的距离； (2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法)． 【答案】（1）AB= 3km；（2）作图见解析． 【分析】（1）易得∠CAB=45°那么可根据45°的三角函数来求得AB的两段长，相加即可； （2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．到点A，B的距离相等，应在线段AB的垂直平分线上． 【详解】解：（1）设AB与CD的交点为O，根据题意可得∠A=∠B=45°， ∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形． ∴AO=，BO=2． ∴A，B两村的距离为AB=AO+BO=+2=3（km）． （2）作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN； ②直线MN交l于点P，点P即为所求． 20．在平面直角坐标平面内，已知点在轴上，它到点和点的距离相等，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间距离，利用两点间距离公式可以得到方程式，解方程式即可得到答案 【详解】设点的坐标为． 根据题意，得，∴． 即．解得． 所以点的坐标是． 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式 21．如图，过圆锥的顶点和底面圆的圆心的平面截圆锥得截面，其中，是圆锥底面圆的直径，已知，，求截面的面积． 【答案】截面的面积为． 【分析】先利用勾股定理计算出SO，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】在中，∵，， ∴， ∴截面的面积． 【点睛】本题考查圆锥的计算,解题关键是熟练掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 22．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形ECFG的边长为8，求阴影部分的面积和周长（提示：≈1.41，≈3.61，结果保留小数点后一位）． 【答案】S阴影=24；L阴影≈32.1． 【分析】根据S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD即可求出阴影部分的面积，根据勾股定理可求出BD与BG，然后根据四边形的周长代入数据计算即可． 【详解】解：∵BF=BC+CF，BC=4，CF=8， ∴BF=12； ∴S△BFG=GF•BF=48，S△ABD=AB•AD=8， ∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD=16+64﹣48﹣8=24； ∵BD==4，ED=4，EG=8，BG==4， ∴L阴影=BD+ED+EG+BG=12+4（+）≈32.1． 【点睛】本题考查了勾股定理和二次根式的性质，正确理解题意、准确计算是关键． 23．已知：如图1：在中，，，，在下方作于点，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)连接，当为何值时，点在线段的垂直平分线上； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点在线段的垂直平分线上可得CE=CF，列方程计算即可； （2）根据得到，进而得到CE和CF的关系，列方程计算即可； （3）过D作DM⊥BC于M，根据计算即可． 【详解】（1）由题意得： ∵，， ∴， 连接， ∵点在线段的垂直平分线上 ∴CE=CF， ∴，解得 即当时，点在线段的垂直平分线上 （2）∵， ∴ 当时，， ∴ ∴，解得 当时，， ∴ ∴，解得，不合题意 综上所述，当时，是直角三角形 （3）在（2）的条件下，，此时 ∴ 过D作DM⊥BC于M，如图 ∵于点，， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题属于三角形中的动点问题，涉及到30°直角三角形、勾股定理、垂直平分线的性质等知识点，熟练利用直角三角形的特点列方程是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$