22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 一、单选题 1．二次函数在内的最小值是（    ） A．3 B．2 C．－29 D．－30 2．抛物线，，的共同性质是： 都是开口向上； 都以点为顶点； 都以轴为对称轴； 都关于轴对称． 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a1x2；②y=a2x2；③y=a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（    ） A．a1a2a3 B．a1a3a2 C．a3a2a1 D．a2a1a3 4．函数与的图象的不同之处是（ ） A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状 5．如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．二次函数的图象的对称轴是（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 7．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式 ． 8．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 9．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2＋1(a<0)的图象上，若x1>x2>0，则y1 y2.(填“>”“<”或“＝”) 10．在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么a的取值范围为 ． 11．请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的解析式 ． 12．二次函数y＝的图象开口向上，则k＝ ． 三、解答题 13．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)． (1)求a，b的值． (2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．求符合下列条件的抛物线的表达式. （1）与的开口大小相同，方向相反； （2）经过点（-3,2）. 15．根据下列条件分别求a的取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝有最大值； (3)抛物线与的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线． 16．二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位． （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？ （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果） 17．如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线上，且轴.A点坐标为（a,-4），C点坐标为（3,b）. （1）求a，b的值； （2）求B，D两点的坐标； （3）求梯形的面积. 18．如图，已知点是抛物线上一点，是平面内一点，过点作与轴平行，交抛物线于点，当时，解答下列问题.    (1)的值为______ (2)当点在抛物线上时，求的值. (3)设的长为，求关于点的横坐标的函数解析式，并写出的最大值. (4)连接，当被轴分成的两线段之比为时，直接写出的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质? 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A C D B 1．C 【分析】根据图象，直接代入计算即可解答 【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 2．B 【分析】根据抛物线的性质直接回答即可． 【详解】解：抛物线，的开口向上，的开口向下，故错误； 抛物线，，的顶点为，对称轴为y轴，故正确，错误； 其中正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的抛物线的性质． 3．A 【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口，则a1a20， ③y=a3x2，开口向下，则a30， 故a1a2a3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键． 4．C 【分析】根据二次函数的性质得出，a决定开口大小以及方向，再利用顶点坐标位置得出不同． 【详解】y=x2+1与y=x2的图象顶点坐标为：(0,1)，(0,0)， 故图象的不同之处是顶点坐标位置. 故答案选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质. 5．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 6．B 【分析】根据二次函数的性质直接写出对称轴． 【详解】二次函数的图象的对称轴是直线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数，对称轴为，顶点坐标为（0，0）． 7． 【分析】根据开口方向与抛物线的方向相反，形状相同可得，再利用顶点坐标即可写出解析式． 【详解】∵抛物线与的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3） ∴设抛物线解析式为：， 代入顶点坐标（0，-3）得： ∴解析式为 故答案为． 【点睛】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键． 8． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 9．< 【详解】∵a＜0， ∴二次函数y=ax2+1（a＜0）的图象开口向下. ∵二次函数y=ax2+1（a＜0）的图象的对称轴为：x=0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴当x1＞x2＞0时，y1＜y2. 故答案为<. 10． 【分析】线段PQ在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大|a|越小，当经过点求出a的最小值；当经过点求出a的最大值． 【详解】解：由题意可知：线段PQ在第一象限，当a＜0时开口向下，显然的图象与线段没有交点； 当开口向上时，由抛物线性质“开口越大|a|越小”可知： 当经过点时，a有最小值，此时，解出， 当经过点时，a有最大值，此时，解出， 故a的取值范围为：． 【点睛】本题考查抛物线的性质：a的正负决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大． 11． 【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可． 【详解】解：抛物线解析式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系． 12． 【分析】由解析式是二次函数可知 ，再由图像的开口向上得，由此求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得， ∵图像的开口向上， ∴即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a＞0，图像开口向下时，a＜0是解题的关键． 13．(1) a＝－1, b＝－1; (2) 存在,理由见解析.． 【详解】分析：(1)将点(1，b)代入到直线y = 2x－3，可以得出b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m²= n²两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m² = n² ，然后在n = −m²－ m² 中把 m² 换为 n² ，求出n的值，最后得到m的值，即可得到P的坐标. 本题解析： (1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)， ∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)． ∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)， ∴－1＝a×12，∴a＝－1. (2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)， 则|x|＝|y|. ∵a＝－1，∴y＝－x2， ∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1， ∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1). 点睛：本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键. 确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地, 已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标 时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通 常设函数解析式为交点式. 14．（1）；（2）. 【分析】（1）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可； （2）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可； 【详解】解：（1）∴函数与的开口大小相同，方向相反， ∴， ∴； （2）将点（-3，2）代入，得 ，解得， ∴所求抛物线的表达式为. 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，正确代入计算、理解函数性质是解题的关键． 15．(1) ； (2) ； (3) 或 ； (4) ． 【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0； （3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数； （4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得 ． （2）由题意得 ， 解得 ． （3）由题意得 或 ， 解得 或 ； （4）函数土象开口向上 ． 【点睛】本题考查了二次函数图象得性质，解决本题的关键是根据二次函数图象性质求解． 16．（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）y1＞y2 【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0； （3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系． 【详解】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）平移后的函数图象如图所示， 当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3， 即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0； （3）由图象可得， A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＞y2． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”. 17．（1）,；（2），；（3）25. 【分析】（1）把点A，点C坐标分别代入解析式，即可求出a，b的值； （2）由B与A的纵坐标相等，D与C的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B，D的坐标； （3）分别求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案. 【详解】解：（1）当时， ， ∴. ∵点A在第三象限， ∴. 当时，， ∴. （2）∵轴， ∴A点与B点，C点与D点的纵坐标相同. ∵关于y轴对称， ∴，. （3）由题意，得梯形的高为5， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 18．(1) (2)2 (3)，的最大值为1 (4)或 【分析】（1）将点代入抛物线，即可求解； （2）将点代入解析式求出即可； （3）与轴平行，即的长度可用两点纵坐标差表示，根据二次函数的性质，即可求解； （4）分成线段比时，可分两种情况，即到距离是到轴距离2倍和倍时两种情况，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上一点， ∴ 解得：； 故答案为：． （2）∵在上， ∴， 解得，（舍）， ∴的值为2. （3）∵点的横坐标为，轴， ∴，， ∴. ∵，∴ ∴， ∴的最大值为1. （4）分成线段比时，可分两种情况，即到距离是到轴距离倍和倍时两种 ∴，解得：或（舍去）， ，解得：或（舍去） 综上所述，或. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，用点的坐标表示线段长度，熟练横坐标相等的两个点之间的长度等于纵坐标的差是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$