贵州省镇宁民族中学2025届高三第五次月考数学试卷

镇宁民族中学2025届高三第五次月考试卷（数学） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，, 又，所以. 故选：B. 2. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】C 【解析】因为复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且， 所以， 所以. 故选：C 3. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 0 【答案】D 【解析】，，成等比数列，， ，化为，解得， 则. 故选：D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为向量，，由可得，解得， 故，故． 故选：B． 5. 已知的三个角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，，所以， 因为，所以，所以，即， 又，得， 所以. 故选：D. 6. 已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 图象的对称中心为， C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象 【答案】D 【解析】由图易知，，得， 又，，所以，因为点在函数图象上，所以， 得到，又，所以，故， 对于选项A，由，得，，故直线不是图象的一条对称轴，所以选项A错误； 对于选项B，由，得，，函数图象的对称中心为，，所以选项B错误； 对于选项C，由，，得，， 当时，得到，所以选项C错误； 对于选项D，将的图象向左平移个单位长度后得，所以平移后的函数是偶函数，故选项D正确. 故选：D． 7. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则， 不妨设点在第一象限，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立，解得，即点， 所以，， 化简可得，即，双曲线的离心率． 方法二：因为为中点，，则，所以， 又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线， 得，所以，， 所以，故． 故选：C． 8. 已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为， 所以当时，，又，所以． 又由，可得， 所以， ， 故函数是以4为周期的函数，所以． 故选：C． 二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a7+a9=16,则下列各式一定成立的是(　　). A.a8=8 B.S15=120 C.a3+a13=16 D.a16=16 答案　ABC 解析　因为a7+a9=a1+6d+a1+8d=2(a1+7d)=16,所以a8=8,故A正确;S15=15a8=15×8=120,故B正确;a3+a13=2a8=16,故C正确;a16=a1+15d,不一定等于16,故D错误.故选ABC. 10. 已知，，且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】对于A，，恒成立，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，取，符合题意，而，D错误. 故选：ABC 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 【答案】BD 【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数的定义域是，可得，解得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，不等式， 当时解集为； 当时解集为； 当时解集为，故C错误； 对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，可得关于点中心对称，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12 已知等差数列，，则________． 【答案】21 【解析】设等差数列的公差为d， 由，可得，即， 则． 故答案为：21． 13. 已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 由是以原点为圆心，以5为半径的右半圆（含），如图， ， 的非空子集的个数为3等价于直线与半圆有2个公共点， 当直线经过点时，， 当直线与半圆相切时，得，则或（舍）， 由图知，，故整数b的可能取值为． 故答案为：（答案不唯一） 14. 正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则________。 【解析】 在正四棱台中，，，， 在侧面中，得， 由，所以， 设，则， 所以， 则 . 故选：B． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】解：（1）由正弦定理得：， 即， 因为， 所以， 因为，所以， 故， 因，所以. （2）由面积公式得：，解得：， 由余弦定理得：， 将，代入，求得：， 故的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为底面，、底面， 所以，， 所以，， 所以矩形是正方形，所以， 因为，所以平面 （2）解：由（1）知、、两两垂直，建系如图， ，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， ，，，，1，，，2，， 设平面的法向量为， 则，，即 所以可取，0，， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 已知函数在处的切线方程为 （1）求a，b的值； （2）判断的单调性. 解：（1），由题意可得，， 则，可得， ，即，； （2），， 令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 即， 故在上单调递增. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程. 【答案】解：（1）由题可得：，，又；解得； 故椭圆的方程为：. （2）设直线与交点为，根据题意，作图如下： 由题可知，直线的斜率存在，又过点，故设其方程为， 联立，可得，显然其， 设两点坐标为，则； 因为都垂直于轴，故， 则方程为：，方程为：， 联立方程可得：， 故，也即直线与的交点在定直线上. 19. 贵州省安顺市，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来安顺旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览黄果树大瀑布，另外的人计划既游览黄果树大瀑布又游览龙宫风景区，.每位游客若只游览黄果树大瀑布，则记1分；若既游览黄果树大瀑布又游览龙宫风景区，则记2分.假设每位首次来安顺旅游的游客计划是否游览龙宫风景区相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 解:（1）由题意得，随机变量的可能取值为2，3，4， 可得，，. 所以的分布列如下表所示： X 2 3 4 P 所以，数学期望为. （2）由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既游览黄果树大瀑布又游览龙宫风景区， 所以， 则， 由两式相减，可得， 所以. （3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件A，“合计得分”为事件，A与是对立事件， 因为，， 所以，即， 因为， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇宁民族中学2025届高三第五次月考试卷（数学） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 0 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 图象的对称中心为， C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象 7. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a7+a9=16,则下列各式一定成立的是(　　). A.a8=8 B.S15=120 C.a3+a13=16 D.a16=16 10. 已知，，且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12 已知等差数列，，则________． 13. 已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为________． 14. 正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则________。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 已知函数在处的切线方程为 （1）求a，b的值； （2）判断的单调性. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程. 19. 贵州省安顺市，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来安顺旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览黄果树大瀑布，另外的人计划既游览黄果树大瀑布又游览龙宫风景区，.每位游客若只游览黄果树大瀑布，则记1分；若既游览黄果树大瀑布又游览龙宫风景区，则记2分.假设每位首次来安顺旅游的游客计划是否游览龙宫风景区相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$