【新教材】专题突破八：实数中找规律问题（20道）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）（原卷+解析版） (2)

【专题突破】2024-2025七年级下册数学新人教版∙能力提升 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题组训练1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 【题组训练2】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 【题组训练3】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 【题组训练4】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 【题组训练5】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 【题组训练6】观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 【题组训练7】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【详解】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 【题组训练8】若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 【答案】2024 【详解】解：由题意得：， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ． 分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束． ， 故答案为：2024． 【题组训练9】观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题组训练10】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 【题组训练11】观察下列算式：，则的末尾数字是 ． 【答案】0 【详解】解：∵的个位数字是四个一循环，， ∴的个位数字与的个位数字相同是6， 故的末位数字是的尾数， 则的末位数字是：末尾为0， 故答案为：0． 【题组训练12】将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【答案】 【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题组训练13】已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 【题组训练14】先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 【题组训练15】先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 【题组训练16】方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【答案】(1)；；(2)见详解 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． （2）解：∵， ， ， ， ， ， 规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1； 若指数除以4余1，值为； 若指数除以4余2，值为； 若指数除以4余3，值为． 【题组训练17】观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 【题组训练18】观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 证明：左式， 右式， 左式右式，等式成立． 【题组训练19】先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6(2)(3)52 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 【题组训练20】先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【专题突破】2024-2025七年级下册数学新人教版∙能力提升 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题组训练1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题组训练2】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【题组训练3】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题组训练4】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【题组训练5】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【题组训练6】观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【题组训练7】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【题组训练8】若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 【题组训练9】观察下列等式： …… 则的值为 ． 【题组训练10】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【题组训练11】观察下列算式：，则的末尾数字是 ． 【题组训练12】将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【题组训练13】已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【题组训练14】先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【题组训练15】先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【题组训练16】方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【题组训练17】观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【题组训练18】观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【题组训练19】先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【题组训练20】先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$