【新教材】专题8.2立方根七大题型（一课一讲）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）（原卷+解析版）

专题8.2立方根七大题型（一课一讲） （内容:立方根与开立方） 【人教版】 题型一：立方根概念的理解 【经典例题1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根 【变式训练1-1】下列说法中，错误的是（　　） A．负数没有平方根 B．64的立方根是4 C．算术平方根等于它本身的数只有0和1 D．9的平方根是，用式子表示的是 【变式训练1-2】下列说法正确的是（   ） A．中的 B． C．的立方根是 D．3是的算术平方根 【变式训练1-3】下列说法正确的是（   ） A．任何实数都有平方根 B．若，则 C．1的立方根是 D．的立方根是 【变式训练1-4】下列说法正确的是（ ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数 【变式训练1-5】下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 题型二：利用立方根判断等式是否成立 【经典例题2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【变式训练2-4】下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】已知，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：利用立方根解方程 【经典例题3】求下列各式中的： (1) (2) 【变式训练3-1】解方程： (1)； (2)． 【变式训练3-2】求下列各式中的值： (1) (2)． 【变式训练3-3】解方程 (1)； (2)． 【变式训练3-4】解方程 (1)； (2) 【变式训练3-5】解方程： (1)； (2)． 题型四：立方根中探索规律问题 【经典例题4】小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】若，，则 ． 【变式训练4-2】已知，，则 ． 【变式训练4-3】探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【变式训练4-4】【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【变式训练4-5】探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 题型五：立方根的实际应用 【经典例题5】小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【变式训练5-1】某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【变式训练5-2】一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 【变式训练5-3】如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【变式训练5-4】小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 【变式训练5-5】如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长． 题型六：算术平方根和立方根的综合 【经典例题6】已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式训练6-1】已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式训练6-2】已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【变式训练6-3】已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【变式训练6-4】已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【变式训练6-5】已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【变式训练6-6】已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 题型七：立方根中的阅读题型 【经典例题7】【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为，，，．所以的立方根是两位数； 第二步：因为的个位上的数是，而在~中，只有的立方的个位上的数是，所以的立方根的个位上的数是； 第三步：划去后面的三位得到数，而，，，所以的十位上的数是． 综上，可得． 【方法迁移】 第一步：，，则的立方根是________位数； 第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是________； 第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是________，因此的立方根是________． 【解决问题】 (1)将上述过程补充完整； (2)现在换一个数，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 【变式训练7-1】如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【变式训练7-2】【阅读材料】 善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程，找到了求较大数的立方根的一种方法：，，，，，，，，； 小明是这样求出的立方根的，他先估计的立方根的个位上的数字，由上面各式他猜想出这个立方根的个位上的数字为__________，又由；猜想出的立方根的十位上的数字为__________，从而得到的立方根； 【解决问题】 请你根据中小明的探究方法，完成如下填空：①__________，②__________． 【变式训练7-3】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【变式训练7-4】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小龙的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为___________； (2)求． ①由，可以确定是___________位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去后面的三位得到数，而，可以确定的十位上的数是___________，由此求得___________． (3)已知：也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.2立方根七大题型（一课一讲） （内容:立方根与开立方） 【人教版】 题型一：立方根概念的理解 【经典例题1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根 【答案】B 【详解】解：A、，2的平方根是，故不符合题意； B、是9的平方根，正确，故符合题意； C、25的算术平方根是5，故不符合题意； D、负数有立方根，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练1-1】下列说法中，错误的是（　　） A．负数没有平方根 B．64的立方根是4 C．算术平方根等于它本身的数只有0和1 D．9的平方根是，用式子表示的是 【答案】D 【详解】解∶A、负数没有平方根，说法正确，故此选项不符合题意； B、64的立方根是4，说法正确，故此选项不符合题意； C、算术平方根等于它本身的数只有0和1，说法正确，故此选项不符合题意； D、9的平方根是，用式子表示的是，原说法错误，故此选项符合题意； 故选∶D 【变式训练1-2】下列说法正确的是（   ） A．中的 B． C．的立方根是 D．3是的算术平方根 【答案】D 【详解】解：A、中的a为一切实数，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、的立方根是2，故此选项不符合题意； D、，则3是的算术平方根，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1-3】下列说法正确的是（   ） A．任何实数都有平方根 B．若，则 C．1的立方根是 D．的立方根是 【答案】D 【详解】解：A，负数没有平方根，故A错误； B，若，则或，故B错误； C，1的立方根是1，故C错误； D，的立方根是，故D正确. 故选：D． 【变式训练1-4】下列说法正确的是（ ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数 【答案】C 【详解】解：解：A、的立方根是，故本选项的说法错误； B、的平方根是，故本选项的说法错误； C、的算术平方根是，故本选项的说法正确； D、可能为，故本选项的说法错误． 故选：C 【变式训练1-5】下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】A 【详解】解：A、10的平方根是，故选项符合题意； B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意； C、的立方根是，说法正确，故选项不符合题意； D、的算术平方根是，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 题型二：利用立方根判断等式是否成立 【经典例题2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练2-1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，，故A不符合要求； ，故B不符合要求； ，故C不符合要求； ，故D符合要求； 故选：D． 【变式训练2-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2-3】下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练2-4】下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式训练2-5】下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意； B、，选项计算不正确，不符合题意； C、，选项计算不正确，不符合题意； D、，选项计算不正确，不符合题意； 故选：A 【变式训练2-6】已知，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴被开方数每扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根就相应的扩大（或缩小）10倍， ∴． 故选：B． 题型三：利用立方根解方程 【经典例题3】求下列各式中的： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴． 【变式训练3-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：， ， 开方得，或； （2）解：， ， ， ， 解得，． 【变式训练3-2】求下列各式中的值： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ， ． 【变式训练3-3】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练3-4】解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解： ， ， 解得：． 【变式训练3-5】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 整理，得：， 开平方，得：， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 开立方，得：， ． 题型四：立方根中探索规律问题 【经典例题4】小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 【变式训练4-1】若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练4-2】已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练4-3】探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【答案】(1)，；(2)10倍；(3)①，②32400；(4) 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：a扩大100倍，扩大10倍． 故答案为：10倍； （3）解：①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式训练4-4】【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：2，1；3，1； （2）①∵， ∴，， 故答案为：17.32，0.1442； ②∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：200，0.8879； （3）∵， ∴，， ∴不能求出的值． 【变式训练4-5】探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【答案】(1)，；(2)a扩大100倍，扩大10倍(3)，32400；(4) 【详解】（1）解：（1），， 故答案为，； （2）a扩大100倍，扩大10倍． （3）①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）∵，， ∴， 故答案为： 题型五：立方根的实际应用 【经典例题5】小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 【变式训练5-1】某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【详解】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 【变式训练5-2】一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 【答案】 【详解】解：设正方体容器的棱长为，由题意得： ， ， ∴， 答：正方体容器的棱长为． 【变式训练5-3】如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 【变式训练5-4】小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 【答案】能， 【详解】解：小明制作的盒子棱长为， 所以其体积为， 则小红制作的盒子的体积为， 其棱长为， 所以其表面积为． 【变式训练5-5】如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长． 【答案】(1)6厘米(2)5厘米 【详解】（1）解：由题可知，铁块的棱长为（厘米）； （2）由题可知，长方体铁块底面正方形的边长为厘米， ∴，即， ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴这个正方形的边长为5厘米． 题型六：算术平方根和立方根的综合 【经典例题6】已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，(2) 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 【变式训练6-1】已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 【变式训练6-2】已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，；(2)． 【详解】（1）解：（1）的平方根是， ， 解得：， 又的立方根为， ， 解得：， 答：，； （2）解：当，时， ， 的算术平方根为． 【变式训练6-3】已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【变式训练6-4】已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 【变式训练6-5】已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 【变式训练6-6】已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，；(2)． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 题型七：立方根中的阅读题型 【经典例题7】【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为，，，．所以的立方根是两位数； 第二步：因为的个位上的数是，而在~中，只有的立方的个位上的数是，所以的立方根的个位上的数是； 第三步：划去后面的三位得到数，而，，，所以的十位上的数是． 综上，可得． 【方法迁移】 第一步：，，则的立方根是________位数； 第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是________； 第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是________，因此的立方根是________． 【解决问题】 (1)将上述过程补充完整； (2)现在换一个数，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 【答案】(1)，，，；(2)能，，推理过程见解析． 【详解】（1）解：第一步：，，则的立方根是位数； 第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是； 第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是，因此的立方根是． 故答案为：，，，； （2）解：，，， ， 的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 的个位数字是． 如果划去后面的三位得到数，而，，， ， ，即的十位数字是． ． 【变式训练7-1】如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42(2)(3)39 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 【变式训练7-2】【阅读材料】 善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程，找到了求较大数的立方根的一种方法：，，，，，，，，； 小明是这样求出的立方根的，他先估计的立方根的个位上的数字，由上面各式他猜想出这个立方根的个位上的数字为__________，又由；猜想出的立方根的十位上的数字为__________，从而得到的立方根； 【解决问题】 请你根据中小明的探究方法，完成如下填空：①__________，②__________． 【答案】；；；． 【详解】解：观察上述式子的计算过程，发现， 与的个位数均为， 可猜想的立方根的个位上的数字为， ， 猜想立方根的十位上的数字为， 故答案为：；． 解：的个位数是，猜想其立方根的个位符合的规律， 即的立方根的个位上的数字为， 又， 可猜想立方根的十位上的数字为， 即； 的最后一位数为，猜想其立方根的最后一位符合的规律， 即的立方根最后一位数字为， 又， 可猜想． 故答案为：；． 【变式训练7-3】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根(2)，(3)①或；② 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， 或． ② ． 【变式训练7-4】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小龙的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为___________； (2)求． ①由，可以确定是___________位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去后面的三位得到数，而，可以确定的十位上的数是___________，由此求得___________． (3)已知：也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】(1)5(2)①两，②8，③3；38(3)26 【详解】（1）解： ，，，，，，，，， 个位数字为5， 故答案为：5； （2）解：，，而， ，即是两位数， 的个位数字为2， 的个位数字为8， 将54872划去后三位872后得54，而， 的十位数字为3， ， 因此①由，，可以确定是两位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是8； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是3，由此求得． 故答案为：①两，②8，③3，38； （3）解：①由，，可以确定是两位数； ②由17576的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是6； ③如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，可以确定的十位上的数是2，由此求得． 学科网（北京）股份有限公司 $$