8.5空间直线、平面的平行教材课后练习及变式训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5 空间直线、平面的平行 【教材课后习题】 1.选择题 （1）若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是( ). A.内的所有直线都与a异面 B.内不存在与a平行的直线 C.内的直线都与a相交 D.直线a与平面有公共点 （2）如果直线平面，，那么过点P且平行于直线a的直线( ). A.只有一条，不在平面内 B.有无数条，不一定在内 C.只有一条，且在平面内 D.有无数条，一定在内 2.已知平面和直线a，b，c，且，，，，则与的位置关系是_________. 3.如图，在长方体木块中，面上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行? 4.如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求证. 5.如图，在四面体中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证： （1）平面EFG； （2）平面EFG. 6.如图，a，b是异面直线，画出平面，使，且，并说明理由. 7.如图，，，，，求证. 8.如图，直线，，相交于点O，，，求证：平面平面. 9.如图，E，分别为长方体的棱AD，的中点，求证. 10.如图，，，，，求证. 11.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面. 已知：，，，， 求证：. 12.一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，在木块表面应该怎样画线？ 13.如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证. 14.如图，a，b是异面直线，，，，，求证. 15.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面EFGH所在四边形的面积为定值； （4）棱，始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值. 其中所有正确命题的序号是________，为什么? 【定点变式训练】 16.已知平面平面，直线，，直线，且b与c相交，则a和b的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.上述三种都有可能 17.如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是( ) A.当时，四边形EFGH是平行四边形 B.当时，四边形EFGH是梯形 C.当时，四边形EFGH是平行四边形 D.当时，四边形EFGH是梯形 18.如图，在各棱长均为1的正三棱柱中，M，N分别为线段，上的动点，且平面，则这样的MN有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 19.如图，在棱长为2的正方体中，M是的中点，P是侧面上的动点，且平面，则线段MP长度的取值范围是( ) A. B. C. D. 20.已知直线a和平面，那么能得出的一个条件是( ) A.存在一条直线b，且 B.存在一条直线b，且 C.存在一个平面，且 D.存在一个平面，且 21.如图，在三棱柱中，D是BC的中点，E是上一点，且平面，则的值为_______________. 22.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________________. 23.如图，E是棱长为1的正方体的棱上的一点，且平面，则线段CE的长度为________________. 24.如图，在正方体中，P，Q分别是平面，平面的中心，证明： （1）平面； （2）平面平面. 25.如图所示，已知ABCD为梯形，，，M为线段PC上一点. （1）设平面平面，证明：. （2）在棱PC上是否存在点M，使得平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：（1）D （2）C 解析： 2.答案：平行或相交 解析： 3.答案：见解析 解析：在面内，过点P作直线EF，使，分别交棱，于点E，F，则EF就是过点P与棱CD平行的直线. 4.答案：见解析 解析：证明：连接AC.在长方体中，， 四边形为平行四边形.. 又E，F分别是AB，BC的中点，，. 5.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）F，G分别是BC，CD的中点， . 平面EFG，平面EFG， 平面EFG. （2）E，F分别是AB，BC的中点，. 平面EFG，平面EFG，平面EFG. 6.答案：见解析 解析：在直线a上取一点O，过点O作，则由a与确定的平面即为所求. 理由：如答图，，，且，所以. 7.答案：见解析 解析：，. ，，.同理，于是. 8.答案：见解析 解析：与相交于点O，. 又，，， ，. 又平面，平面， 平面.同理可证平面. 又平面ABC，平面ABC，， 平面平面. 9.答案：见解析 解析：连接. E，分别是AD，的中点， . 又在长方体中，. ，. 四边形与都是平行四边形. ，. . 10.答案：见解析 解析：如图，连接CD. ，A，B，C，D共面， 平面ABDC，平面ABDC，ABDC. ，，， 平面. ，， 四边形ABDC是平行四边形，. 11.答案：见解析 解析：如图，过直线a作平面，使. ，. 又，. ，，. 12.答案：见解析 解析：如图，过平面VAC内一点P作直线，交VA于点D，交VC于点E. 过平面VBA内一点D作直线，交AB丁点F， 过平面VBC内一点E作直线，交BC于点M，连接FM，则DE，DF，EM，MF就是应画线. 13.答案：见解析 解析：如图，连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD.因为，平面，乎面，所以，所以.同理，且，所以. 14.答案：见解析 解析：过b作平面交于直线.因为，，，所以.因为，，所以.又a与相交，，所以. 15.答案：（1）（2）（4）（5），原因见解析 解析：原因：因为平面平面，所以有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面都易证是平行四边形，所以（1）（2）是正确的.在题图（1）中，水面面积，在题图（2）中，水面面积，而题图（1）中的EF小于题图（2）中的EF，则，所以（3）是错误的.易知（4）是正确的.因为水的体积一定，形成的柱体的高度始终是BC，所以底面的面积一定，即是一个定值，即是一个定值，所以（5）是正确的. 16.答案：C 解析：若a与b平行，因为，所以，与b与c相交矛盾，所以A错；若a和b相交，因为直线，直线，平面平面，则a，b，c相交于同一点处，这与矛盾，所以B错；因为两条直线的位置关系有平行，相交，异面这三种情况，故a和b只能异面.故选C. 17.答案：D 解析：如图所示，连接BD.，，且.同理，，且..当时，，四边形EFGH是平行四边形.选项A，C正确，D错.当时，，四边形EFGH是梯形，选项B正确. 18.答案：D 解析：如图，过线段上任一点M作，交AB于点H，过点H作交BC于点G，过点G作的平行线，与一定有交点N，且平面，则这样的MN有无数条.故选D. 19.答案：B 解析：取CD的中点N，的中点R，的中点H，连接MN，NR，MR，MH，RH，则，，平面平面，平面MNRH，线段MP扫过的图形是.，，，，，是直角.线段MP长度的取值范围是.故选B. 20.答案：C 解析：在选项A，B，D中，均有可能a在平面内，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C正确. 21.答案： 解析：连接交于点F，连接EF.因为平面平面，平面，所以，所以.因为，所以，所以. 因为D是BC的中点，所以，所以. 22.答案：平行四边形 解析：由题知，平面平面CDHG，平面平面，平面平面，所以.同理可得，所以四边形EFGH是平行四边形. 23.答案： 解析：如图，连接交于点O，连接EO，则O为的中点.因为平面，平面，平面平面，所以，故E为的中点，所以.在中，.故答案为. 24.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）由题可知. 平面，平面，平面. （2）由题可知. 平面，平面，平面. 由（1）知，平面，又， 平面平面. 25.答案：（1）见解析 （2）存在点M，使得平面MBD，此时，理由见解析 解析：（1）因为，平面PDC，平面PDC， 所以平面PDC.又因为平面平面，且平面PAB，所以. （2）存在点M，使得平面MBD， 此时.理由如下： 连接AC交BD于点O，连接MO. 因为，所以. 又，所以. 又因为，， 所以.又因为平面MBD，平面MBD， 所以平面MBD. 学科网（北京）股份有限公司 $$