北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三下学期寒假自主复习检测数学试题

人大附中2025届高三数学寒假自主复习检测练习 2025年2月10日 制卷人：高三数学组 审卷人：杨良庆吴文庆 说明：本卷共三道大题，21道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 1.已知复数z=1+5,则z=() A.2 B.√5 C.1 D. 1-2 2.下列说法错误的是（) A.2∈{2,1,0} B.{e{2,1,0} c.{0}s{2,10} D.0c{2,1,0} 3.已知(x+)”的展开式中常数项为6，则n=（) A.4 B.6 C.8 D.10 已知等差数列{a,}的前n项和为S。,若a,+a,+a,=15,则S:=（) A.30 B.55 C.80 D.110 已知定义在(0，+∞)上的函数(x)满足：x,为2∈(0，+o),当x*时，有 :)-(>0,则称函数f(闭具有性质R.下列函数中具有性质R的是(） 名一2 A.x)=-1 B.- C.f(x)=x-1 D.f(x)=x-1 62025年这个赛假，深度求索的国产AM助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴. DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数。假设某模型的对数似然函数 为L()=立(x+,其中w是模型参数，名是箱入特征，为了最大化I0侧，我 们需要求解以下哪个方程() A.乃1 =0 分1 =n 合wx,+1 B. 台wx+1 D.】 三n wx,+1 第1页，共6页 7.已知向量a=(m+2,1),b=(（1,-3),若2a+l=2a-,则m=( A,2 B.I C.-1 D.-3 8.p:存在aeR且a≠0，对于任意的x∈R,使得f(x+a)<f(x)+f(a: :f(x)在R上单调递减，且f(x)>0恒成立： 2:f(x)在R上单调递增，且存在名<0使得∫(x)=0;下列说法成立的是() A.只有g是P的充分条件 B.只有92是P的充分条件 C.9、9都是P的充分条件 D.9、92都不是P的充分条件 9 设函数f=sm@r+骨k@>0)在区间(@，利恰有三一最值点和两个零点.则®的取值 范围是 B 10.若定义域均为D的函数f(x),g(x)满足：，×∈D,且为-∈(-m,m),使得 f()=g(x)=0,则称f()与g)互为“m亲近函数.已知f(x)=心-e+x叫与 g(x)=-cos2x-asinx-+3互为“π亲近函数”，则a的取值范围是() A.（-o0,-3]U[3,+oo) B.【-3,3] c.（-,-22lU[2W2,+o .（-0,-22]U(25,+∞) 二、填空题（本大题典5小题，每小题5分，共25分.） 11.24304= 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点Mx在C上，若|MF+|NF上8，则线段MN的 中点的横坐标为 13.在平面直角坐标系xO中，角a以Ox为始边，终边经过点P m引-别 当1=0时，则tama=;当1由0变化到二时，线段OP扫过的图形面积是 第2页，共6页 14.如图。，5分别为双曲线号-茶=a>0,b>0的左，右焦点， A在左支上，B在右支上，且A∥BF AF:AF:BF=1:2:3, 则该双曲线的渐近线方程为 15.在数列{an}中，a=f(a,),给出下列四个结论： ①若f(x)=-2x,则{a.}一定是递减数列 ②若f(x)=e,则{a}一定是递增数列； ③若f(x)=x3+1,a∈(-l,0),则对任意c>0,都存在n∈N',使得an>c: ④若∫份=2+1k>0),4=1,且对任意neN,都有a,<2,则k的最大值是 其中所有正确结论的序号是 址6页 三、解容题（本大题共6小题，共85分，除了题目要求“写出”外，应有必要的解题步骤） 16.(本小题13分) 已知扇形AOB中，半径OA=1,∠4OB=?,C为孤AB上的动点，过C作扇形的 内接矩形CDEF,使得矩形有一边平行于OA,设∠AOC=O. (1)当8=T时，求矩形CDEF的周长. (2)将矩形CDEF的面积表示为日的函数，并求内接矩形的最大面积， B o 17.(本小题14分) 刍甍(chiméng)是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有 表有广，而上有表无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条 棱”如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF, E (1)求证：AB/1EF: (2)若AB=4,EF=2,ED=FC,AF=3W5,再从条件①，条件②中选择一个作 为已知，使得符合条件的刍甍ABCDEF存在，并求平面ADE和平面BAR夹角的余 弦值 条件①：BF⊥FC,AF⊥FC: 条件②：平面CDE⊥平面ABCD; 第4页，共6页 18.(本小题13分) 已知脐橙分类标准：果径80mm~85mm为一级果，果径75mm~80mm为二级果，果 径70mm~75mm或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐 橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm),得到如图所示的频率分布 直方图. ◆频率/组距 0.060 0.045 0.030 0.018 0.013 0.004 0 6573758869095100果径mm 在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70~85mm中抽出9个脐橙，为进一步测 量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个 (1)求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量； (2)求最后抽取的三个脐橙中抽到的一级果个数X的数学期望： (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买10 个，其中一级果的个数为Y,记一级果的个数为k的概率为P”,直接写出当 k为何值时P(Y=k)最大？ 19.(本小题15分) 已知椭圆兰+上=1的左、右焦点分别为5、B,过 84 坐标原点的直线y=c交椭圆于A,B两点，点 A(xo,y)在第一象限. (1)直接写出该椭圆的焦点坐标与离心率； (2)求AR+3AF的取值范围： (3)若AE⊥x轴，垂足为E,连结BE并延长交椭圆于点C,求△ABC面积的最大值， (注意：第3问写在答题卡单独一面，本次答题卡19题有两面，切记别写错位置) 第5页，共6页 20.(本小题15分) 给定函数y=f(x),若点P是曲线y=f(x)两条互相垂直的切线的交点，则称点P为 函数y=f(x)的“正交点”记函数y=f(x)的所有“正交点”组成的集合为M (1)若f(x)=lnx,求证：M=0, (2)若f(x)=x,则函数y=f(x)的所有“正交点”在一条定直线上，写出出该直线的 方程： (3)设a∈R,f(x)=x3-2,记函数y=f(x)的图象上所有点组成的集合为N. 若M∩N=☑，求a的取值范围. 21.(本小题15分) 对不可约分数卫（即卫，g的最大公约数为1），如果数列T:4,42,,a.(m≥2)满足： 9 8=1,且对i=,2,n-1,都有出=p ,其中b,C,均为正整数，则称数列T为 a g “卫-弱等比数列.对正整数N,如果存在卫-弱等比数列T,使得其各项之和化为 9 不可约分数后，分子恰为N,则称正整数N为：卫-可表示的” 8 (1)若数列T:山，a2 为2-弱等比数列，相应地，N为2-可表示的，请直接写出 .2 3 (a2,W)的所有可能情况： (2)设正整数P,9>1,证明：若正整数W是2-可表示的，则N也是旦-可表示的： p （3)在1,2，，2025中，有多少个正整数是2-可表示的7 3 第6页，共6页 世学●专蓄程是排分工准 一有特4里图十器，果制时 4鞋年 州霍 多2 二线4线e利gA时种 球U D8刻1卡3象1卡5有料 上理秀什L商都时 满程 me有-夏 4 w月单n 小e,城-录 - 中}-w-g … 中作 w号 a0通性针 中地车精f伊， 果中 A家单等满 垂#4布同， 由用r多切 0标4界，重士年4军4 发示。线证：：代，可选时平表红中 神博L调的：康1元 4F04解材，804afg商4： ●重W4重A。 中军门卡来卡s为 04灯 种4电票1重确到 d性金在 B-目44：灌-4理- 特移C得-十西4-以A 有满年， 品益平 小4中一一一一转社 0目4绿◆ nitytan 事内A w4是要号 转转线里1量明卡面 4老吉w4月 =-+品品古 手树神为种-+：■时中球车下，中中与 伦 线Mia上发材N,量#- 南接5利 ua0.6-动-2 如通4属-0-4 用同-小 印同-4元 + +“-4i 网第·有情4巴