第02章 二次函数 章节测试练习卷 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02章 二次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A．y＝3x2＋2x－5 B．y＝3x2＋2x－4 C．y＝3x2＋2x＋3 D．y＝3x2＋2x＋4 2．以下关于自变量的函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根 4．已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于的方程 有两个根，其中一个根是5．则关于的方程 有两个整数根，这两个整数根是（ ） A．-2或4 B．-2或0 C．0或4 D．-2或5 5．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断： ①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或． 其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 7．二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　） A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24 8．二次函数的图象（局部）如图所示，则下列四个判断中，错误的是（ ） A． B． C． D． 9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0 10．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（　　）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．函数y＝（m＋2）x2＋2x﹣1是二次函数，则m ． 12．二次函数的图象如图所示，则方程的两根为 ． 13．将抛物线绕原点旋转后，所得新抛物线的解析式为 ． 14．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为，一般情况下，g=9.8m/s2．如果=9.8m/s，那么经过 s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m． 15．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况是 . 16．如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动；当与x轴相切时；圆心P的坐标为 . 17．已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝ ；顶点坐标是 ． 18．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是y1 y2（填“＞”、“＜”、“=”） 三、解答题 19．已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式． 20．已知二次函数． 用配方法将其化为的形式； 在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．    21．已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出函数图象与轴的交点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当________时，随的增大而减少． 22．图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 23．已知y是x的二次函数，当x=2时，y=－4，当y=4时，x恰为方程2x2－x－8=0的根，求这个函数的解析式． 24．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）用配方法求抛物线的顶点坐标． 25．某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可获利33万元，该生产线投资后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为（万元），且，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元． （1）求与x之间的关系式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？ 26．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 二次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A．y＝3x2＋2x－5 B．y＝3x2＋2x－4 C．y＝3x2＋2x＋3 D．y＝3x2＋2x＋4 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】试题分析：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选C． 考点：二次函数的图象与几何变换． 2．以下关于自变量的函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义：若两个变量x、y之间的对应关系可以表示成(是常数)的形式，则称y是x的二次函数，据此判断即可． 【详解】解：A、该函数是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、该函数是正比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； C、该函数是反比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； D、该函数是二次函数，故该选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟知二次函数的一般形式是解答的关系． 3．二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根 【答案】B 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程有两个异号的实数根． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧， ∴关于x的一元二次方程有两个异号的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数的图像与x轴有交点的横坐标即为关一元二次方程的根是解答本题的关键． 4．已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于的方程 有两个根，其中一个根是5．则关于的方程 有两个整数根，这两个整数根是（ ） A．-2或4 B．-2或0 C．0或4 D．-2或5 【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）与（3，0）两点， ∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为-1和3， 则函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1， 又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，其中一个根是5． ∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向上， ∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）有两个整数根， ∴这两个整数根是-2或4， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答． 5．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断①②；当时，，即可判断③；根据抛物线与轴有2个交点，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ∵， ∴， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ，故①符合题意； ，故②符合题意； 观察函数图象，可知： 当时，， ，故③符合题意； 抛物线与轴有2个交点， ，故④符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于． 6．如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断： ①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或． 其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【详解】∵①当x＞0时，观察函数图象可以得出y2＞y1； ∴此选项错误； ∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M； ∴②当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大； ∴此选项错误； ∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在； ∴③使得M大于2的x值不存在，此选项正确； ∵M=1时，可能是y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣， 或y2=2x+2=1，解得：x=﹣， 由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M， ∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0）， ∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M， 故M=1时，x=，x=﹣， 故④使得M=1的x值是﹣或．此选项正确； 故正确的有：③④． 故选D． 7．二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　） A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24 【答案】D 【知识点】二次函数的对称、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理． 【详解】抛物线的对称轴为直线， 而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方， ， 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的上方； 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的下方； 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方； 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 8．二次函数的图象（局部）如图所示，则下列四个判断中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可； 【详解】解：A、抛物线的开口向上， ， 对称轴在轴的右侧， ，异号，选项正确，不符合题意； B、抛物线与轴有两个交点， △，选项正确，不符合题意； C、时，， ， ， 对称轴在轴的右侧， 可得：， 即， 不能推出，故选项错误，符合题意； D、时，， ， ，选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题． 9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴a＜0； 又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴b＞0； 又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， 又x=1，对应的函数值在x轴上方， 即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0； 所以A，B，C选项都错，D选项正确． 故选D． 10．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（　　）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号、已知正弦值求边长 【分析】令y=0，求得A点坐标，B点用字母k表示的坐标，再把抛物线的解析式化成一般形式，则可用a与k的代数式表示OC，进而根据sin∠CBA=，用a与k的代数式表示BC，在由勾股定理得出a与k的方程，求得a的值，再根据△AOC的周长为12，求得k的值，则题目中的问题便可解决． 【详解】令y＝0，则y＝a（x+3）(x﹣k）＝0， 解得x＝﹣3或k， ∴A(﹣3,0），B(k,0）， 故①正确； ∵y＝a（x+3）（x﹣k）＝ax2+（3a﹣ak）x﹣3ak， ∴C（0,﹣3ak）， ∴OC＝﹣3ak， ∵sin∠CBA＝， ∴， ∴BC＝， ∵BC2﹣OC2＝OB2， ∴45a2k2﹣9a2k2＝k2， ∴a2＝， ∵抛物线的开口向下， ∴a＝﹣， 故②正确； ∴OC＝k， ∴AC＝， ∵△AOC的周长为12， ∴3+k+＝12， 解得，k＝8， ∴B（8,0）， 故③正确； ∵A（﹣3,0），B（8,0）， ∴对称轴为：x＝， 故④正确． 综上所述①②③④都正确 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，通过函数图象可判断函数解析中系数的特征，已知函数解析式，可求得函数与坐标轴交点坐标及其坐标轴，本题还考查了锐角三角函数的应用． 二、填空题 11．函数y＝（m＋2）x2＋2x﹣1是二次函数，则m ． 【答案】≠﹣2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义进行计算即可． 【详解】解：∵函数y＝（m＋2）x2＋2x﹣1是二次函数， ∴m＋2≠0， ∴m≠﹣2． 故答案为：≠﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 12．二次函数的图象如图所示，则方程的两根为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】结合图象得到抛物线与x轴的一交点坐标为，对称轴方程为x=1，则抛物线与x轴的另一交点坐标与关于直线x=1对称，可得出另一交点的坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为，对称轴方程为x=1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标与关于直线x=1对称， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标． ∴方程的两根为：． 故答案是：． 13．将抛物线绕原点旋转后，所得新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，再根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数得出所求新抛物线的解析式． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴所得新抛物线的顶点坐标为， ∵旋转后抛物线的开口方向相反，开口大小相同， 所以旋转后的抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：抛物线绕某点旋转得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变． 14．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为，一般情况下，g=9.8m/s2．如果=9.8m/s，那么经过 s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m． 【答案】1 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】把h＝4.9代入关系式，解关于t的一元二次方程求出t的值即可． 【详解】解：当h=4.9时，即， 解得：， 即经过1s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答时灵活运用一元二次方程的解法是关键． 15．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况是 . 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【详解】根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0时，有两个不相等的实数根，从而可以得到本题答案． 解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴ax2+bx+c=0时有两个不相等的实数根． 故答案为两个不相等的实数根. 16．如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动；当与x轴相切时；圆心P的坐标为 . 【答案】（,2）或（-，2）或（0，-2） 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、其他问题(二次函数综合) 【分析】根据⊙P的半径为2，以及⊙P与x轴相切，即可得出y=±2，求出x的值即可得出答案. 【详解】∵⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动， ∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A， ∴PA=2， ∴ 即,或=-2 解得x=或x=0， ∴P点的坐标为：（，2）或（-，2）或（0，-2） 【点睛】本题考查切线，解题关键在于熟练掌握计算法则. 17．已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝ ；顶点坐标是 ． 【答案】 4 （2，7） 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2， ∴−＝2， ∴b＝4， ∴二次函数y＝−x2＋4x＋3， ∵y＝−x2＋4x＋3＝−（x−2）2＋7， ∴顶点坐标是（2，7）， 故答案为：4，（2，7）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键． 18．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是y1 y2（填“＞”、“＜”、“=”） 【答案】< 【分析】利用二次函数的性质解决问题． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x1＜x2＜1， ∴y1＜y2． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 三、解答题 19．已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点(0，-2)代入，求出a的值，最后改为一般式即可． 【详解】∵抛物线经过点(3，0)，(-1，0)， 故可设该抛物线的解析式为：， ∵该抛物线又经过点(0，-2)， ∴ 解得： ∴该抛物线的解析式为： 整理，得：． 【点睛】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键． 20．已知二次函数． 用配方法将其化为的形式； 在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．    【答案】（1）；（2）见解析. 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【详解】解： = = ， 顶点坐标为，对称轴方程为． 函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，， 其图象为：    故答案为（1）；（2）见解析. 【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键． 21．已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出函数图象与轴的交点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当________时，随的增大而减少． 【答案】(1) (2)A（-2，0），B（4，0），C（0，4） (3)-2＜x＜4 (4)＞1 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据交点确定不等式的解集、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）令y=0，解得x的值，可得出函数图象与x轴的交点坐标，令x=0，解得y的值，可得出函数图象与y轴的交点坐标． （3）根据函数的开口方向，与x轴的交点坐标结合图象可得； （4）根据二次函的性质即可求得． 【详解】（1）解： = = =； （2）令y=0，则， 解得：x=-2或x=4， ∴函数图象与x轴的交点坐标为A（-2，0）和B（4，0）， 令x=0，则y=4， ∴函数图象与y轴的交点坐标为C（0，4）； （3）∵中，， ∴函数图象开口向下， ∵函数图象与x轴交于A（-2，0）和B（4，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是-2＜x＜4； （4）∵， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，等知识点，掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k的性质和数形结合思想是解题的关键． 22．图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 【答案】(1) (2)现在的悬挂方式是安全的，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意得：顶点的坐标为，可设抛物线的表达式为：，再把代入，即可求解； （2）根据题意可得最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离，从而得到它的横坐标为，再代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：顶点的坐标为， 令抛物线的表达式为：， 将点代入得：， 解得：， （2）解：由题意得：最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离为：， 所以它的横坐标为， 当时，． 因为， 所以现在的悬挂方式是安全的． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 23．已知y是x的二次函数，当x=2时，y=－4，当y=4时，x恰为方程2x2－x－8=0的根，求这个函数的解析式． 【答案】y=8x2－4x－28 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题不便求出方程2x2-x-8=0的根，设这个方程的根为x1、x2，即当x=x1，x=x2时，y=4，可设抛物线解析式y=a（2x2-x-8）+4，再将x=2，y=-4代入求a即可． 【详解】解：设方程2x2-x-8=0的根为x1、x2，则 当x=x1，x=x2时，y=4，可设y=a（2x2-x-8）+4 把x=2，y=-4代入，得-4=a（2×22-2-8）+4 解得a=4， 所求函数为y=4（2x2-x-8）+4 即y=8x2-4x-28． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与二次函数图象上点的坐标的关系，解题关键是巧妙地设二次函数解析式，用待定系数法求解析式． 24．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）用配方法求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）y＝﹣2x2+3x+1;（2）（，）． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案． 【详解】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得 解得 故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1． 所以抛物线的顶点坐标是（，）． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键． 25．某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可获利33万元，该生产线投资后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为（万元），且，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元． （1）求与x之间的关系式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？ 【答案】(1)；(2)4 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据条件解方程组易得解析式； （2）收回投资即纯利润=投资（包括购设备、维修、保养）． 【详解】（1）由题意，x=1时，y=2； x=2时，y=2+4=6，分别代入y=ax2+bx 得 解得： ∴y=x2+x． （2）设g=33x-100-x2-x， 则g=-x2+32x-100=-（x-16）2+156 由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大， 故当x=3时，g=-（x-16）2+156=-13＜0， 当x=4时，g=-（x-16）2+156=-（4-16）2+156=12＞0，即第4年可收回投资． 26．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c． 【答案】①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0； ②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0； ③取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c＜0； ④取x=﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=﹣1，y=a﹣b+c＜0． 【详解】解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c＜0，abc＜0； ②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0； ③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0； ④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象： ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口； ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）； ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． =b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$