第01讲 平面向量的概念 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

第01讲 平面向量的概念 目录 知识点一：向量的概念 2 知识点二：向量的几何表示 2 知识点三：共线向量与相等向量 2 考点1： 向量有关概念的辨析 3 考点2： 相等向量或共线向量问题 6 考点3： 向量的几何表示 10 知识点一：向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量，只有大小没有方向的量称为数量。数量可以比较大小，物理学中称为标量；向量不能比较大小，物理学中称为矢量。 知识点二：向量的几何表示 1. 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，其包含三个要素：起点、方向、长度。 通常有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以为起点，为终点的有向线段记作（起点写在终点的前面），有向线段的长度记作。 2. 向量的表示 （1） 几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 （2） 字母表示：向量可以用字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如。 3. 向量的模 向量的大小称为向量的长度（或称模，记作，向量的模可以比较大小。 4. 零向量 零向量：长度为0的向量，它的方向是任意的，记作。 5. 单位向量 单位向量：长度等于1个单位长度的向量。 是与同方向的单位向量。 知识点三：共线向量与相等向量 1. 平行向量（共线向量） (1) 方向相同或相反的非零向量（模不一定相等）叫做平行向量，即共线向量。如果向量与平行，那么可记为。 (2) 任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：与任一向量平行。 (3) 传递性：如果非零向量，满足，，则。 注意：两个向量共线要区别于两条直线共线。两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系。 2. 相等向量 (1) 长度相等且方向相同的向量。如果向量与向量相等，记为。 (2) 零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关（向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量）。 (3) 共线向量不一定是相等向量，相等向量一定是共线向量。 考点1： 向量有关概念的辨析 【例1.1.】 下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 【例1.2.】 下列说法正确的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，所以A错误； B：根据零向量的定义可判断B正确； C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误. 故选：B. 【例1.3.】 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④若，则． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线； ②正确．∵＝，∴||＝||且； 又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形． 反之，若四边形是平行四边形， 则且与方向相同，因此＝； ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．,不能确定的方向． 故选：. 【例1.4.】 （多选）下列说法正确的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若且，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】ABD 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，当时也有且，故C错误； 对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确. 故选：ABD. 【例1.5.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．若，是两个单位向量，则 B．若，，则 C．与任何一向量平行，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A项，若，是两个单位向量，则，故A项错误； 对于B项，若，，则当时，不一定成立，故B项错误； 对于C项，与任何一向量平行，由零向量平行于所有向量，得，故C项正确; 在D项，若，则、共线且方向相同，所以，故D项正确. 故选：CD 【例1.6.】 给出下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】③ 【详解】①错误．向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上． 故答案为：③ 考点2： 相等向量或共线向量问题 方法提炼 （1） 在平面图形中找共线向量时，可先找同一条直线上的共线向量，然后再找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应一正一反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段也可以表示共线向量。 （2） 找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度和方向都相等的共线向量。 （3） 常用结论： 1　 ，且四点不共线 四边形为平行四边形 2　 若，则三点共线；若，则三点共线。 【例2.1.】 若且，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】C 【详解】可知，四边形为平行四边形， 又因为, 所以四边形为菱形． 故选：C. 【例2.2.】 （1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ；（2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】（1）A、B、C三点共线； B是的中点 （2） 平行四边形 【详解】（1）且有一个公共点，A、B、C三点共线； ，方向相同，B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 【例2.3.】 在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】 与，与 与，与 【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反， 显然，因此的模相等. 故答案为：与，与；与，与； 【例2.4.】 如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【答案】(1)23； (2)存在，4； (3)9. 【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个. （2）存在，由正六边形的性质知，， 所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. （3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上， 所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 【例2.5.】 四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【详解】对于①，四边形，，都是全等的菱形，，即，①正确； 对于②，，，则与反向，，②正确； 对于③，若，则，， 若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示， 此时，，即，③错误； 对于④，三点共线，方向相反，，④正确. 故答案为：①②④. 【例2.6.】 在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【详解】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 考点3：向量的几何表示 【例3.1.】 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个. 【答案】11 【详解】马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走.如图，以点为起点作向量，共3个；以点为起点作向量，共8个所以共有11个. 故填11 【例3.2.】 已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合 【答案】 【详解】∵ 且P，Q不重合，， ∴， 故答案为： 【例3.3.】 如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.    （1）画出所有的向量； （2）求的最大值与最小值． 【答案】(1)见解析；(2)最大值为，最小值为. 【详解】试题分析： （1）由||=及点C为小正方形的顶点和点A的位置可确定点C的位置，然后可画出．（2）根据（1）中的点C，逐一求得||后，可求得||的最大值为，最小值为． 试题解析： (1)画出所有的向量，如图所示：    (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=； 所以||的最大值为，最小值为． 【例3.4.】 已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【答案】答案见解析. 【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 【例3.5.】 飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 【解析】由题图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则. 表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则. 所以为飞机从A地到C地的位移. 在中，，且， 故为等边三角形，所以，. 所以C地在A地北偏东方向上，距A地. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念 目录 知识点一：向量的概念 2 知识点二：向量的几何表示 2 知识点三：共线向量与相等向量 2 考点1： 向量有关概念的辨析 3 考点2： 相等向量或共线向量问题 4 考点3： 向量的几何表示 6 知识点一：向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量，只有大小没有方向的量称为数量。数量可以比较大小，物理学中称为标量；向量不能比较大小，物理学中称为矢量。 知识点二：向量的几何表示 1. 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，其包含三个要素：起点、方向、长度。 通常有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以为起点，为终点的有向线段记作（起点写在终点的前面），有向线段的长度记作。 2. 向量的表示 （1） 几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 （2） 字母表示：向量可以用字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如。 3. 向量的模 向量的大小称为向量的长度（或称模，记作，向量的模可以比较大小。 4. 零向量 零向量：长度为0的向量，它的方向是任意的，记作。 5. 单位向量 单位向量：长度等于1个单位长度的向量。 是与同方向的单位向量。 知识点三：共线向量与相等向量 1. 平行向量（共线向量） (1) 方向相同或相反的非零向量（模不一定相等）叫做平行向量，即共线向量。如果向量与平行，那么可记为。 (2) 任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：与任一向量平行。 (3) 传递性：如果非零向量，满足，，则。 注意：两个向量共线要区别于两条直线共线。两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系。 2. 相等向量 (1) 长度相等且方向相同的向量。如果向量与向量相等，记为。 (2) 零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关（向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量）。 (3) 共线向量不一定是相等向量，相等向量一定是共线向量。 考点1： 向量有关概念的辨析 【例1.1.】 下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2.】 下列说法正确的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【例1.3.】 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④若，则． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.4.】 （多选）下列说法正确的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若且，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【例1.5.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．若，是两个单位向量，则 B．若，，则 C．与任何一向量平行，则 D．若，则 【例1.6.】 给出下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 考点2： 相等向量或共线向量问题 方法提炼 （1） 在平面图形中找共线向量时，可先找同一条直线上的共线向量，然后再找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应一正一反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段也可以表示共线向量。 （2） 找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度和方向都相等的共线向量。 （3） 常用结论： 1　 ，且四点不共线 四边形为平行四边形 2　 若，则三点共线；若，则三点共线。 【例2.1.】 若且，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【例2.2.】 （1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ；（2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【例2.3.】 在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【例2.4.】 如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【例2.5.】 四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ． ①；②；③；④． 【例2.6.】 在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 考点3：向量的几何表示 【例3.1.】 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个. 【例3.2.】 已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合 【例3.3.】 如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.    （1）画出所有的向量； （2）求的最大值与最小值． 【例3.4.】 已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【例3.5.】 飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$