1.1.2 等腰三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1.2 等腰三角形 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的质;(重点) 2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.(重点、难点) 情境&导入 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形. 思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？ PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 探索&交流 等腰三角形中相等的线段 1— 在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？ 探索&交流 等腰三角形两个底角的角平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等. A B C 例题&解析 例题欣赏 ☞ 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD、CE 是△ABC 的角平分线. 例1，证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 求证：BD = CE. 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）. ∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴ ∠1＝∠2. 在△BDC和△CEB中， ∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2, ∴△BDC≌△CEB (ASA). ∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）. 例题&解析 你还能用其他方法证明吗？ 证明：∵AB = AC，∴∠ABC =∠ACB. ∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4. 在△ABD 和△ACE 中， ∵∠3 =∠4，AB = AC，∠A =∠A. ∴△ABD ≌△ACE（ASA）. ∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）. 1 2 1 2 例题&解析 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线， 求证：CE＝BD. 例题&解析 ∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， ∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD. 又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB. ∴CE＝BD.（全等三角形的对应边相等）. 证明： 例题&解析 例题欣赏 ☞ 已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、CE 是△ABC 的高. 求证：BD = CE. A B C E D 例3.求证: 等腰三角形两腰上的高相等. 例题&解析 证明：∵ BD、CE 是△ABC 的高. ∴∠AEC =∠ADB = 90°. 在△ABD 和△ACE 中， ∵∠AEC =∠ADB = 90°， AB = AC，∠A =∠A. ∴△ABD ≌△ACE（AAS）. ∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）. 探索&交流 议一议 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上. A C B E 1 2 D (2) 如果 ∠ABD = ∠ABC ，∠ACE = ∠ACB 呢？ BD = CE (1) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB， 那么 BD = CE 吗？ BD = CE 探索&交流 (3) 如果∠ABD = ∠ABC ，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 吗? A C B E 1 2 D 如图，在△ABC 中，如果 AB = AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD = CE. 由此你能得到一个什么结论? BD = CE 探索&交流 想一想 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一定理呢？ 探索&交流 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. A C B 证明：在△ABC 中， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， 同理∠A =∠B. ∴∠B =∠C (等边对等角). ∵ AB = AC (已知)， 探索&交流 有两边相等的三角形是等腰三角形（定义） 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 满足什么条件的三角形是等边三角形? 满足什么条件的三角形是等腰三角形? 三边都相等的三角形是等边三角形（定义） 三个角都相等的三角形是等边三角形. 方法一：从边看 方法二：从角看 探索&交流 等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？ 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一。 A B C 探索&交流 等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ A B C 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例4.如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD. 例题&解析 ∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. 在△ABE与△CBD中， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD. 证明： 练习&巩固 1. 等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ） A. 3条 B. 6条 C. 9条 D. 7条 A 练习&巩固 A C B D E 2.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm. 12 练习&巩固 3.如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(　　) A．45° B．55° C．60° D．75° C 小结&反思 等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质： 底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. $$