1.1.1 等腰三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；(重点) 3.能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.（难点） 情境&导入 问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点? 斜拉桥梁 埃及金字塔 体育观看台架 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 情境&导入 问题2：在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？ 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等. PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 4 探索&交流 全等三角形 1— 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？ 探索&交流 已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)， F E D C B A ∴△ABC≌△DEF (ASA). ∵ BC = EF (已知)， ∴∠C =∠F (等量代换). ∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)， ∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E). 探索&交流 证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程. 探索&交流 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS). 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 探索&交流 全等三角形的判定方法 （1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或 “SSS”）. （2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角 边角”或“ASA”）. （3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等（简写成“角角边”或“AAS”）. （4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边 角边”或“SAS”） 探索&交流 议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一). 定理:等腰三角形的两个底角相等. （等边对等角） 探索&交流 A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 探索&交流 证明：如图，取BC的中点D，连接 AD. ∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD ( SSS ). ∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等）. A B C D 探索&交流 A B C D 证明： 作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD. ∴△BAD ≌ △CAD (SAS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 ∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD， 探索&交流 想一想 由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 由△BAD≌△CAD， 可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD. 又∵∠ADB +∠ADC = 180°， ∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC. 故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线. A B C D 探索&交流 定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 证明后的结论,以后可以直接运用. 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 总结归纳 探索&交流 A C B D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 综上可得：如图,在△ABC中, 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B； (2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数； (3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°. (2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°. (3)若顶角为90°，底角为 若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°. 例题&解析 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE C 练习&巩固 1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED 的度数为( ) A.60° B.90° C. 80° D. 20° C 练习&巩固 2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __________； (2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为 ______________________； (3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________. 75°，30° 72°，72°，或 36°，108° 30°，30° 小结&反思 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. $$