第十八章 平行四边形（B卷•培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，把边长为4的正方形绕A点顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（   ）    A．12 B． C． D． 4．如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 5．如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点．，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形         二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 ．      8．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是 ． 9．如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边的中点，连接． 若，，则的长为 ． 10．如图，图2是图1是一种矩形时钟的示意图，钟表上的数字2、4、8、10的刻度在图2矩形的对角线上，秒针指在刻度7数字上，秒针与交于E点．若，则长为 ． 11．如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，连接．若，则的长为 ．    12．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ． 解：如图：取线段的中点E，连接， 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，在6×6的网格中，，请用无刻度的直尺完成画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． (1)在图1中，作中边上的中线； (2)在图2中，找一个格点D，使以为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出D点，并写出所有符合条件的D点坐标_________． 14．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面的距离． 15．【教材呈现】如图是人教版八年级下册第页部分内容： 如图，点分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）请完成教材的证明： 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．请判断的形状，并说明理由． 16．如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形为菱形，，，求四边形的面积． 17．追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 18．【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 19．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 20．追本溯源题（1）是北师大版初中数学九年级上册第21页例题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）． （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．请问与之间有怎样的关系？请说明理由． 方法应用： （2）如图2，将边长为24的正方形沿着折叠，点的对应点恰在边上，已知，求折痕的长． 21．如图，矩形ABCD中，，点E、F、G、H，分别是BC、CD、AD、AB上的动点（顶点除外），若； (1)在图1中，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点． ①判断四边形EFGH的形状，并证明； ②若四边形EFGH是正方形，求BC的长； (2)在图2中，已知，判断四边形EFGH的周长是否会随着点G的变化而变化，如不变化，求出其周长，若会变化，说明理由； 22．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 23．如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． (1)当四边形为正方形时，直接写出的长； (2)若的面积等于3，求的长； (3)试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 试卷第2页，共32页 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出OA=OD=OC，由已知条件得出OE=CE，∠DEA=90°，由线段垂直平分线的性质得出OD=CD，得出△OCD为等边三角形，即可求出BD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=AC，OD=BD，AC=BD，CD=AB=2cm， ∴OA=OD=OC， ∵DE⊥AC，OE=CE， ∴∠DEA=90°，OD=CD， ∴OC=OD=CD=2cm， ∴BD=2OD=4cm， ∴（cm）， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键． 2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由第一次折叠可知，，则四边为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 3．如图，把边长为4的正方形绕A点顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（   ）    A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，即可求四边形的周长． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，， 根据旋转可知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， ∴， ∴四边形的周长，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 4．如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】设AC交BD于O，根据已知可得AC＝6，而PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，即可得到答案． 【详解】解：设AC交BD于O，如图： ∵在菱形ABCD中， AB＝6， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝6，BD⊥AC，ADBC，ABCD， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°， ∴△ABD和△BCD是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝30°， 在Rt△AOD中，OD＝AD＝3，OA＝， ∴AC＝2OA＝6， 在Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP， 在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP， ∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC， ∴PE﹣PF＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质及应用、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出AC，把PE﹣PF转化为AC． 5．如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点．，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行四边形的性质可证得，进一步证明是等边三角形，然后利用等腰三角形的判定与性质，可求得，即可证明①正确；再证明，即可知②正确；在中，，即可证明③错误；最后利用中位线定理，即可得④正确；由此可得答案． 【详解】四边形平行四边形， ，，， ， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 所以①正确； ， ， ， ， 平分， 所以②正确； 在中，， ， ， 所以③错误； ，， ， 所以④正确； 所以正确的个数有3个． 故选：C． 6．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形；      综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利用了特殊四边形的判定和性质，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 ．      【答案】3 【分析】只要证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明得出． 8．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是 ． 【答案】120° 【分析】根据三角形中位线定理得到PF=BC，PE=AD，根据题意得到PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点， ∴PF=BC，PE=AD， 又AD=BC， ∴PE=PF， ∴∠PFE=∠PEF=30°， ∴∠EPF=120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 9．如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边的中点，连接． 若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，，根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而利用勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形 ， ∴，，， ∴， ∵点分别是边的中点，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 10．如图，图2是图1是一种矩形时钟的示意图，钟表上的数字2、4、8、10的刻度在图2矩形的对角线上，秒针指在刻度7数字上，秒针与交于E点．若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明为等边三角形，得出，求出，证明，得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵钟表上的数字2、4、8、10的刻度在矩形的对角线上， ∴，， ∵矩形中，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵秒针指在刻度7数字上， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：． 11．如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，连接．若，则的长为 ．    【答案】2 【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形，即可得到；过点F作，求出，得到，推出是等腰直角三角形，则． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作，如图，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，含的直角三角形的三边关系，全等三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形． 12．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ． 【答案】 【分析】取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可． 本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：如图：取线段的中点E，连接， ∵，矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大． ∴点D到点O的最大距离， 故答案为：． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，在6×6的网格中，，请用无刻度的直尺完成画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． (1)在图1中，作中边上的中线； (2)在图2中，找一个格点D，使以为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出D点，并写出所有符合条件的D点坐标_________． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解，或或 【分析】本题主要考查图形与坐标、三角形的中线及平行四边形的性质，熟练掌握图形与坐标、三角形的中线及平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可进行求解； （2）根据平行四边形的性质可进行作图，然后通过图形可得点D坐标． 【详解】（1）解：所作图形如下： （2）解：所作图形如下： 由图可知点D的坐标为或或． 14．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，理并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， ∵， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 15．【教材呈现】如图是人教版八年级下册第页部分内容： 如图，点分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）请完成教材的证明： 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．请判断的形状，并说明理由． 【答案】（）见解析；（）是等腰三角形，理由见解析． 【分析】（）延长至点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （）根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接， ∵点分别是的边与的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴且； （2）是等腰三角形， 理由：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 16．如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形为菱形，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）首先根据勾股定理得到，然后利用菱形的性质得到，设，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解求出，，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴ ∵，， ∴ ∵四边形为菱形 ∴ ∴设，则 ∵ ∴在中，，即 解得， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 17．追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 18．【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等： （1）证明四边形是矩形，推出，可得． （2）先根据已知条件证明，再根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质得出，再根据三角形内角和定理、等边对等角，即可求解． 【详解】（1）解：补全后的证明过程如下： 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ． （2）解：如图，连接， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 19．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 【答案】【操作感知】：30；（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识， 操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究： （1）根据证即可； （2）设的长为x，则，，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30； 【迁移探究】（1）证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴， 在和中， ， ∴， 即； （2）解：设的长为， ∵正方形的边长为4，点P为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得 故答案为：． 20．追本溯源题（1）是北师大版初中数学九年级上册第21页例题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）． （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．请问与之间有怎样的关系？请说明理由． 方法应用： （2）如图2，将边长为24的正方形沿着折叠，点的对应点恰在边上，已知，求折痕的长． 【答案】（1），理由见解析  （2） 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用证明即可解题； （2）连接，过点作于点，则是矩形，然后根据勾股定理求出，然后根据证明即可解题． 【详解】（1），理由为： ∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点， ∵正方形的边长为24， ∴，是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，矩形ABCD中，，点E、F、G、H，分别是BC、CD、AD、AB上的动点（顶点除外），若； (1)在图1中，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点． ①判断四边形EFGH的形状，并证明； ②若四边形EFGH是正方形，求BC的长； (2)在图2中，已知，判断四边形EFGH的周长是否会随着点G的变化而变化，如不变化，求出其周长，若会变化，说明理由； 【答案】(1)①菱形，证明见解析；②4 (2)周长不会变化， 【分析】（1）①根据题意先进行判断，再利用矩形的性质证明全等从而证明四边形的四条边都相等即可求证；②根据正方形的性质求解即可； （2）通过延长GH交CB的延长线于点N，延长GF交BC的延长线于点M，如图（见详解），证明，，求出MN的长度，再证明 ，得到，过点G作于点K之后即可利用勾股定理求出四边形EFGH的周长． 【详解】（1）解：①四边形EFGH是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点， ∴,， 且, ∴， ∴， ∴四边形EFGH是菱形． ②若四边形EFGH是正方形，则； （2）解：四边形EFGH的周长不会随着DG的变化而变化； 如图，延长GH交CB的延长线于点N，延长GF交BC的延长线于点M． ∵，， ∴． 且，, ∴． ∴，， 同理：，． ∴． ∵，， ∴． ∴． 过点G作于点K，则， ∴， ∴四边形EFGH的周长为． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定与全等三角形的判定以及勾股定理，是一道几何综合题，熟练掌握相关性质并能灵活应用添加恰当的辅助线是解题的关键． 22．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）； （3）． 【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：过点作于， 由折叠可知：，， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形的周长； （3）解：过点作，交的延长线于，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在 中，． 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 23．如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． (1)当四边形为正方形时，直接写出的长； (2)若的面积等于3，求的长； (3)试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 【答案】(1)2 (2)2 (3)当时，的面积取得最小值 【分析】本题主要考查矩形、正方形及菱形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）当四边形为正方形时，则，可证明，由此求出的长； （2）作交的延长线于点M，可得，得，再由的面积等于3求出的长，进而求出的长； （3）当的面积取得最小值时，可推出的值最大，此时的值也最大，则点E与点B重合，求出这时的值即可． 【详解】（1）如图1，当四边形为正方形时，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，作，交的延长线于点M，连结， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）如图2，设， 由（2）得， ∴， ∴随x的增大而减小， 要使的面积最小，须使x的值最大， 在中，， ∴当取得最大值时，x的值最大， 而，此时的值最大， ∴点E与点B重合， 如图3， 此时，， ∴， ∴当时，的面积取得最小值． 试卷第2页，共32页 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$