17.1一元二次方程课件 2024—2025学年沪科版八年级数学下册

17.1一元二次方程(1) 1 什么是一元一次方程？ 有一个未知数，未知数的最高次数是一的整式方程叫做一元一次方程． 一元一次方程的一般形式是什么？ 2 由题意可知截取后的底面积．故应根据面积找相等关系解题． 用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试求出截去的小正方形的边长． 3 即 x2-70x+825＝0 解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm，则有（80-2x）（60-2x）＝1500． x x x x 80-2x 60-2x 这个方程和以前学过的方程有什么异同？ 4 分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程． 剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 5 即 x2+5x-150＝0 解：设这块铁片宽xcm，则长是（x+5）cm．根据题意，可得x（x+5）＝150． 6 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？（课件：探索比赛场次） 7 解答 解：设应邀请x个队参加比赛，由题意得： 8 x2-70x+825＝0 x2+5x-150＝0 观察 这两个方程有什么共同点？ 方程中未知数的个数、次数各是多少？ 9 梳理 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程． 10 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2+bx+c=0 （a≠0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 梳理 为什么？ 11 17.1一元二次方程(2) 12 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程． 1、定义： 13 ax2+bx+c=0 (a≠0)． 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、一般形式： 14 1、下列方程中哪些是一元二次方程？ 是一元二次方程的有： 探究 15 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 16 解：方程(1)整理为5x2-4x-1=0；其中二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1． 方程(2)整理为4x2-81=0；其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81． 17 剪铁片的题目中，列得的方程为 x2+5x-150＝0． x 1 2 3 … 9 10 11 x2+5x-150 … -144 -136 -126 -24 0 16 分析 18 可以发现，当x=10时，x2+5x-150=0．即x=10时，方程左右两边相等，所以x=10是方程x2+5x-150的解．一元二次方程的解也叫一元二次方程的根． 通过计算可知，当x=-15时，方程左边为0，与方程右边相等，所以x=-15也是方程x2+5x-150=0的根． 19 虽然方程x2+5x-150=0有两个根（x=10和x=-15），但剪铁片问题的答案只有一个，宽应为10cm． 由实际问题列出方程并得出方程的解后，必须考虑这些解是否是该实际问题的解，即是否符合生活实际． 探究 20 （2）4x2=1 （1）3x2-27=0 1、下列哪些是方程的x2+6x-16=0根？ 0，2，4，6，8，-2，-4，-6，-8． 2、试写出下列方程的根． （3）x2-x=0 思考 21 3、一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根． 列方程解决实际问题时，解不仅要满足所列方程，还需满足适合实际． 22 巩固练习 1、一元二次方程3y（y＋1）=7（y＋2）－5化为一般形式为 ；其中二次项系数为 ；一次项系数为 ；常数项为 ． 3y2-4y-9=0 3 -4 -9 2、已知关于x的方程（k2-1）x2+kx-1=0为一元二次方程，则k ． ≠±1 23 应用拓宽 关于x的方程 可能是一元二次方程吗？为什么？ 24 17.1一元二次方程(3) 25 1、一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以 化为 的形式，我们把 （a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式． 26 一元二次方程根与系数的关系 设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个根，则有 x1+x2= ， x1x2= ． 27 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零（2）有一根为2． 28 明辨是非 判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？ 1、（x－1）2＝４　 2、x2－2x=8 4、x2＝y+１ 　5、x2－2x2＝１ 6、ax2 + bx + c＝１ 3、x2+ ＝１　 × √ √ × × × 29 一元二次方程的一般式 （a≠0） 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x²=1 2y（y-3）= -4 3x²-1=0 3 2 -6 -1 4 0 回顾 2y2-6y+4=0 30 2 2、若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 3．若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= ； 2 4、写出一个根为2，另一个根为5的一元二次方程 ． 1、若 是关于x的一元二次方程则m ． ≠－ 2 填一填 31 2、已知一元二次方程x2=2x 的解是（ ） （A）0 （B）2 （C）0或-2 （D）0或2 D 1、已知一元二次方程（x+1）（2x－1）=0的解是（ ） （A）-1 （B）1/2 （C）-1或-2 （D）-1或1/2 D 选一选 32 80cm 50cm x x x x 1、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示， 如果使整个挂图的面积是5400cm2，设金边的宽为xcm，则列出的方程是 ． （80+2x）（50+2x）=5400 33 2、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．本世纪的头二十年（2001年～2020年），要实现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为 （ ） A、（1+x）2=2 B、（1+x）2=4 C、1+2x=2 D、（1+x）+2（1+x）=4 B 关键是理解“翻两番是原来的4倍”，而不是原来的2倍． 34 你说我说大家说： 通过今天的学习你有什么收获或感受？ 35 17.1一元二次方程(4) 36 考点透视 一元二次方程的概念： 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A、2x＋1＝0 B、y2＋x＝1 C、x2＋1＝0 D、 C 2．（08青岛）关于x的方程 是一元二次方程，求m的值． 一元二次方程三要素: 1．一个未知数． 2．含未知项的最高次数是2次． 3．方程两边都是整式． 二次项的系数不等于0． 注意: m=-2 37 一元二次方程的一般形式 一元二次方程（关于x） 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x²-1=0 3x（x-2）=2（x-2） 38 例题讲解 将方程（3x-2）（x+1）=8x-3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0 39 所以得到一元二次方程的一般形式为： 3x2-7x+1=0 其中二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1． 40 考点透视 面积类应用题： 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？ B A D C 墙 41 考点透视 增长率类应用题： 2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a％后售价为148元，下面所列方程正确的是（ ） A．200（1+a％）2=148； B．200（1-a％）2=148； C．200（1-2a％）=148； D．200（1+a2％）=148. B 42 小结： 会判断一个方程是不是一元二次方程，能够熟练地将一元二次方程化为一般形式． 本节我们主要学习了一元二次方程的哪些内容？ 43 你说我说大家说 请你谈谈学习本节课后的感受! 44 $$