5.2.2导数的四则运算法则课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.2.2　导数的四则运算法则 5.2　导数的运算 【学习目标】 1.了解求导法则的证明过程,提升逻辑推理的核心素养. 2.掌握函数和、差、积、商的求导法则,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数,提升学生的数学运算素养. 【新知探究】导数运算法则 问题1 如何利用导数的定义求函数y=f(x)+g(x)的导数? 【新知探究】导数运算法则 追问1 你能求函数y=f(x)-g(x)的导数吗? 同样地，对于上述函数. 导数的运算法则1: 一般地，对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则： 【例题解答】 例3：求下列函数的导数: 解: [针对训练] 求下列函数的导数. (2)f(x)=5x+ln x; (3)f(x)=log2x-3x. 问题2 你能利用导数的定义求出函数y=f(x)g(x)的导数吗? 【新知探究】导数运算法则 【新知探究】导数运算法则 【新知探究】导数运算法则 追问： 你能自行推导计算吗？ 导数运算法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′=   两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差) [f(x)g(x)]′=   两个函数的乘积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数,等于分子的导数乘分母,减去分子乘分母的导数,再除以分母的平方 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 【新知探究】导数运算法则 特别地: (1)当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′= ; cf′(x) 【新知探究】导数运算法则 例4 :求下列函数的导数: 【例题解答】 解: 【课堂练习】 课本练习P78 2.求下列函数的导数 注意：如果有的函数直接求导比较麻烦，可以考虑将函数式先化简，然后进行求导． 方法总结 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导. 提醒:当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简,再求导. 【解决问题】 因为f′(2)=1, 即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)=ln 2+2, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2+2)=x-2, 即x-y+ln 2=0. 【课堂练习】 课本练习P78 4.已知函数.直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标； 直线的方程为，切点坐标为. 「当堂检测」 1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是(　 　) √ 2.设函数y=-2exsin x,则y′等于(　 　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) √ 解析:y′=-2(exsin x+excos x)=-2ex(sin x+cos x).故选D. A.-1 B.0 C.1 D.2 √ 解析:因为f(x)= f′(-1)x2-2x+3,所以f′(x)=f′(-1)x-2. 所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2,所以f′(-1)=-1.故选A. 2x+2y-3=0 提示: Δy=[f(x+Δx)+g(x+Δx)]-[f(x)+g(x)], ==+, y′==[+]=f′(x)+g′(x). 所以有[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x). 解:(1)因为f(x)=x2-x-, 则f′(x)=2x-1+=. 解:(2)因为f(x)=5x+ln x,则f′(x)=5xln 5+. 解:(3)因为f(x)=log2x-3x,则f′(x)=-3xln 3. (1)f(x)=x2-x-; 提示: Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x); = = =·g(x+Δx)+·f(x);　 其中=f′(x), g(x+Δx)=g(x), =g′(x), 所以y′==f′(x)g(x)+f(x)g′(x). 所以有[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). []′=. 问题3 对于(g(x)≠0)如何求导? []′= (g(x)≠0) (2)当f(x)=1时,[]′=-. (3)因为f(x)=tan x=, 所以f′(x)==. 解:f′(x)=,x∈(0,+∞), 例 已知函数f(x)=x++ln x-1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程. 解析:因为f′(x)=3ax2+6x,所以f′(-1)=3a-6=4,所以a=. 故选D. A. B. C. D. 3.若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为(　 　) 4.曲线f(x)=-2ln x在点(1,f(1))处的切线方程为　　　 　　. 解析:因为f(x)=-2ln x,所以f′(x)=x-,则切线斜率k=f′(1)= -1.又因为f(1)=-2ln 1=,则切点为(1,),所以切线方程为y-=-(x-1),化简得2x+2y-3=0. $$