专题02 函数的图象重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题02 函数的图象重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 函数图象识别 题型十一 从函数的图象获取信息 题型十二 用描点法画函数图象 题型十三 动点问题的函数图象 题型十四 平面直角坐标系中图形的面积 知识点01 画函数图像的步骤： 第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。 第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。 第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。 知识点02 平面内点的平移 1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）； 2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）； 3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。 知识点03 平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用 1、平面直角坐标系 在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。 2、象限 平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。 在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。 3、点的坐标： 用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。 例如：上图中点A的坐标为（3，4） 点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。 【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下: 点所在的象限或坐标 第一象限 第一象限 第一象限 第一象限 原点 X轴 Y轴 点的横坐标 + - - + 0 任意实数 0 点的纵坐标 + + - - 0 0 任意实数 知识04 根据坐标描出点的位置 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 知识点05 平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（23-24八年级下·河南新乡·期末）八年级下某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（    ） A．25 B．30 C．36 D．48 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．    (1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； (2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择： ①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B． 问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？ 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一种路线： ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（24-25八年级下·广西桂林·期末）点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“横连点”，例如点的“横连点”的坐标为，如果点的“横连点” 坐标为，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（24-25八年级下·山西晋城·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）已知点的图像上，到轴，轴的距离相等，则 ． 3．（24-25八年级下·全国·随堂练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（2024八年级下·吉林长春·学业考试）点在第一象限，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 1．（23-24八年级下·四川巴中·阶段练习）以下几种说法：①每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；②过一点作已知直线的平行线有且只有一条；③点在y轴上，则；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·福建龙岩·单元测试）如图，已知、、、、、…则点在第 象限． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点” (1)请任意写出一个“柘城点”：______； (2)判断点是否为“柘城点”，并说明理由； (3)若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？ 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知，点位于第二象限，并且，、均为整数，则满足条件的点的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4； (3)点在第一、三象限的角平分线上． 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（23-24八年级下·全国·单元测试）若有点A和点B，坐标分别为A(3,2)，B(2,3)，则(　　) A．A，B为同一个点 B．A，B为重合的两点 C．A，B为不重合的两点 D．无法确定 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在坐标平面内，依次作点关于直线的对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，关于直线对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋城·模拟预测）如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为 ． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）若点在第四象限，且到轴的距离分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是点 的坐标是 ， 点 是 上 一点， 将 沿折叠，点 恰好落在轴上的点处， 则点 的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是，则的值是 ． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（24-25八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，原点向左上方平移得到点，向右上方平移得到点，连接，，同理，点分别向左上方和右上方平移得到点和，连接，，点分别向左上方和右上方平移得到点和，连接，，…依此平移规律，则向右上方平移得到的第一个点的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【经典例题十 函数图象识别】 【例10】（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图①，直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则直角梯形ABCD的面积为 ． 3．（23-24八年级下·四川眉山·期末）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车在上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小明出发后，到达离乙地的地方，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)求小明骑车在上坡、平路、下坡的速度分别为多少； (2)小明在乙地休息了多少h； (3)直接写出点C、D、E、F的坐标． 【经典例题十一 从函数的图象获取信息】 【例11】（24-25八年级下·四川内江·期末）一列动车从甲地开往乙地后停止， 一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则两车速度相差（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·四川巴中·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了36分钟； ③乙用16分钟追上甲； ④乙到达终点时，甲离终点还有300米． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；④汽车自出发后3时至4.5时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法是 ．（请填写序号）    3．（2025八年级下·全国·专题练习）在某次室外活动中，摄影师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求无人机在上升和下降过程中的速度； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是多少分钟？ (3)第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【经典例题十二 用描点法画函数图象】 【例12】（23-24八年级下·福建龙岩·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中排名情况如图1和图2所示，甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 你选择的理由是 . 3．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． 【经典例题十三 动点问题的函数图象】 【例13】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西桂林·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图①，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，与之间的关系图像如图②所示． (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是_____、_____； (2)当点运动的路程时，三角形的面积_____； (3)求的长和梯形的面积． 【经典例题十四 平面直角坐标系中图形的面积】 【例14】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 1．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…第n次移动到．则的面积是（　　） A．505m2 B．m2 C．m2 D．1009 m2 2．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． (2)在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． (3)在（1）问条件下，求的面积． 1．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）下列数据中不能确定物体位置的是(    ) A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 2．（24-25八年级下·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）二元一次方程组的解为坐标的点在第 象限． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点和点的坐标分别为和，为坐标原点，以，，为顶点的三角形与全等，所有符合条件的点坐标为 ． 9．（24-25八年级下·全国·单元测试）动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，若点的运动速度为每秒3个单位长度，则的取值范围为 ． 10．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 11．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）在平面直角坐标系中，已知以A（-1，0）或以B（3，0）为直角顶点的直角三角形ABC的面积为6，求顶点C的坐标． 12．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标为． (1)若点M在x轴上，求出点M的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出M，Q两点之间的距离． 13．（23-24八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接． (1)求a，b的值； (2)求三角形的面积； (3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标． 15．（24-25八年级下·吉林长春·期中）电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 (1)补全表格； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的图象重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 函数图象识别 题型十一 从函数的图象获取信息 题型十二 用描点法画函数图象 题型十三 动点问题的函数图象 题型十四 平面直角坐标系中图形的面积 知识点01 画函数图像的步骤： 第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。 第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。 第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。 知识点02 平面内点的平移 1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）； 2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）； 3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。 知识点03 平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用 1、平面直角坐标系 在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。 2、象限 平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。 在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。 3、点的坐标： 用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。 例如：上图中点A的坐标为（3，4） 点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。 【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下: 点所在的象限或坐标 第一象限 第一象限 第一象限 第一象限 原点 X轴 Y轴 点的横坐标 + - - + 0 任意实数 0 点的纵坐标 + + - - 0 0 任意实数 知识04 根据坐标描出点的位置 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 知识点05 平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（23-24八年级下·河南新乡·期末）八年级下某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（    ） A．25 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了利用坐标表示位置，几何变换的代数表示法，属于新定义型题目，解答本题需要同学们仔细审题，理解位置数是怎样规定的．根据，，且、都是整数，某生的位置数为8，可得出的最小值，在分别列出、为符合条件的整数时的值，从而得出答案． 【详解】解：，，， ， 又， ，即， ，，且、都是整数， 的最小值为10， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 即的最大值为25， 故选：A 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此逐项分析即可求解，理解坐标的定义是解题的关键． 【详解】解：、航海东路，不能确定位置，该选项不合题意； 、大卫城负二层停车场，不能确定位置，该选项不合题意； 、奥斯卡影城号厅排，不能确定位置，该选项不合题意； 、东经，北纬，能确定位置，该选项符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 【答案】猫 【分析】本题考查了有序数对的应用．根据题意确定所对应的字母位置是解题的关键． 由咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”，可知“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”，然后作答即可． 【详解】解：∵咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”， ∴“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”． 故答案为：猫． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．    (1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； (2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择： ①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B． 问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？ 【答案】(1)点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜 (2)走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多 【分析】（1）由题可知，数对中第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数，由此可解； （22）根据第（1）问中求出的结果计算即可 【详解】（1）解：点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜； （2）解：走①A→C→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜； 走②A→E→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜； 走③A→E→F→B吃到个胡萝卜，棵青菜； 因此走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多． 【点睛】本题考查有序数对，明白第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数是关键． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象一一判断即可解决问题． 【详解】A选项：由图象可知不能到达点A，正确． B选项：由图象可知能到达点A，与题意不符． C选项：由图象可知到达点A，与题意不符． D选项：由图象可知(到达点A正确，与题意不符． 故选：A． 【点睛】本题考查坐标确定位置、解题的关键是理解点与有序数对是一一对应关系，属于中考常考题型． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一种路线： ． 【答案】答案不唯一：如(2，2)→(3，2)→(4，2)→(5，2)→(5，3)→(5，4) 【分析】李老师从家到学校上班的路线可以沿走2巷走到5街，然后到学校，即（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 【详解】李老师从家到学校上班的路线可以沿走2巷走到5街，然后到学校，即（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 故答案为（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【答案】(1)，；，0；， (2)见解析 (3)16 【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可． （2）由可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1格，下移2格即是甲虫P处的位置； （3）由知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，． 故答案为：，；，0；，； （2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：，图中P的即为所求．    （3）解：∵甲虫的行走路线为， ∴甲虫走过的总路程． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（24-25八年级下·广西桂林·期末）点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 【详解】解：点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 故选：A． 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，先得到，再由全等三角形的性质得到，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别是，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“横连点”，例如点的“横连点”的坐标为，如果点的“横连点” 坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点的坐标，理清“横连点”的定义是解答本题的关键．根据“横连点”的定义可得，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解． 【详解】解：点的“横连点” 坐标为， ， 当时，，即， 解得：， 此时，， ，符合题意， 点的坐标为； 当时，，即， 解得：， 此时，， ，符合题意， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 (4)240 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，写出直角坐标系中点的位置，熟练掌握实际问题中用坐标表示位置是解题的关键． （1）根据旗杆和实验室的坐标，即可建立平面直角坐标系； （2）根据用坐标表示平面直角坐标系中的点，即得答案； （3）根据办公室和教学楼的坐标，即可在图中找出它们的位置； （4）由图可知，宿舍楼到教学楼相距8个单位，即可列式计算，求得答案． 【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如图所示； （2）解：食堂的坐标为，图书馆的坐标为； 故答案为：；； （3）解：办公楼和教学楼的位置如图所示； （4）解：， 宿舍楼到教学楼的实际距离为． 故答案为：240． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（24-25八年级下·山西晋城·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离，根据题意得到，，即可解题． 【详解】解：点在第四象限， ，， 点到轴的距离为8，到轴的距离为2， ，， 点的坐标是， 故选：D． 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标．根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标． 【详解】解：∵到x轴的距离为4， ∴或， 当时，， 解得， ∴该点的坐标为； 当时，， 解得， ∴该点的坐标为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）已知点的图像上，到轴，轴的距离相等，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是根据题意列出等式并求解．根据点到轴，轴的距离相等列出等式，再分情况是解题即可． 【详解】解：根据题意，点的图像上，到轴，轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·全国·随堂练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，利用了点到坐标轴的距离：点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离． （1）根据点在y轴上横坐标为0求解； （2）根据平行x轴的纵坐标相等求解； （3）根据点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，根据点与x轴与y轴的关系，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴， ，B两点的纵坐标相等，即， 解得； （3）解：直线轴， ，C两点的横坐标相等， 即， 解得， ， 点A的坐标为． 线段的长为5， 当点C在点A上方时， ， 解得，此时点C的坐标为； 当点C在点A下方时， ， 解得，此时点C的坐标为． 综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（2024八年级下·吉林长春·学业考试）点在第一象限，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第一象限上点的横、纵坐标均为正，可得和的取值范围，然后得到点的横、纵坐标的正负情况，可得答案． 【详解】解：点在第一象限， ，， 解得：，， ，， 点在第三象限， 故选：C． 1．（23-24八年级下·四川巴中·阶段练习）以下几种说法：①每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；②过一点作已知直线的平行线有且只有一条；③点在y轴上，则；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、平行公理、直角坐标系中点的特点、立方根，分别根据实数与数轴、平行公理、直角坐标系中点的特点、立方根的概念判断即可． 【详解】解：①数轴上的点与实数是一一对应关系，每一个无理数都可以用数轴上的点来表示，故①正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误； ③点在y轴上，则，③正确； ④立方根是它本身的数为0，1，，故④错误． 综上，正确的有①③． 故选：B． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·单元测试）如图，已知、、、、、…则点在第 象限． 【答案】三/3 【分析】本题主要考查坐标点规律，根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点的坐标． 【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限， ∵， ∴点在第三象限，在第506圈上， ∴的坐标是． 故答案为：三． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点” (1)请任意写出一个“柘城点”：______； (2)判断点是否为“柘城点”，并说明理由； (3)若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)点不是“柘城点”，理由见解析 (3)点C在第三象限 【分析】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键． （1）当时，根据新定义计算出的值，即可确定点坐标； （2）根据新定义可知，求出的值，再根据，求出的值，即可确定纵坐标，然后再判断即可； （3）根据是“柘城点”，可得，，表示出和，再根据，可得，求出的值，进一步即可确定点坐标，从而可确定点所在象限． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴ ∴，； ∴点是一个“柘城点”（答案不唯一） （2）解：点不是“柘城点” 当时，， ∴， ∴， ∴ ∴点不是“柘城点” （3）解：∵是“柘城点”， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在第三象限． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征为，列不等式组求出a的取值范围，再将解集表示在数轴上，即可得解． 本题主要考查的是平面直角坐标系中各个象限中点的特征，以及不等式组的求法，属于基础题型．理解点的特征是解题的关键． 解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 则a的取值范围在数轴上表示为． 故选：A． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解不等式组、解二元一次方程组，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法，还考查了点的坐标． 先求出方程组的解．根据以方程组的解为坐标的点位于第三象限列出不等式组求解即可； 【详解】解：解方程组得：， ∵以方程组的解为坐标的点位于第三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知，点位于第二象限，并且，、均为整数，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解以及点的坐标，熟练掌握第二象限的点的坐标特点是解本题的关键．根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得、的取值范围，再结合，，均为整数可得出答案． 【详解】解：由点在第二象限，得，， 又因为，，均为整数， 所以当时，，，共2个； 当时，没有符合条件； 当时，没有符合条件； 当时，没有符合条件； ， 所以满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4； (3)点在第一、三象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为0，即，解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标小4， ，解得， ，， 点的坐标为． （3）解：点在第一、三象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标相同， ，解得， ，， 点的坐标为． 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（23-24八年级下·全国·单元测试）若有点A和点B，坐标分别为A(3,2)，B(2,3)，则(　　) A．A，B为同一个点 B．A，B为重合的两点 C．A，B为不重合的两点 D．无法确定 【答案】C 【分析】A(3,2)，B(2,3),横纵坐标不相等,故不为同一个点,也不能够重合. 【详解】根据题意, A(3,2), B(2,3), 由于A、B两点的横纵坐标不相等, 故A、B两点不为同一个点,即不能够重合. 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查的是点的坐标的基本知识，理解概念是解题关键. 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在坐标平面内，依次作点关于直线的对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，关于直线对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质分别求出P1， P2，P3，P4，P5，P6的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵P（-3，1）， ∴点P关于直线y=x的对称点P1（1，-3）， P1关于x轴的对称点P2（1，3）， P2关于y轴的对称点P3（-1，3）， P3关于直线y=x的对称点P4（3，-1）， P4关于x轴的对称点P5（3，1）， P5关于y轴的对称点P6（-3，1）， ∴6个点后循环一次， ∵当n=2019时， 2019÷6=336…3， ∴的坐标与P3（-1，3）的坐标相同， 故选：A． 【点睛】本题考查的是坐标的对称变化，根据各点坐标找出规律是解答此题的关键． 2．（2024·山西晋城·模拟预测）如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为 ． 【答案】 【分析】利用已知点得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 电影院所在的位置可表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【答案】画图见解析，这个四边形的面积为 【分析】本题考查了坐标与图形，先描点，然后连线，分别过作轴交于点，通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，先描点，，，，然后连线， ∴四边形即为所求， 分别过作轴交于点， ∴ ． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）若点在第四象限，且到轴的距离分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了各象限点的坐标符号特征，点到坐标轴的距离，由点在第四象限可得点的横坐标为正数，纵坐标为负数，再根据横坐标的绝对值就是到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点在第四象限，点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∵点到 ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是点 的坐标是 ， 点 是 上 一点， 将 沿折叠，点 恰好落在轴上的点处， 则点 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，根据纵坐标相同可得，再分点在点的左边和右边两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵点与点的纵坐标都是， ∴轴， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)存在点 【分析】本题考查了坐标与图形性质，实数的非负性，熟练掌握实数的非负性，灵活运用分割法求面积是解题的关键． （1）根据非负数的性质，即可解答； （2）根据，即可解答； （3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，且，得 ，，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵， 又∵， ∴， 解得， ∴存在点，使． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（24-25八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意可得，，再找出规律求解即可． 【详解】点的坐标为 ， 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． 点的坐标与点的坐标相同，为． 故选：B 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，由题意易知半圆的弧长为，然后可得点每秒走个半圆，即可求解． 【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点每秒走个半圆． 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动， 运动时间为1秒时，点的坐标为； 运动时间为2秒时，点的坐标为； 运动时间为3秒时，点的坐标为； 运动时间为4秒时，点的坐标为； 运动时间为5秒时，点的坐标为； 运动时间为6秒时，点的坐标为 点的横坐标等于运动时间，纵坐标以四个数为一个循环组循环． 第2025秒时，点的坐标是， 故选C． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，原点向左上方平移得到点，向右上方平移得到点，连接，，同理，点分别向左上方和右上方平移得到点和，连接，，点分别向左上方和右上方平移得到点和，连接，，…依此平移规律，则向右上方平移得到的第一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．根据，，…，得出点的坐标变化规律是横纵坐标绝对值均为n．结合点在第二象限可得出向右上方平移得到的第一个点的坐标． 【详解】解：∵原点向左上方平移得到点，向右上方平移得到点，点分别向左上方和右上方平移得到和， ∴可知向右上方平移的点的横坐标是在原来点横坐标的基础上加1，纵坐标也是在原来点纵坐标的基础上加1，且由规律可知，点的坐标变化规律是横纵坐标绝对值均为n． ∵点在第二象限， ∴的坐标为， ∴点向右上方平移得到的第一个点的横坐标为，纵坐标为， ∴该点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 【经典例题十 函数图象识别】 【例10】（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图①，直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则直角梯形ABCD的面积为 ． 【答案】26． 【分析】本题考查动点函数图象的问题，要根据图象判断出各边的边长． 【详解】动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动；当运动到线段CD上时，三角形的面积的值开始固定．由图象可以看出，x为4时，面积开始不变，所以BC为4； x为9时，面积不变结束，所以CD＝9﹣4＝5； 那么AD＝14﹣9＝5，AB＝CD+ ∴直角梯形ABCD的面积为×（5+8）×4＝26． 【点睛】应根据题中所给的条件先判断出面积不变的开始与结束的点，进而判断出相应的线段的长度，再求解． 3．（23-24八年级下·四川眉山·期末）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车在上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小明出发后，到达离乙地的地方，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)求小明骑车在上坡、平路、下坡的速度分别为多少； (2)小明在乙地休息了多少h； (3)直接写出点C、D、E、F的坐标． 【答案】(1)上坡，平路，下坡 (2) (3)；；； 【分析】对于（1），根据上坡所用的时间0.2h，路程为6.5-4.5=2km，求出速度，即可得出平路和下坡的速度； 对于（2），先求出平路所用时间再乘以2，再求出下坡所用时间，然后用总时间减去各段时间，即可求休息时间； 对于（3），根据上述解答过程确定各点的横纵坐标即可． 【详解】（1）小明骑车上坡的速度为：， 小明在平路上的速度为：， 小明在下坡的速度为：； （2）小明在平路上所用的时间为：， 小明在下坡所用的时间为：， 所以小明在乙地休息了：； （3）点C的横坐标是0.2+0.3=0.5，点D的横坐标是0.5+0．1=0.6，点E的横坐标是0.6+0.3=0.9，纵坐标是4.5，点F的纵坐标是6.5， 所以；；；． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，从图像中获取信息是解题的关键． 【经典例题十一 从函数的图象获取信息】 【例11】（24-25八年级下·四川内江·期末）一列动车从甲地开往乙地后停止， 一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则两车速度相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，分别求解两车的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 甲、乙两地相距1000千米， 点B的实际意义是两车出发后3小时相遇， 普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，普通列车的速度为：（千米/时）， 动车的速度为：（千米/时）， ∴两车速度相差， 故选：D． 1．（24-25八年级下·四川巴中·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了36分钟； ③乙用16分钟追上甲； ④乙到达终点时，甲离终点还有300米． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查函数图像，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件． 根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，甲步行的速度为米/分，故①正确； 由图象可知，甲出发分钟16后乙追上甲，则乙用了分钟追上甲，故③错误； 乙的速度为米/分，则乙走完全程的时间为分钟，故②错误； 当乙到达终点时，甲步行了米，甲离终点还有米，故④错误； 综上，正确的结论有①，共1个． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；④汽车自出发后3时至4.5时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法是 ．（请填写序号）    【答案】② 【分析】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，注意总路程应包括往返路程，平均速度=总路程÷总时间． 根据图象上的特殊点的实际意义逐个作出判断即可． 【详解】解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，故①错误； 从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了(小时)，故②正确； 汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为；(千米/时) ，故③错误； 汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，故④错误． ∴①③④说法错误，②说法正确． 故答案为：②． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）在某次室外活动中，摄影师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求无人机在上升和下降过程中的速度； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是多少分钟？ (3)第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)25米/分钟 (2)5分钟 (3)25米 【分析】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． （1）根据题意计算即可； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）即可； （3）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可． 【详解】（1）解：（米/分钟）， 所以无人机在上升和下降过程中的速度是25米/分钟． （2）解：由题图可知，无人机到达75米高的上空的时间为（分钟）， 所以无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）． （3）解：在第14分钟时无人机的飞行高度为（米）． 【经典例题十二 用描点法画函数图象】 【例12】（23-24八年级下·福建龙岩·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可. 【详解】A 选项，当 代入 故在直线上. B 选项，当 代入 故在直线上. C选项，当 代入 故在直线上. D选项，当 代入 故不在直线上. 故选D. 【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握. 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）=2可知|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形． 【详解】解：∵f（x，y）=2， ∴|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|y|＜2． ①当|x|=2，|y|≤2时，点P满足x=2，-2≤y≤2或x=-2，-2≤y≤2， 在图象上，线段x=2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x=-2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的左边； ②当|y|=2，|x|＜2时，点P满足y=2，-2＜x＜2，或y=-2，-2＜x＜2， 在图象上，线段y=2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y=-2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的下边． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征． 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中排名情况如图1和图2所示，甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 你选择的理由是 . 【答案】 甲 数学 丙这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”,即在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学. 【分析】(1)根据图1分析甲乙两人所在的位置的横坐标即可确定总成绩名次 (2)根据图2分析丙所在位置的横坐标,确定丙的总成绩年级名次是倒数第5,在图1中找出从右数第5个点即为丙的位置,观察图1和图2中丙的纵坐标即可得出答案 【详解】(1)由图1可知甲的位置在乙的左侧,所以在甲、乙两人中,总成绩名次靠前的学生是甲； (2)由初三年级261位学生参加期末考试,某班35位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从图2看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在图1中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”,即在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 【点睛】此题考查函数图象，解题关键在于从图中获取数据. 3．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了用描点法画函数图象，以及利用函数图象获取信息的能力. （1）描出表中各组数值所对应的点，顺次连成平滑的曲线即可得函数图象， （2）观察图象可知，①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 【详解】（1）解：如图： （2）①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，即的取值范围为时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 故答案为：①，②. 【经典例题十三 动点问题的函数图象】 【例13】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，结合函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，则，0到4秒后点P从点B运动到点C，可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变， 由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化， ∴，0到4秒后点P从点B运动到点C， ∴， ∴， 故选：C． 1．（2024·湖南阳·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西桂林·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图①，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，与之间的关系图像如图②所示． (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是_____、_____； (2)当点运动的路程时，三角形的面积_____； (3)求的长和梯形的面积． 【答案】(1)点运动的路程；的面积 (2)16 (3)8， 【分析】此题考查了动点问题的函数图像，弄清函数图像上的信息是解本题的关键． （1）依据点运动的路程为，的面积为，即可得到自变量和因变量； （2）依据函数图像，即可得到点运动的路程时，的面积； （3）根据图像得出的长，以及此时三角形面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图像得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量为点运动的路程为，因变量为的面积为， 故答案为：点运动的路程；的面积； （2）解：由图可得，当点运动的路程时，的面积为， 故答案为：16； （3）解：根据图像得：，此时为16， ，即， 解得； 由图像得：， 则， ，梯形的面积为26． 【经典例题十四 平面直角坐标系中图形的面积】 【例14】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 作轴于．只要证明，推出，由，推出，推出，再利用勾股定理求出，最后求面积即可． 【详解】解：作轴于． ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴正方形的面积． 故选：C． 1．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…第n次移动到．则的面积是（　　） A．505m2 B．m2 C．m2 D．1009 m2 【答案】B 【分析】由知，据此得出，据此利用三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴， ∴， 则的面积是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得． 2．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形，读懂题意是解题的关键．由题意得，，可知的最小值为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 可知的最小值为， ∴、、三点的“半矩面积”的最小值为：， 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． (2)在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． (3)在（1）问条件下，求的面积． 【答案】(1)画图见解答； (2) (3)6 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）由题意可得，求出的值，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）解：∵点，直线轴， ， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：的面积为． 1．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）下列数据中不能确定物体位置的是(    ) A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可得． 【详解】解：A、电影票上的“5排8号”，位置明确，则此项不符合题意； B、小明住在某小区3号楼7号，位置明确，则此项不符合题意； C、南偏西，位置不明确，则此项符合题意； D、东经，北纬的城市，位置明确，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论即可． 【详解】解：当时，在轴上有1个满足题意，在轴上有2个满足题意； 当时，在轴上有2个满足题意，其中一个与时的重合，在轴上有1个满足题意； 当，在轴和轴各有1个满足题意，其中在轴上的与时的重合， 故满足条件的点共有个； 故选A． 4．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是正确求得前几个点的坐标，找出规律．求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：如图所示： 点，进过一次翻滚后，再经过一次翻滚后，，再经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后 可得：经过4次翻滚后点对应点一循环， ∵，矩形的周长为 ∴经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为，即 故选：D 5．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题关键． 观察图像可解答①；由图像可得运动过程，进而判断②；根据甲在比乙多行驶了，可判断③；最后分：两人相遇后，甲未到达C村，和甲已经到达C村时两种情况，求出时间即可． 【详解】解：由图象可知，当时，，所以A，B两村相距．所以①正确； 由图象可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，在时，甲到达了C村，之后两人之间的距离开始减小，最后相遇在C村．所以②正确； 甲每小时比乙多骑行的路程为．所以③正确； 乙的速度为，甲的速度是；当两人相遇后，甲未到达C村时，，当两人相遇后，甲已到达C村时，． 综上所述，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④错误． 综上正确的有①②③． 故选：C． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）二元一次方程组的解为坐标的点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了解二元一次方程，平面直角坐标系的知识；先用加减消元法解二元一次方程组，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解： ，得：， 解得， 将代入②，得， 解得 ∴的解为， 在第一象限， 故答案为：一． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，熟练运用象限内点的坐标特征是解决此题的关键， 根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是5，纵坐标的绝对值是2，根据第一象限内的点横纵坐标都为正数得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：点在第一象限， ∴， ∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点P到轴的距离为7，到轴的距离为8， ∴， ∴， 故答案为：2，3． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点和点的坐标分别为和，为坐标原点，以，，为顶点的三角形与全等，所有符合条件的点坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的判定与平面直角坐标系的综合运用，根据三角形全等的判定画出全等三角形后写出顶点坐标是解题关键． 在直角坐标系中画出与全等的三角形即可得到解答． 【详解】解：如图，符合条件的点P的坐标有三种情况，分别是或或， 故答案为：或或． 9．（24-25八年级下·全国·单元测试）动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，若点的运动速度为每秒3个单位长度，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标和一元一次不等式的应用．动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，据此列不等式即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小， 由题意可得，，，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）在平面直角坐标系中，已知以A（-1，0）或以B（3，0）为直角顶点的直角三角形ABC的面积为6，求顶点C的坐标． 【答案】顶点C的坐标为或或或． 【分析】先根据点A、B的坐标求出，再根据三角形的面积公式得出AB边上的高为3，然后分别根据点A为直角顶点和点B为直角顶点求解即可得． 【详解】， ， 直角三角形ABC的面积为6， AB边上的高为， 设顶点C的坐标为， （1）当以点为直角顶点时， 点C的横坐标与点A的横坐标相等，即， 点C到x轴的距离为3，则，解得， 此时顶点C的坐标为或， （2）当以点为直角顶点时， 点C的横坐标与点B的横坐标相等，即， 点C到x轴的距离为3，则，解得， 此时顶点C的坐标为或， 综上，顶点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了点坐标的应用，依据题意，先求出AB边上的高，再分两种情况讨论是解题关键． 12．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标为． (1)若点M在x轴上，求出点M的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出M，Q两点之间的距离． 【答案】(1)点M的坐标为 (2) 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标轴上的点的特征，平行于轴的坐标特征，理解相关知识是解题的关键； （1）根据点M在x轴上，可得点M纵坐标为，求解出，即可求得点M的坐标； （2）根据直线轴，求解出，即可求解出M，Q两点之间的距离； 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ∴， 解得：， 把代入， 则点M的坐标为； （2）解：∵直线轴， ∴点M，Q的横坐标相等，即， 解得：， ∴， ∴M，Q两点之间的距离为：． 13．（23-24八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0 (2) (3)向右 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据（1）中规律写出的坐标即可； （3）根据是2的倍数，可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0； （2）解：根据（1）可得： ∴ ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴是的整数倍， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向右． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接． (1)求a，b的值； (2)求三角形的面积； (3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了非负性的性质、坐标与图形的性质： （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用割补法求解即可； （3）由点C的纵坐标为b，可知点C的坐标为，从而轴．由得点C在点A右侧，过点B作BD⊥AC于点D．然后画出图形，根据以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：由（1），得，， ∴． （3）解：∵点C的纵坐标为b， ∴点C的坐标为， ∴轴． ∵， ∴点C在点A右侧． 如答图，过点B作BD⊥AC于点D． ∵， ∴， 即， 解得， ∴点C的坐标为． 15．（24-25八年级下·吉林长春·期中）电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 (1)补全表格； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 【答案】(1)补全表格见解析； (2)图见解析； (3)3 【分析】本题考查了函数图象的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据题意，补全表格； （2）根据（1）的表格，描点，连线，即可画出这两个函数的图象； （3）找到两图象的交点，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格，车速每增加一个单位，耗电量增加5个单位， 则当时，， 补全表格如图； 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （2）解：描点，连线，画出这两个函数的图象如图； ； （3）解：由图象可知，当理想状态下与实际测试中耗电量相同时，的值约为3，故该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为3测速单位． 故答案为：3 学科网（北京）股份有限公司 $$