专题01 变量与函数重难点题型专训（8大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题01 变量与函数重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数的三种表示方法 题型六 用表格表示变量间的关系 题型七 用关系式表示变量间的关系 题型八 用图象表示变量间的关系 知识点01 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点02 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点03 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的有关概念，根据函数的概念逐一判断即可，正确理解函数的概念是解题的关键． 【详解】是自变量，是因变量，故该说法正确； 值随值的变化而变化，故该说法正确； 是变量，随值的变化而变化，故该说法错误； 用关系式表示的可以用表格表示，故该说法错误； 与的关系还可以用列表法和图象法表示，故该说法正确， 综上所述：正确，错误， 故选：． 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）假期小战一家自驾游黑龙江省，爸爸开车到加油站加油，小战发现加油机上的数据显示牌金额随着油量的变化而变化，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则下列判断正确的是（    ） 178.00 金额/元 20.00 油量/升 8.90 单价/（元/升） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．178和20是常量 D．金额是油量的函数 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义和基本概念进行判断即可． 【详解】解：A．金额是因变量，故A不符合题意； B．单价是常量，故B不符合题意； C．178是因变量，20是自变量，故C不符合题意； D．金额是油量的函数，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势： 年份 … 入学儿童人数 … (1)上表中_____是自变量，_____是因变量； (2)你预计该地区从_____年起入学儿童的人数不超过人． 【答案】(1)年份，入学儿童人数 (2)2018 【分析】（1）根据自变量因变量定义直接判断即可得到答案； （2）根据表格得到每年减少的数量，即可得到答案； 【详解】（1）解：因为该表格中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数随年份的变化趋势， 所以年份是自变量，入学儿童人数是因变量； 故答案为：年份，入学儿童人数； （2）解：因为每年的入学儿童人数都比上一年减少人， ∴， (年) 所以年起入学儿童的人数不超过人． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数定义及利用变量求因变量值，解题的关键是读懂题目了解表格． 【经典例题二 函数解析式】 【例2】 （23-24八年级下·河南驻马店·期末）一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积求得长方形的另一条边长，然后根据长方形的周长公式进行即可求解， 本题考查了列函数关系式，理解题意求得长方形的另一条边长是解题的关键． 【详解】解：∵一个长方形的周长为，其中一条边长为， ∴另一条边长为：， 长方形面积为， 则． 故选：D． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式的应用，分类讨论思想，根据题意，需要对第一次买的蛋糕进行讨论，和后来添加的黑樱桃蛋糕的价格进行对比，再进行解答． 【详解】解：阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，后来多买了一个50元的黑樱桃蛋糕，优惠方式为：价格最低的蛋糕免费． ①若原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格等于50元或高于50元，最后买的黑樱桃蛋糕是最便宜的，免费， ∴此时原本结账金额等于后来结账的金额，即； ②如果原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格低于50元，则这个最便宜的蛋糕就变成免费，改以黑樱桃蛋糕计费，价格发生变化． 如果原本四个蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），买了黑樱桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕变成免费，需要付黑樱桃蛋糕，多付10元， 此时，； ③如果原本四个蛋糕中最便宜的是45元，买了黑樱桃蛋糕后，多付5元， 此时，． 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为 ． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 【答案】 【分析】本题主要考查确定函数关系式．根据表格得出相应规律，然后列出函数关系式即可． 【详解】解：由表得：海拔每上升米，沸点降低1度， ∴与的关系式为； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）某超市出售一种散装花生，其售价y（元）与花生质量x（千克）之间的关系如表： 质量x/千克 1 2 3 4 … 售价y/元 … 其中售价中的0.2元是包装袋的价钱． (1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？ (2)求出售6千克花生时的售价； (3)求出y与x之间的函数表达式． 【答案】(1)自变量是花生的质量，因变量是售价 (2)21.8 (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一次函数关系式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量的变化，找出自变量及因变量；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式； （1）由值随值的变化而变化，可得出自变量是花生的质量，因变量是售价； （2）利用售价花生的销售单价售出质量，即可求出结论； （3）利用售价花生的销售单价售出质量，即可得出与之间的关系式； 【详解】（1）解：根据题意得：在这个变化过程中，自变量是花生的质量，因变量是售价； （2）根据题意得： （元． 答：出售6千克瓜子时的售价为21.8元； （3）根据题意得：； 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（    ） A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式的意义可知：x-1≥0，即x≥1， 根据分式的意义可知：x-2≠0，即x≠2， ∴x≥1且x≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．当与时，函数值相等 D．当时， 【答案】D 【分析】根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可． 【详解】A：由图象可知，当时，随的增大而增大，故本选项不合题意； B：函数的自变量的取值范围为，故本选项不合题意； C：当时，函数值为；当时，函数值为1，故本选项不合题意； D：由图象可知，当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围． 2．（23-24八年级下·四川内江·期中）周长为10cm的等腰三角形，底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系为 自变量的取值范围： 【答案】 y=10-2x 2.5＜x＜5 【分析】根据“底边长=周长-2×腰长”列出函数关系式，然后再根据两腰长>底边长及底边长>0可确定x的取值范围． 【详解】解：由题意可得：y=10-2x 又 ，解得：2.5＜x＜5． 故答案为：，2.5＜x＜5． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意确定量与量的关系是解决问题的关键，求自变量的取值范围应注意其实际意义． 3．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 自变量x的取值范围是． （2）解：当时，． ∴当时，此时两正方形的面积和S为10． 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键． 当时，；当时，；由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，． 由题意得，， 解得． 故选：D． 1．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 【答案】C 【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可． 【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意； B、根据表格，刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加，正确，不符合题意； C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，解得，不正确，符合题意； D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键． 2．（2024·福建莆田·三模）已知，且满足表示不超过的最大整数），则的值可以为 ． 【答案】36或37 【分析】首先理解表示的含义，再结合得出中有多少个，多少个，然后求出的取值范围，即可求解； 【详解】，， ，，，等于0或1， ， 其中有18个1， ，， ，， ， ， 的值可以是36或37， 故答案为：36或37． 【点睛】本题主要考查取整函数的知识点，能够准确理解题意，得出一定的规律是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山西长治·期末）规定：对于关于的函数，当，若，则称：当时，是的增函数；反之，若，则称：当时，是的减函数． 例如，证明关于的函数在范围内为减函数． 令， 则 ， ，，． ．即． 所以，在范围内为减函数． 请完成下面问题： (1)当时，为________函数（增、减或者不确定）； (2)判断关于的函数在范围内的增减性，并说明理由． 【答案】(1)减 (2)函数在范围内是增函数，理由见解析 【分析】本题考查了函数的增减性，解题的关键是理解题意． （1）令，则，由可得，，，推出，即，即可判断； （2）令，则，由，可得，，推出．即，即可判断． 【详解】（1）解：令， 则 ， ，，， ， ．即， 当时，为减函数， 故答案为：减； （2）函数在范围内是增函数，理由如下： 令， 则 ， ，， ， ．即， 函数在范围内是增函数． 【经典例题五 函数的三种表示方法】 【例5】（23-24八年级下·广西桂林·期末）下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断即可． 【详解】解：根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断， A：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意； B：观察x与y的等式发现，符合函数的定义，不符合题意； C：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意； D：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键． 1．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 9 2 1 0 ﹣7 ﹣26 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（  ） A．76 B．﹣74 C．126 D．﹣124 【答案】C 【分析】根据特殊与一般的关系，确定变量之间的函数关系，后计算即可 【详解】解：根据表格数据可知，函数的解析式为y＝﹣+1， 当x＝﹣5时，y＝﹣+1＝126． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图表形式，解析式形式，准确确定两个变量之间的关系是解题关键． 2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是 ． 【答案】y=6x+2． 【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度． 【详解】：由题意可得， 把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm， 把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2， 故答案为：y=6x+2． 【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 (3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 【答案】(1)图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)16，18 (3)5千克 (4) 【分析】 （1）根据变量常量的定义结合题意进行判断即可； （2）根据图象填写表格即可； （3）根据图象得出结论； （4）根据图象可知所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米，据此解答即可． 【详解】（1）图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2） 由图象得： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 16 18 故答案为：16，18； （3） 由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是5千克． （4） ∵所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米， ∴． 【点睛】 本题考查函数的表示方法，理解表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系是正确判断的关键． 【经典例题六 用表格表示变量间的关系】 【例6】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 1．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可得刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，故A正确，不符合题意； 由表格可得：随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，故B正确，不符合题意； 当刹车时车速为时，刹车距离是，故C错误，符合题意； 在限速的高速公路上，最大刹车距离为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 【答案】190 【分析】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），将已知数据代入上式即可求得要求的量． 【详解】解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加 5件， ∴降价之前的日销量为件， ∴日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价）， ∴售价为440元时，日销量件， 故答案为：190． 【点睛】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 【答案】(1)300页 (2)需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少 (3)；m与n成反比例关系； 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，读懂表格中的数据． （1）根据每天看的页数乘以时间即可得出结论； （2）由表中的数据可得需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）根据总页数，表示每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系即可；根据关系式判断每天看的页数与需要的天数之间的比例关系即可． 【详解】（1）解：这本书共有（页） 答：这本书有300页； （2）解：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； 答：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）解：每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系为：； 故答案为：； 可以得出：m与n成反比例关系； 【经典例题七 用关系式表示变量间的关系】 【例7】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】直接利用油箱中的油量总油量耗油量进而得出x与y的关系式，再求出的求值范围，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达式是解题关键． 2．（23-24八年级下·河南焦作·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ． 【答案】23.5 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长，由此可得与的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律． 【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长， ∴与的关系式为． 当所挂物体的质量为时，即时， 故答案为：23.5． 3．（24-25八年级下·四川资阳·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【答案】(1)凳子的数量是自变量，高度是因变量 (2) (3)个 【分析】（）根据表格中列举的变量即可求解； （）根据表格中数据变化规律求解即可； （）根据（）中的函数关系式，把代入求解即可； 本题考查了常量与变量，函数的表示方法，求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义并根据表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，， 即； （3）解：当时，， 解得， 答：当这摞凳子的高度为时，凳子的数量为个． 【经典例题八 用图象表示变量间的关系】 【例8】（23-24八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义； 根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误； 小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误； 故选：B． 1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案． 【详解】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误； B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误； C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确； D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 3．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】(1)图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量 (2)； (3)当点在上运动时；当点在上运动时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 【详解】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，熟练掌握用图象表示变量之间的关系是解题关键．运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面，由此即可得． 【详解】解：因为运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面， 所以铅球的高度先随着水平距离的增大而增大，在取得最大值后，再随着水平距离的增大而减小， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“4名教师”及“成人票每张15元，学生票每张10元”列式，即可求解． 本题考查了实际问题中列函数关系式，解题的关键是：理解题意列出正确的函数关系式． 【详解】解：根据题意列式：， 故选：D． 3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 (   ) A．r是常量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S， π， r都是变量 【答案】B 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解，掌握其概念是解题的关键． 【详解】解：A、r是自变量，故选项不符合题意； B、π是常量，故选项符合题意； C、S是因变量，故选项不符合题意； D、π是常量，故选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查的是求自变量，理解函数关系式的含义是解本题的关键； 把代入函数解析式，可得答案． 【详解】解：把代入函数解析式， 可得：， 解得：， ∴当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是千米； 故选：A． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级下·安徽·期末）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由分式的分母不能等于0得：， 解得， 所以函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 9．（24-25八年级下·重庆江津·期末）某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数与入库所需的天数之间关系如下表： 每天入库吨数 500 250 100 50 … 入库所需天数 1 2 5 10 … 用式子表示与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，理解表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值的变化规律是正确解答的关键． 根据表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值的变化规律进行解答即可． 【详解】解：由表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值可得，，即入库的天数d与每天入库的吨数v的乘积相等， 所以入库的天数d与每天入库的吨数v成反比例关系， 设，所以， 所以入库的天数d与每天入库的吨数v的关系式为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·重庆酉阳·阶段练习）如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律探究，用坐标表示位置，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可推导一般性规律为：第行，最后一个数是，将代入求解即可； （2）根据规律估算出所在的行，然后再根据上一行最后一位即可得出的位置． 【详解】（1）解：由题意知，第1行，最后一个数是； 第2行，最后一个数是； 第3行，最后一个数是； 第4行，最后一个数是； … ∴ 可推导一般性规律为：第行，最后一个数是， ∴第8行的最后一个数是， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，最后一个数是； 当时，最后一个数是； ∵， ∴位于第行， ∵第行第一个数字为， ∴为第行第5个数字， ∴的位置是， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）求下列函数当时的函数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键：当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值． （1）将代入函数解析式求值即可； （2）将代入函数解析式求值即可； （3）将代入函数解析式求值即可； （4）将代入函数解析式求值即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ； （4）解：当时， ． 12．（24-25八年级下·四川内江·期末）在高速公路上，潮州到广州的距离约为420千米，如果行驶速度为（千米/小时），行驶时间为（小时），完成下面填空： (1) 速度v（千米/小时） 60 70 80 时间t（小时） 7 6 4.2 (2)用式子表示v与t之间的关系：___________，v与t成___________比例关系． 【答案】(1)见详解 (2)；反 【分析】本题主要考查了反比例函数关系式的辨别，用式子表示变量之间的关系，以及有理数除法的应用等知识． （1）根据速度，时间和路程之间的关系填表即可． （1）根据速度，时间和路程之间的关系列出关系式，根据反比例的定义判断即可． 【详解】（1）解：（小时），（千米/小时）， 故表格如下： 速度v（千米/小时） 60 70 80 100 时间t（小时） 7 6 5.25 4.2 （2）解：v与t之间的关系为：，v与t成反比例关系． 故答案为：；反 13．（24-25八年级下·全国·单元测试）在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 【答案】(1)反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量 (2)水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定 (3)时间每增加，水的温度增加，到时恒定 (4)为了节约能源，应在后停止烧水 【分析】本题主要考查了常量与变量，根据表格中数据分别分析得出是解题关键． （1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断； （2）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （3）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （4）根据表格中数据得出答案即可． 【详解】（1）解：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量， 答：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量； （2）解：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定， 答：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定； （3）解：时间每增加，水的温度增加，到时恒定， 答：时间每增加，水的温度增加，到时恒定 （4）解：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水， 答：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水． 14．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1)（或）的长，长方形的面积． (2)； (3)长方形的面积从变到． 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图所示，梯形的上底长是x，下底长是15，高是8． (1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？ (2)用表格表示y与x的关系，完成表格中（    ）的相应值． 上底长x … 10 （    ） 18 20 … 梯形面积y … 100 120 （    ） 140 … (3)y如何随x的变化而变化？ (4)当x＝0时，y等于什么？此时它表示的图形是什么？ 【答案】(1)y=4x+60； (2)见解析； (3)当x每增加1时，y增加4； (4)当x=0时，y=60；此时它表示的图形是三角形． 【分析】（1）根据梯形的面积公式，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据一次函数的性质，可得答案； （4）根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）梯形面积y与上底长x之间的关系式y=（x+15）×8÷2=4x+60； （2）4x+60=120， 解得x=15； y=4×18+60=132； 填表如下： 上底长x … 10 15 18 20 … 梯形面积y … 100 120 132 140 … （3）当x每增加1时，y增加4； （4）当x=0时，y=4×0+60=60；此时它表示的图形是三角形． 【点睛】本题考查了函数值，利用梯形的面积公式得出函数关系式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 变量与函数重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数的三种表示方法 题型六 用表格表示变量间的关系 题型七 用关系式表示变量间的关系 题型八 用图象表示变量间的关系 知识点01 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点02 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点03 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）假期小战一家自驾游黑龙江省，爸爸开车到加油站加油，小战发现加油机上的数据显示牌金额随着油量的变化而变化，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则下列判断正确的是（    ） 178.00 金额/元 20.00 油量/升 8.90 单价/（元/升） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．178和20是常量 D．金额是油量的函数 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 3．（2024八年级下·全国·专题练习）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势： 年份 … 入学儿童人数 … (1)上表中_____是自变量，_____是因变量； (2)你预计该地区从_____年起入学儿童的人数不超过人． 【经典例题二 函数解析式】 【例2】 （23-24八年级下·河南驻马店·期末）一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为 ． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 3．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）某超市出售一种散装花生，其售价y（元）与花生质量x（千克）之间的关系如表： 质量x/千克 1 2 3 4 … 售价y/元 … 其中售价中的0.2元是包装袋的价钱． (1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？ (2)求出售6千克花生时的售价； (3)求出y与x之间的函数表达式． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（    ） A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．当与时，函数值相等 D．当时， 2．（23-24八年级下·四川内江·期中）周长为10cm的等腰三角形，底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系为 自变量的取值范围： 3．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 1．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 2．（2024·福建莆田·三模）已知，且满足表示不超过的最大整数），则的值可以为 ． 3．（24-25八年级下·山西长治·期末）规定：对于关于的函数，当，若，则称：当时，是的增函数；反之，若，则称：当时，是的减函数． 例如，证明关于的函数在范围内为减函数． 令， 则 ， ，，． ．即． 所以，在范围内为减函数． 请完成下面问题： (1)当时，为________函数（增、减或者不确定）； (2)判断关于的函数在范围内的增减性，并说明理由． 【经典例题五 函数的三种表示方法】 【例5】（23-24八年级下·广西桂林·期末）下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 9 2 1 0 ﹣7 ﹣26 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（  ） A．76 B．﹣74 C．126 D．﹣124 2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是 ． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 (3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 【经典例题六 用表格表示变量间的关系】 【例6】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 【经典例题七 用关系式表示变量间的关系】 【例7】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 2．（23-24八年级下·河南焦作·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ． 3．（24-25八年级下·四川资阳·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【经典例题八 用图象表示变量间的关系】 【例8】（23-24八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 3．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 (   ) A．r是常量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S， π， r都是变量 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 6．（24-25八年级下·安徽·期末）函数的自变量x的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 9．（24-25八年级下·重庆江津·期末）某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数与入库所需的天数之间关系如下表： 每天入库吨数 500 250 100 50 … 入库所需天数 1 2 5 10 … 用式子表示与的关系为 ． 10．（24-25八年级下·重庆酉阳·阶段练习）如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）求下列函数当时的函数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级下·四川内江·期末）在高速公路上，潮州到广州的距离约为420千米，如果行驶速度为（千米/小时），行驶时间为（小时），完成下面填空： (1) 速度v（千米/小时） 60 70 80 时间t（小时） 7 6 4.2 (2)用式子表示v与t之间的关系：___________，v与t成___________比例关系． 13．（24-25八年级下·全国·单元测试）在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 14．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图所示，梯形的上底长是x，下底长是15，高是8． (1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？ (2)用表格表示y与x的关系，完成表格中（    ）的相应值． 上底长x … 10 （    ） 18 20 … 梯形面积y … 100 120 （    ） 140 … (3)y如何随x的变化而变化？ (4)当x＝0时，y等于什么？此时它表示的图形是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$