湖南省长沙市北雅中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷

2024 春季九年级入学考试答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A C B A C A D 11． ( 5)( 5)a a  12．－5 13．15π 14．1 15．y=9/x 16．3 17．-1 18. 1 2x  ， 1 6 【分析】先将括号内式子通分，再约分化简，最后将 4x  代入求值即可． 【详解】解： 2 2 2 1 1 1 1 11 1 4 4 1 1 1 4 2 4 1 ( 2) 2 x x x x x x x x x x x x x x                        ， 将 4x  代入得， 原式 1 1 1 2 4 2 6x      ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和完全平方公式是解题的关键． 19．(1)斜坡 AB的长约为10.8m； (2)梯形 ABCD的周长为 66.8m． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用： （1）直接利用坡度的定义得出 BF的长，再利用勾股定理得出答案； （2）直接利用坡度的定义得出 EC的长，再利用勾股定理得出DC，进而得出答案． 【详解】（1）解：斜面 AB的坡度 1:1.5i  ， 6mAF DE  ， : 1:1.5AF BF  ， 6 : 1:1.5BF  ， 9mBF  ，  2 26 9 3 13 10.8 mAB     ， 答：斜坡 AB的长约为10.8m； （2）解：斜面CD的坡度 1: 3i  ， 6mDE  ， : 1: 3DE EC  ， 解得： 18mEC  ，  2 26 18 6 10 18.96 mDC     ， 梯形 ABCD的周长为：  10.83 18.96 5 9 5 18 66.8 mAB AD DC BC          ， 答：梯形 ABCD的周长为66.8m． 20.20 36 【解析】解：(1)调查的总人数为：3÷ 15% = 20(人)， 故答案为：20； (2)360∘ × (1 − 50%− 25%− 15%) = 36∘， 答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36∘； 故答案为：36； (3)�等级的人数有：20 × 25% = 5(人)， C等级的女生人数有：5 − 2 = 3(人)， D等级的男生人数有：20 − (1 + 2 + 6 + 4 + 5 + 1) = 1(人)， 补全统计图如下： (4)由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有 6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同 学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有 3种． 所以�(所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学) = 36 = 1 2 . 21.【答案】(1)证明：∵四边形 ABCD是菱形， ∴ �� ⊥ ��，�� = ��，�� = ��， ∵ �� = ��， ∴ �� + �� = �� + ��， 即�� = ��， ∵ �� = ��，�� = ��， ∴四边形 EBFD是菱形； (2)解：∵四边形 EBFD是菱形，�� = 10，�� = 24， ∴菱形 EBFD的面积= 12�� ⋅ �� = 1 2 × 10 × 24 = 120. 【解析】(1)根据菱形的性质得到�� ⊥ ��，�� = ��，�� = ��，推出�� = ��，根据菱形 的判定定理即可得到结论； (2)根据菱形的面积公式即可得到答案． 本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 22．(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要 65元 (2)最多可购进乙型头盔120个 (3)能，详见解析 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔m个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求 得乙型头盔m的最大值； （3）根据利润 单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔m的取值范围，结合（2）中答 案确定m的取值范围，即可得出可选方案． 本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解， 同时注意在确定方案时所设未知数应取整数． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要 x元，购进1个乙型头盔需要 y元． 根据题意，得 8 6 630 6 8 700 x y x y      ， 解得， 30 65 x y    ； 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； （2）解：设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔  200 m 个， 根据题意，得：  65 30 200 10200m m   ， 解得： 120m  ， m 的最大值为120； 答：最多可购进乙型头盔120个； （3）解：能， 根据题意，得：     58 30 200 98 65 6190m m     ； 解得： 118m  ； 118 120m   ； m 为整数， m 可取118，119或120，对应的 200 m 的值分别为82，81或80； 因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个； ②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个； ③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个． 23.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10． 【分析】（1）连接 OA，由 OP垂直于 AB，利用垂径定理得到 D为 AB的中点，即 OP垂直 平分 AB，可得出 AP=BP，再由 OA=OB，OP=OP，利用 SSS得出三角形 AOP与三角形 BOP 全等，由 PA为圆的切线，得到 OA垂直于 AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定 义得到 OB垂直于 BP，即 PB为圆 O的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形 AOD与三角形 OAP相似，由相似得比例， 列出关系式，由 OA为 EF的一半，等量代换即可得证． 【详解】（1）连接 OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°． ∵OA=OB，BA⊥PO于 D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB． 又∵PO=PO， ∴△PAO≌△PBO． ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴直线 PA为⊙O的切线． （2）由（1）可知， 90OAP  ， FE AB ， 90ADO  ， OAP ADO   =90 ， DOA AOP   ， AOD POA△ ∽△ ， OD OA OA OP   ，即 2OA OD OP  ， EF 是 O 直径， OE 是 O 半径 1 2 OE OA EF   ， 2OA OD OP  ， 21 2 EF OD OP       ， 整理得 2 4EF OD OP  ； （3） O 是 AC中点，D是 AB中点， OD 是 ABCV 的中位线， 1 2 OD BC  1 6 2   3 ， AB EF ， 90ADF  ， ADF 是直角三角形， 在 Rt ADF 中， 1tan 2 F  ， 1tan 2 ADF FD    ， 2FD AD  ， FD OF OD  ， OF FD OD   ，则 2 3OF AD  ， OF 、OA是 O 半径， 2 3OA OF AD    ， 在Rt AOD△ 中， 3OD ， 2 3OA AD  ， 由勾股定理得： 2 2 2OA OD AD  ，即 2 2 2(2 3) 3AD AD   ， 解得： 4AD 或 0AD  （舍去）， 2 3OA AD   2 4 3   5 ， 2AC OA  2 5  10 ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数 关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 24【答案】(1)0或 2或 1 4  (2)①6，②存在， 16 3 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候， 按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 a值． （2）①根据A和 B的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 P，从而求出PH 长度，再利用A和 B的坐标点即可求出 BC的直线解析式，结合 F Px x 即可求出 F 点坐标， 从而求出 PF长度，最后利用面积法即可求出 PBC 的面积． ②观察图形，用m值表示出点 P坐标，再根据平行线分线段成比例求出OD长度，利用割补 法表示出 1S 和 2S ，将二者相减转化成关于m的二次函数的顶点式，利用m取值范围即可求 出 1 2S S 的最小值． 【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，    22 1 0a x a x b      ， 4a b ，    22 1 0 4 aa x a x      ， 当函数为一次函数时， 2 0a   ， 2a  ． 当函数为二次函数时，    22 1 0 4 aa x a x     ， 若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，即与 x轴， y轴分别只有一个交点时，    22 4 1 4 2 4 1 0 4 ab ac a a a           ， 1 4 a   ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点， 即其中一点经过原点， 0b  ， 4a b ， 0a  ． 综上所述， 2a  或 0． 故答案为：0或 2或 1 4  ． （2）解：①如图所示，设直线 l与 BC交于点 F ，直线 l与 AB交于点 H ． 依题意得： 2 10 20 28 a b a b      ，解得： 1 8 a b    抛物线的解析式为： 2 22 8 ( 1) 9y x x x        ． 点 P为抛物线顶点时， (1,9)P ， (0,8)C ， 9PH  ， 1Px  ， 由  4,0B ，  0,8C 得直线BC的解析式为 2 8y x   ， F 在直线 BC上，且在直线 l上，则 F 的横坐标等于 P的横坐标，  1,6F ， 6FH  ， 1OH  ， 9 6 3PF PH FH      ， 4 1 3BH OB OH     1 1 1 1S S S 3 1 3 3 6 2 2 2 2PBC PFC PFB P x OH HB PF                ． 故答案为：6． ② 1 2S S 存在最大值，理由如下： 如图，设直线 x m 交 x轴于 H ． 由①得： 4OB  ， 2AO  ， 6AB  ， 8OC  ， 2AH m  ，  2, 2 8P m m m   2 2 8PH m m     ， OD x ， PH AB ， OD PH ∥ ， AO OD AH PH   ， 即 2 2 2 2 8 OD m m m      ， 8 2OD m   1S S S SPAB AOD EDOB    四边形 ， 2S S SOBC EDOB  四边形 ，    2 2 1 2 6 2 8 2 8 2 4 8S S S S S 3 8 2 2 2PAB AOD OBC m m m m m                   ， 2 1 2 4 16S S 3 3 3 m          ， 3 0 Q ，0 4m  ， 当 4 3 m  时， 1 2S S 有最大值，最大值为 16 3 ． 故答案为： 16 3 ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积 问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次 函数最值问题． 25．【答案】（1）cos∠ABC=3/5， 12 25 ；（2）四边形 ABCD是对余四边形，证明见解析；（3） u＝ 2 t （0＜t＜4）． 【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出 sin∠CAD的值． （2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理 来证明四边形 ABCD为对余四边形． （3）过点 D作 DH⊥x轴于点 H，先证明△ABE∽△DBA，得出 u与 AD的关系，设 D（x， t），再利用（2）中结论，求出 AD与 t的关系即可解决问题． 【详解】解：（1）过点 A作 AE⊥BC于 E，过点 C作 CF⊥AD于 F． ∵AC＝AB， ∴BE＝CE＝3，cos∠ABC=3/5 在 Rt△AEB中，AE＝ 2 2 2 25 3 4AB BE    ， ∵CF⊥AD， ∴∠D+∠FCD＝90°， ∵∠B+∠D＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB∽△DFC， ∴ EB AB CF CD  ， ∴ 3 5 4CF  ， ∴CF＝ 12 5 ， ∴sin∠CAD＝ 12 125 5 25 CF AC   ． （2）如图②中，结论：四边形 ABCD是对余四边形． 理由：过点 D作 DM⊥DC，使得 DM＝DC，连接 CM． ∵四边形 ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠DCM＝∠DMC＝45°， ∵∠CDM＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠BDM， ∵AD＝DB，CD＝DM， ∴△ADC≌△BDM（SAS）， ∴AC＝BM， ∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2， ∴CM2+CB2＝BM2， ∴∠BCM＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∴∠DAB+∠DCB＝90°， ∴四边形 ABCD是对余四边形． （3）如图③中，过点 D作 DH⊥x轴于 H． ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2）， ∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝ 2 2 ， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵四边形 ABCD是对余四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝45°， ∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠ACE＝∠ADE， ∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°， ∴∠EAB＝∠ACE， ∴∠EAB＝∠ADB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴ BE AE AB AD  ， ∴ AE AD BE AB  ∴u＝ 4 AD ， 设 D（x，t）， 由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2， ∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2， 整理得（x+1）2＝4t﹣t2， 在 Rt△ADH中，AD＝ 2 2 2 2( 1) 2AH AD x t t     ， ∴u＝ 4 AD ＝ 2 t （0＜t＜4）， 即 u＝ 2 t （0＜t＜4）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相 似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助 线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 试卷第 1页，共 4页 2025 年春季九年级入学练习试卷 数学科目 命题人：万瀚文 审题人：张丽宏 考生注意：本练习共 3 道大题，25 道小题，满分 120 分，时量 120 分钟. 一、选择题（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.−2025的相反数是（ ） A.− 2025 B. − 12025 C. 1 2025 D. 2025 2．下列几何体中，俯视图的形状为圆的是（ ） A． B． C． D． 3．近年来，我国持续加大对铁路行业的投资力度，《中长期铁路网规划》提出，到 2025年， 铁路网规模达到175000千米左右，其中高速铁路 3.8万公里左右，数据“175000千米”用科学 记数法表示为（ ） A． 51.75 10 千米 B． 61.75 10 千米 C． 81.75 10 千米 D． 91.75 10 千米 4．某校有 21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前 11名参加决赛，小颖已经知道 了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这 21名同学成绩的（ ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最高分 5.下列计算中，正确的是（ ） A. �3 ⋅ �5 = �15 B. 2� + � = 2�� C. (�3�)2 = �6�2 D. (� + 2)2 = �2 + 4 6．如图，a b∥ ，将一块直角三角板的30角的顶点放在直线b上，若 1 46  ，则 2 的度 数是（ ） A．76 B．104 C．106 D．114 第 6题图 第 10题图 7．正多边形的一个外角等于 60°，则这个正多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．4 试卷第 2页，共 4页 8.下列函数中，当� > 0时，y随 x的增大而增大的是( ) A. � =− 3� B. � =− � + 4 C. � =− 5� D. � = 1 2� 9．某工厂计划生产 210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的 1.5 倍，因此提前 5天完成任务.设原计划每天生产零件 x个，依题意列方程为（ ） A． 210 210 5 1.5x x   B． 210 210 5 1.5x x    C． 210 210 5 1.5 x x    D． 210 2101.5 5 x   10.如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与 x轴的交点 A在点（2， 0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b） （m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ） A．③④⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共 6 道小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．因式分解： 2 25a   ． 12．分式 5 5   x x 的值为 0．则 x 的值为 ． 13．一个圆锥高为 4，母线长为 5，则这个圆锥的侧面积为 ． 14．如图，点 A，B，C在半径为 2的 O 上， 60ACB  ，OD AB ，垂足为 E，交 O 于 点 D，连接OA，则OE的长度为 ． 第 14题图 第 15题图 15．如图，点 A在反比例函数 4y x  的图象上，过点 A作 AB⊥x轴于点 B， AC y 轴于点 C，以 O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB A C  ，且相似比为 2 : 3，则经过点 A 的反比例函数表达式为 ． 16．在“双减”政策下，我校开展了丰富多彩的兴趣小组和社团活动．活动中小民邀请小刚 玩“你想我猜”的游戏，游戏规则是： 第一步：请小刚在心中想一个喜欢的数字，并记住这个数字； 第二步：把喜欢的数字乘以 2再加上 6，得到一个新的数； 第三步：把新得到的数除以 2，写在纸条上交给小民． 小民打开纸条看到数字 6，马上就猜出了小刚喜欢的数，这个数是______. 试卷第 3页，共 4页 三、解答题（本大题共 9 道小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、 23 题每小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 分） 17．计算：   1 0 12023 2sin 45 2 2            . 18．先化简，再求值： 2 1 11 1 4 4 x x x x        ，其中 4x  ． 19．如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面 AB的坡度 1:1.5i  ，斜面CD的坡度 1:3i  ， 根据图中数据，求： (1)斜坡 AB的长（结果保留小数点后一位）； (2)梯形 ABCD的周长（结果保留小数点后一位）．（参考数据： 3 1.73 ， 10 3.16 ， 13 3.61 ） 20.为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的 跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查 结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)此次调查的总人数为______； (2)扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______ ∘； (3)请将条形统计图补充完整； (4)为了共同进步，何老师准备从被调查的 A类和 D类学生中各随机抽取一位同学进行“一 帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 21．如图，将菱形 ABCD的对角线 AC向两个方向延长，分别至点 E和点 F，且使�� = ��. (1)求证：四边形 EBFD是菱形； (2)若菱形 EBFD的对角线�� = 10，�� = 24，求菱形 EBFD的面积． 22．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市， 做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头 盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个 甲型头盔和8个乙型头盔需要700元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进 200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型 头盔多少个？ 试卷第 4页，共 4页 (3)在  2 的条件下，若该商场分别以58元 /个、98元 /个的价格销售完甲，乙两种型号的头 盔 200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能， 请说明理由． 23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是 O 的直径，过圆心O的直线PF AB 于D，交 O 于 ,E F， PB是 O 的切线， B为切点，连接 AP， AF ． （1）求证：直线 PA为 O 的切线； （2）求证： 2 4EF OD OP  ； （3）若 6BC  ， 1tan 2 F  ，求 AC的长． 24．已知： y关于 x的函数    22 1y a x a x b     ． (1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且 4a b ，则 a的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与 x轴有两个公共点  2,0A  ，  4,0B ，并与动直线 : (0 4)l x m m   交于点 P，连接 PA， PB， PC， BC，其中 PA交 y轴于点D，交 BC于 点 E．设 PBE△ 的面积为 1S ， CDE 的面积为 2S ． ①当点 P为抛物线顶点时，求 PBC 的面积； ②探究直线 l在运动过程中， 1 2S S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在， 说明理由． 25．【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图①，对余四边形 ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4， 连接 AC．若 AC＝AB，求 cos∠ABC，sin∠CAD的值； （2）如图②，凸四边形 ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当 2CD2+CB2＝CA2时，判断四边 形 ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点 A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形 ABCD是对余 四边形，点 E在对余线 BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设 AE BE ＝u，点 D 的纵坐标为 t，请直接写出 u关于 t的函数解析式．