精品解析：甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高三上学期第五次月考（期末）数学试题

平凉一中2025届高三第五次月考试题（卷） 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的运算先求，再求即可. 【详解】因为，，故，故. 故选:A. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，再求得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 3. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，焦点到渐近线的距离为，说明，则， ∴双曲线的方程为 故选:B 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用完全平方公式、二倍角公式、同角三角函数平方关系及由三角函数值判断角的范围可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：A. 5. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 6. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】过点倾斜角为的直线方程为：，即， 则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得：， 整理可得： 则：. 本题选择B选项. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 7. 若函数在时取得极小值，则的极大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表，可得答案. 【详解】由函数，求导可得， 由题意可得，则，解得， 所以，则， ，令，解得或， 可得下表： 极大值 极小值 则函数的极大值为. 故选：D. 8. 已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算. 【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差， 若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，即，则； 若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，，即， 则， 综上可得：的取值范围是， 故选:B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线及圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线截圆所得弦长最小值为2 C. 存在，使得直线与圆相切 D. 存在，使得圆关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当时，直线截圆所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点在圆内，故C错误；D选项，当直线过圆心时，满足题意，代入计算即可. 【详解】A选项，由， 得，解得，所以直线过定点为，故A正确； B选项，由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为， 当时，直线截圆所得弦长最短，因为， 则最短弦长为，故B正确； C选项，，故点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误； D选项，当直线过圆心时，满足题意，此时，解得， 故D正确. 故选：ABD. 10. 为函数的导函数，记为，依次类推，，已知，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 存在，使得在上单调递增 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的定义，列举发现数列的的周期性，再结合选项即可判断. 【详解】由题意可知，，，，，，， 所以数列的周期为4，，故A正确； 因为，且数列的周期为4，所以，故B错误； 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递减， 当时，，为常数列， 所以存在时，在上单调递增，故C正确； 由C选项可知，当时，，值域为，不满足，故D错误. 故选：AC 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将换为方程不变，换为方程不变，换为，换为方程不变，换为，换为方程不变，可知有四条对称轴；对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，求最大值即可；对于C，设距离为，，即求的最大值即可；对于D，易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于即可判断. 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得. 故答案为： 13. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，. 因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出. 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探求点在平面内的投影的轨迹，确定当三棱锥体积最小时点的位置，进而可得并求出外接球半径，求出球的表面积. 【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且， 则，，，于是， 以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 令，由，，得，，， 则，化简得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，，， 因此点在底面上的射影在上，且，又， 显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点， 外接球的半径，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球半径即可. 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 记数列的前项和为，且.数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和： 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式，即可求解，再根据条件，代入等比数列的基本量，即可求解数列的通项公式； （2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 验证当时，，成立， 所以， 设等比数列的首项为，公比为， 所以，得，， 则； 【小问2详解】 ， 所以 . 16. 在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. （1）求的值； （2）求的周长； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，根据，解得． （2）由余弦定理，建立方程 ，根据，，互不相等，求得，即可求出周长． （3）由，得，应用二倍角的三角函数求得，应用两角和差的三角函数求. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，，， 可得， 因为，所以，即， 显然，解得． 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得，解得或． 由已知，，互不相等，所以， 所以． 【小问3详解】 因为，所以， 所以，， 所以. 17. 已知四棱柱如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面内的投影为点，． （1）求证：平面平面； （2）已知点E在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值及直线BE与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 不妨设， 因为平面平面， 故， 在中，， 由余弦定理得 ， 得，故， 则， 因为平面， 所以平面， 而平面， 所以平面平面； （2）， 【解析】 【分析】（1）不妨设，由余弦定理得、勾股定理得，再由面面垂直的判定定理可得答案； （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的一个法向量，由面面角的向量求法求出，再由线面角的向量求法可得答案.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， 故， ，所以， 设，则， 即， 所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，解得，故， ， ， 设与平面所成角为， 则. 18. 平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点. （1）求曲线的方程； （2）若在轴上方，，求直线的斜率； （3）若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出方程化简即可； （2）设，设，与的方程联立，由，有，结合韦达定理求出，得直线的斜率； （3）延长，交椭圆于点，四边形的面积，设，利用韦达定理结合基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 由题意， 两边平方得，化简得， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 ，即，则直线的斜率是正数， 设，直线的斜率为， 设，联立， 化简得，所以， 由题意知， 代入，消，可得， 解得，所以直线的斜率是； 【小问3详解】 延长，交椭圆于点， ，由对称性可知，和等底等高，， 四边形的面积， 设，由（2）知， 所以，即， 令，所以， 当且仅当即时，取到最大值，此时分别在正上方. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围； （3）已知，若，且满足，使得，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明， 又因为，即证， 令， 即， 注意到， 因为， 则在上单调递减，所以在恒成立， 所以，即满足. 【解析】 【分析】（1）当时，，求导，根据导数的几何意义可得，由两点式可得切线的方程． （2）问题可转化为，对求导，分析单调性，求出得最大值，使得它小于等于，进而可得的取值范围． （3）问题转化为只需证明，由，，且函数在上单调递增，推出只需证明，也即，再构造函数，利用的单调性，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，，所以，得到， 又，所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2025届高三第五次月考试题（卷） 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在时取得极小值，则的极大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线及圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线截圆所得弦长最小值为2 C. 存在，使得直线与圆相切 D. 存在，使得圆关于直线对称 10. 为函数的导函数，记为，依次类推，，已知，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 存在，使得在上单调递增 D. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 13. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________. 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 记数列的前项和为，且.数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和： 16. 在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. （1）求的值； （2）求的周长； （3）求的值. 17. 已知四棱柱如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面内的投影为点，． （1）求证：平面平面； （2）已知点E在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值及直线BE与平面所成角的正弦值． 18. 平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点. （1）求曲线的方程； （2）若在轴上方，，求直线的斜率； （3）若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围； （3）已知，若，且满足，使得，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $