2025年重庆市中考数学二轮复习课件：二次函数综合

二次函数综合 　　二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何 图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似 三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型 常涉及以下问题：①求抛物线、直线的函数解析式；②求点的坐标、线段长度、 图形面积；③探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题. 专题解读 　　例　（2024八中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－4过点 （2，－4）且交x轴于点A（4，0），B两点，交y轴于点C. 典例剖析 （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，点D是线段OC的中点，连接AD，点P是直线AD下方抛物线 上的一动点，连接AP，BP，且BP交AD于点M，求 的最大值及此时点P的 坐标； （3）如图3，点F为y轴正半轴上一点，且满足OF＝AB，将该抛物线沿射 线AD方向平移后的新抛物线过点（0，1），顶点与对称轴的交点为H，点E为新 抛物线对称轴在x轴上方的一点，作射线EO，射线EF. 是否存在点E，使得射 线EO，EF中一条射线平分另一条射线与新抛物线对称轴组成的角？若存在，请 写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程. 【答案】解：（1）把（2，－4）和（4，0）代入y＝ax2＋bx－4， 可得 故抛物线的函数解析式为y x2－x－4. （2）把x＝0代入y x2－x－4，得y＝－4，∴C（0，－4） ∵点D是线段OC的中点，∴D（0，－2）， 则易得直线AD的函数解析式为y x－2. 如图，过点P作PQ∥x轴，交直线AD于点Q. 设点P的坐标为（m m2－m－4）， 则点Q的坐标为（m2－2m－4 m2－m－4）， ∴PQ＝xp－xQ＝－m2＋3m＋4. ∵PQ∥x轴，∴△AMB∽△QMP，∴ . 令y＝0，则 x2－x－4＝0可求出B（－2，0），∴AB＝6， 则 整理，得 － m2 . 联立 解得 或 ∵点P是直线AD下方抛物线上的一动点， ∴－1＜m＜4， ∴ － m2 － （m－2 （－1＜m＜4）， ∴当m 时 取得最大值，此时P（ － . （3）存在. 抛物线y x2－x－4 （x－1）2－ . ∵OA＝4，OD＝2，∴ 2. 设抛物线沿射线AD向左平移2n个单位长度，则向下平移n个单位长度， ∴设新抛物线的函数解析式为y （x－1＋2n）2－ －n， 把（0，1）代入，得 （2n－1）2－ －n＝1， 解得n1 n2＝－1（不合题意，舍去）， ∴新抛物线的函数解析式为y （x＋4）2－7. ∵点E为新抛物线对称轴在x轴上方的一点，∴设点E的坐标为（－4，a）. ①若EF平分∠OEG，则∠OEF＝∠GEF. ∵GE∥y轴，∴∠GEF＝∠EFO＝∠OEF， ∴OE＝OF. ∵AB＝OF＝6，∴OE＝6， 即 6， 解得a1＝2 a2＝－2 （不合题意，舍去）， ∴E（－4，2 . ②若OE平分∠FEH，则∠OEF＝∠OEH. ∵EH∥y轴，∴∠OEH＝∠EOF＝∠OEF， ∴EF＝OF＝6，∴ 6， 解得a1＝6＋2 a2＝6－2 ∴E（－4，6＋2 或E（－4，6－2 . 综上所述，符合条件的点E的坐标为（－4，2 或（－4，6＋2 或 （－4，6－2 . 1. （2024重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4 （a≠0）经过点（－1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点 B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4. 针对训练 （1）求抛物线的函数解析式； 解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4）， ∴OC＝4.∵tan∠CBA＝4，∴ 4，∴OB＝1，∴B（1，0）. 将（1，0）和（－1，6）代入y＝ax2＋bx＋4，得 解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2－3x＋4. （2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交 AC于点D. 点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的 中点，连接AM，NF. 当线段PD长度取得最大值时，求AM＋MN＋NF的最小值； 解：（2）令y＝0，则0＝－x2－3x＋4， 解得x＝－4或x＝1，∴A（－4，0），设直线AC的函数解析式为y＝mx＋4， 代入A（－4，0），得0＝－4m＋4， 解得m＝1，∴直线AC的函数解析式为y＝x＋4. 设P（p，－p2－3p＋4）（－4＜p＜0）， 则D（p，p＋4）， ∴PD＝－p2－3p＋4－（p＋4） ＝－（p＋2）2＋4. ∵－1＜0，∴当p＝－2时，PD最大，此时P（－2，6）， ∴AE＝2，MN＝OE＝2，E（－2，0）， ∴AE＝MN，AE∥MN. 如图1，连接EN， 则四边形AMNE是平行四边形，∴AM＝EN， ∴AM＋MN＋NF＝EN＋MN＋NF≥MN＋EF， 图1 ∴当E，N，F三点共线时，EF取得最小值，即AM＋MN＋NF取得最小值. ∵点F为线段BC的中点， ∴F（ 2）， ∴EF ∴AM＋MN＋NF的最小值为 2. （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取 得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K. 点Q为新抛物线上的一个动 点，当∠QDK＝∠ACB时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 解：（3）由（2）得点D的横坐标为－2，代入y＝x＋4， 解得y＝2， ∴D（－2，2）， ∴新抛物线由y＝－x2－3x＋4向左平移2个单位长度， 向下平移2个单位长度得到， ∴y'＝－（x＋2）2－3（x＋2）＋4－2＝－x2－7x－8. 如图2，过点D作DQ1∥BC交抛物线y'于点Q1，则∠Q1DK＝∠BCA. 同理求得直线BC的解析式为y＝－4x＋4. ∵DQ1∥BC，∴直线DQ1的解析式为y＝－4x－6. 令－4x－6＝－x2－7x－8，解得x＝－1或x＝－2（舍去）. 图2 当x＝－1时，y＝－2，∴Q1（－1，－2）， 如图2，过点D作DQ1关于直线AC对称的直线DQ2，交 抛物线y'于点Q2，∴∠Q2DK＝∠Q1DK＝∠BCA. 设DQ1交x轴于点G，在DQ2上截取DG'＝DG. 过点D作DR∥x轴，作DH⊥x轴于点H，过点G'作G'H'⊥DR于点H'. 当y＝0时，0＝－4x－6，解得x＝－ ∴G（－ 0）. ∵A（－4，0），C（0，4），∴OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°.∵DR∥x轴， ∴∠RDA＝∠DAH＝∠ADH＝45°，∴∠G'DH'＝∠GDH. 图2 ∵∠G'H'D＝∠GHD＝90°，DG'＝DG， ∴△G'DH'≌△GDH，∴G'H'＝GH＝2－ DH'＝DH＝2， ∴G'（－4 同理可得直线DQ2的解析式为y＝－ 令－x2－7x－8＝－ 解得x＝－2或x＝－ . 当x＝－ 时，y＝－ ×（－ ∴Q2（－ . 综上所述，符合条件的点Q的坐标为（－1，－2）或（－ . 图2 2. （2024重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交 于A（－1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x . （1）求抛物线的函数解析式； 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A（－1，0），B两点，交y轴于 点C，抛物线的对称轴是直线x ∴ 解得 ∴y x2－ x－3. （2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物 线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD PE的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）如图1，延长PE交x轴于点G，过点P作PH∥y轴交BC于点H. 当y x2－ x－3＝0时，解得x1＝－1，x2＝6，∴B（6，0）. 当x＝0时，y＝－3，∴C（0，－3），∴BC 3 ∴sin∠BCO .∵PD∥x轴， ∴∠PHE＝∠BCO，∴sin∠PHE ∴PE PH，易得直线BC的解析式为y x－3. 图1 图1 设P（a a2－ a－3）（0＜a＜6）， ∴H（a a－3），∴PH＝－ a2＋3a. ∵抛物线y x2－ x－3的对称轴为直线x ∴PD＝2a－5， ∴PD PE＝2a－5 × ×（－ a2＋3a）＝－ a2＋5a－5. 当a＝－ 5时，PD PE取得最大值，最大值为 ； 此时P（5，－3）. 图1 （3）将抛物线沿射线BC方向平移 个单位长度，在PD PE取得最大值 的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的 抛物线上一点，若∠NMF－∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标. 解：（3）∵抛物线沿射线BC方向平移 个单位长度，即把抛物线向左平移2个单 位长度，再向下平移1个单位长度， ∴新的抛物线为y' x2－ x－7，F（3，－4）. 如图2，当点N在y轴的左侧时，过点N作NK⊥y轴于点K. 图2 易得直线AF的解析式为y＝－x－1.当x＝0时，y＝－1， ∴M（0，－1），∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK. ∵∠NMF－∠ABC＝45°，∴∠NMK＋45°－∠ABC＝45°， ∴∠NMK＝∠ABC，∴tan∠NMK＝tan∠ABC . 设N（n n2－ n－7），则 解得n 或 （舍去），∴N（ 4－ . 图2 如图3，当N在y轴的右侧时，过点M作y轴的垂线，过 点N'作x轴的垂线，两者交于点T. 同理可得∠N'MT＝∠ABC. 设N'（n' n'2－ n'－7），则T（n'，－1）， 同理可得 解得n'＝1 或1－ （舍去）， ∴N'（1 . 综上所述，所有符合条件的点N的坐标为（ 4－ 或（1 . 图3 图3 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2＋bx＋c与直线AB交于点A（0， －4），B（4，0）. （1）求该抛物线的函数解析式； 解：（1）将点A（0，－4），B（4，0）代入y x2＋bx＋c， 得 解得 ∴该抛物线的函数解析式为y x2－x－4. （2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点 C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC＋PD的最大值及此时点P的坐 标； 解：（2）如图，设PD交BC于点H. ∵A（0，－4），B（4，0），∴OA＝OB＝4， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°.∵PC∥OB，PD∥OA， ∴∠BCP＝∠OBA＝45°，∠PHC＝∠BHD＝∠OAB＝45°， ∴PC＝PH. 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x－4. 设P（t t2－t－4）， 则H（t，t－4），D（t，0）， ∴PC＋PD＝PH＋PD＝t－4－（ t2－t－4）＋（－ t2＋t＋4）＝－t2＋3t＋ 4＝－（t－2 ∴当t 时，PC＋PD取得最大值 此时P（ － . （3）在（2）中PC＋PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5 个单位长度，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后 的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F， M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出 求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 解：（3）由题意得，平移后抛物线的解析式为y （x＋5）2－（x＋5）－4 x2＋4x E（－ － ∴F（0 . ∵抛物线y x2＋4x 的对称轴为x＝－4， ∴设M（－4，m），N（n n2＋4n . 分情况讨论： ①当EF为对角线时，则－4＋n＝－ 解得n 此时 n2＋4n ∴N1（ ； ②当EM为对角线时， 则－ －4＝n，即n＝－ 此时 n2＋4n ∴N2（－ ； ③当EN为对角线时，则－ n＝－4，解得n＝－ 此时 n2＋4n ∴N3（－ . 综上所述，点N的坐标为（ 或（－ 或（－ . 4. （2024育才）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于 A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知OB＝2OC＝2OA，连 接BC. （1）求抛物线的函数解析式； 解：（1）当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2. ∵OB＝2OC＝2OA，∴OB＝4，OA＝2， ∴B（4，0），A（－2，0），将（4，0），（－2，0）点代入y＝ax2＋bx＋2， 得 解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－ x2 x＋2. （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥BC，垂足为 E，作PF∥BC交y轴于点F，求 PE PF的最大值及此时点P的坐标； （2）如图1，过点P作PM平行y轴交BC于点M，交x轴于点G，过点E作 EH⊥x轴于点H. 图1 ∵PG⊥OB，PE⊥BC，∠PME＝∠BMG，∴∠EPM＝∠OBC. ∵BO＝4，OC＝2，∴BC＝2 . 图1 ∵tan∠OBC cos ∠OBC＝ cos ∠EPM ∴ PE＝PM. ∵PF∥CE，CF∥PM， ∴四边形CFPM是平行四边形，∴PF＝CM. 设直线CB的解析式为y＝kx＋2，则4k＋2＝0， 解得k＝－ ∴直线BC的解析式为y＝－ x＋2. 设P（t，－ t2 t＋2）（0＜t＜4），则M（t，－ t＋2），G（t，0）. ∵MG∥OC，∴△BOC∽△BGM，∴ 即 ∴PF t，∴ PF t， ∴ PE PF＝PM PF＝－ t2＋t t＝－ （t－3）2 当t＝3时 PE PF有最大值 此时P（3 . 图1 （3）如图2，将抛物线沿射线AC的方向平移2 个单位长度得到新抛物线y1，点 Q为新抛物线y1上一动点，连接BQ并延长交AC所在的直线于点D，是否存在点 Q满足条件∠ADB＋∠ABC＝∠CAB？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3）∵AO＝CO＝2， ∴∠CAO＝45°. ∵将抛物线沿射线AC的方向平移2 个单位长度， ∴可以看作将抛物线沿x轴正半轴方向平移2个单位长度， 沿y轴正半轴方向平移2个单位长度， ∴平移后的函数解析式为y1＝－ （x－3）2 . ①当点Q在x轴下方时，∵∠ADB＋∠ABC＝∠CAB， ∴∠ABC＝∠ABD，∴AB是∠CBD的平分线，则点C关于x轴的对称点为C' （0，－2）， 设直线BC'的解析式为y＝k'x－2，则4k'－2＝0， 解得k' ∴直线BD的解析式为y x－2. 当 x－2＝－ （x－3）2 时， 解得x＝2＋2 或x＝2－2 .∴y1＝0时，x＝3± ∴点Q的横坐标为2－2 .∵A（－2，0），C（0，2）， ∴直线AC的解析式为y＝x＋2， 当x＋2 x－2时，解得x＝－8，∴D（－8，－6）. ②当点Q'在x轴上方时，设直线BQ'与直线AC交于点D'，如图2， 则∠AD'B＝∠ADB，∴△DBD'是等腰三角形，∴BD'＝BD. 设D'（m，m＋2），∴（－8－4）2＋（－6）2＝（m－4）2＋（m＋2）2， 解得m＝10或m＝－8（舍去），∴D'（10，12）， ∴直线BD'的解析式为y＝2x－8， 当2x－8＝－ （x－3）2 时，解得x＝－1 或 x＝－1－ （舍去），∴点Q的横坐标为－1 . 综上所述，点Q的横坐标为2－2 或－1 . 图2 图2 $$