2025年重庆市中考数学二轮复习课件：尺规作图问题

尺规作图问题 　　尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作 图.其中直尺必须没有刻度，只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规可以 开至无限宽，但上面也不能有刻度，只能用来作圆和圆弧.因此，尺规作图与一般 的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作 过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不可以度量的. 专题解读 中考数学中的尺规作图题要求保留作图痕迹，解决问题的关键是要把握初中 数学的五种基本尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于 已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一 点作已知直线的垂线. 　　例1　（2023重庆A卷）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她 发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组 对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在 的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空. 用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为O. （只保留作图痕迹） 典例剖析 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC， 垂足为O. 求证：OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠ECO＝① 　　　　　. ∵EF垂直平分AC， ∴② 　　　　　　. 又∵∠EOC＝③　　　　　， ∴△COE≌△AOF（ASA）， ∴OE＝OF. 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一 组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面的命题： 过平行四边形对角线中点的直线④ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【解析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可，并得到结论. 【答案】如图，即为所求. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠ECO＝∠FAO. ∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO. 又∵∠EOC＝∠FOA， ∴△COE≌△AOF（ASA），∴OE＝OF. 由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所 截，截得的线段被对角线中点平分. 例2　（2023育才）如图，已知点E是平行四边形ABCD对角线AC上的点， 连接DE，BE，过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF＝ ∠ADE，连接DF，证明四边形BFDE是平行四边形. 解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过△ADE与 △CBF全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决.请根据解 答思路完成下面的作图与填空. （1）尺规作图：过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使 ∠CBF＝∠ADE，连接BE，DF；（保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝①　　　　，AD∥BC， ∴∠DAE＝②　　　　　 . 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴③　　　　＝BF，∠AED＝∠BFC， ∴④　　　　　， ∴四边形BFDE是平行四边形. 【解析】（1）作∠CBF＝∠ADE，其中BM交AC于点F即可； （2）易得△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质得到DE＝BF，∠AED ＝∠BFC，则DE∥BF，根据平行四边形的判定即可得到结论. 【答案】解：（1）如图，作∠CBF＝∠ADE，其中BM交AC于点F. （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB. 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC， ∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形. 1. （2024沙坪坝）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＜60°，点D是边BC 上一点，作射线DA，且满足∠ADC＝60°. 针对训练 （1）用尺规完成以下基本作图：在射线DA上截取DE，使得DE＝DC，连接 CE，在AC上方作∠FAC＝∠B，AF交CE于点P；（保留作图痕迹，不写作 法） 解：（1）如图所示即为所求. （2）在（1）所作的图形中，求证：AE＝BD. 证明：∵AB＝AC， ∴① ⁠. 又∵∠FAC＝∠B， ∴∠FAC＝∠ACB， ∴② ⁠， ∴∠EAP＝∠ADC＝60°. ∵∠ADC＝60°，DE＝DC， ∴△DEC是等边三角形， ∴∠DEC＝60°，DE＝CE. ∠ABC＝∠ACB AF∥CD ∴△AEP是等边三角形， ∴∠APE＝60°，AE＝PE＝AP， ∴DE－AE＝CE－PE， 即③ ⁠. 又∵∠BAD＝∠ADC－∠B＝60°－∠B， ∠ACP＝∠APE－∠PAC＝60°－∠PAC， ∴∠BAD＝∠ACP. 在△BAD和△ACP中， AD＝PC ∴△BAD≌△ACP（SAS）， ∴④ ⁠， ∴BD＝AE. BD＝AP 2. （2024重庆一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB. （1）尺规作图：在AD上截取AE＝AB，连接BE，作∠BAD的角平分线AG，分 别交BE，BC于点F，G，连接EG；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图所示即为所求. （2）在（1）所作图形中，求证：AF＝FG. （请补全下面的证明过程，不写证 明理由） 证明：∵AG是∠BAD的角平分线， ∴① ⁠. ∵AD∥BC， ∴② ⁠， ∴∠BAG＝∠BGA， ∴③ ⁠. ∠BAG＝∠DAG ∠DAG＝∠BGA AB＝BG 又∵AE＝AB， ∴④ ⁠， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴AF＝FG. AE＝BG 3. （2024重庆B卷）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入 的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边 相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全 等得到此结论.根据他的想法与思路，完成以下作图与填空. （1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂 线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹） 解：（1）如图所示即为所求. （2）已知：矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中 点O，且EF⊥AC. 求证：四边形AECF是菱形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴① ，∠OCF＝∠OAE. ∵点O是AC的中点， ∴② ⁠， ∴△CFO≌△AEO（AAS）， ∴③ ⁠. ∠OFC＝∠OEA OA＝OC OF＝OE 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形. 进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜 想的结论：④ ⁠. 四边形AECF是菱形 4. （2024沙坪坝）如图，在△ABC中，CD为△ABC的角平分线. （1）用尺规完成以下基本作图：作线段CD的垂直平分线EF，分别交AC，BC 于点E，F，垂足为O. 连接DE，DF；（不写作法，保留作图痕迹） 解：（1）如图所示即为所求. （2）小明利用（1）所作的图形，证明四边形DECF是菱形.请根据他的思路完成 下面的填空. 证明：∵CD平分∠ACB， ∴① ⁠. ∵EF垂直平分CD， ∴② ⁠， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴③ ⁠， ∴DE∥BC. ∠ACD＝∠BCD EC＝ED ∠BCD＝∠EDC 同理，DF∥AC， ∴④ ⁠. ∵EC＝ED， ∴平行四边形DECF是菱形. 小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的 垂直平分线与该角两边的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么⑤ ⁠ ⁠ 四边形DECF为平行四边形 这 个四边形是菱形 $$