2025年重庆市中考数学二轮复习课件：解直角三角形的实际应用

解直角三角形的实际应用 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫作解直角三角形.解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边.直角三角形是初中几何中最重要的内容之一，是中考数学必考几何热点之一.其中，解直角三角形的实际应用经常考查如测高、测距、航海、堤坝的横截面等实际问题. 专题解读 运用解直角三角形相关知识去解决实际问题，首先要将实际问题抽象成数学 问题，在实际问题中建立直角三角形模型，能结合仰角、俯角、方位角、坡度、 三角函数等知识，综合运用解直角三角形的知识解决生活中的实际问题. 　　例1　（2023沙坪坝二模）如图，某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫， 吸引了大批游客前往观看.由于A，B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行， 游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从 C→D，也可以选择乘坐观光车从C→B→D. 已知点C在点A的北偏东45°方向 上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300 m处，点D在点B的北偏 东60°方向上，且BD＝400 m. 典例剖析 （1）求CD的长度；（精确到个位） （2）已知空中缆车的速度是200 m/min，观光车的速度是320 m/min，若游 客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（参考数据： ≈1.414 ≈1.732 ≈2.236） 【答案】解：（1）如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点B作BN⊥CD于 点N. ∵CD∥AB，∴四边形MBNC是矩形，∴CM＝BN，CN＝MB. ∵∠DBN＝60°，∴BN BD ×400＝200（m）. ∵tan∠NBD ∴DN＝200 m.∵∠CAM＝45°， ∴△AMC是等腰直角三角形，∴AM＝CM＝200 m， ∴MB＝AB－AM＝300－200＝100（m）， ∴CD＝CN＋ND＝100＋200 ≈446（m）. （2）由勾股定理，得BC 100 （m）， ∴BC＋BD＝400＋100 ≈623.6（m）， ∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（min），乘坐空中缆车的时间是 446÷200＝2.23（min）. ∵1.95＜2.23， ∴应选择乘坐观光车. 例2　（2023九龙坡）某学校初中实践小组为测量学校附近与地面垂直的某商 业楼AB墙面上的广告牌AC的高度，进行了一系列测量，得到如下一些数据：站 在距离商业楼底部B处12 m远的地面D处，测得广告牌的底部C的仰角为45°， 同时测得商业楼的窗户G处的仰角为30°，然后，向前前行8 m走到点E处，再沿 坡度i＝1∶0.75的斜坡从点E走到点F处，此时GF正好与地面平行，在点F处又 测得广吿牌顶部A的仰角为26°.（其中A，C，G，B在同一直线上，B，D， E在同一直线上） （1）求点F距离水平地面的高度和它与窗户G的距离；（结果不取近似值） （2）求广告牌AC的高度.（结果精确到0.1 m） （参考数据：sin26°≈0.44， cos 26°≈0.9，tan26°≈0.49 ≈1.41 ≈1.73） 【解析】（1）过点F作FM⊥BE的延长线于点M，先证明四边形GBMF是 矩形，即有GB＝FM，GF＝BM，在Rt△GBD中，GB＝BD·tan∠GDB；利用 斜坡EF的坡度i＝1∶0.75，在Rt△EFM中，EM＝0.75FM，根据FG＝BM＝ BD＋DE＋EM，问题得解； （2）在Rt△AGF中，AG＝FG·tan∠AFG，再证明CB＝BD，根据AC＝ AG－CG＝AG－（CB－GB）即可得解. 【答案】解：（1）如图，过点F作FM⊥BE的延长线于点M. 由题意知，FM∥BG，FG∥BE，∠FMB＝90°， ∴四边形GBMF是矩形，∴GB＝FM，GF＝BM. 在Rt△GBD中，BD＝12 m，GB＝BD·tan∠GDB＝12×tan30°＝4 （m）， ∴FM＝4 m.∵斜坡EF的坡度i＝1∶0.75，DE＝8 m， ∴在Rt△EFM中，EM＝0.75FM＝3 m， ∴FG＝BM＝BD＋DE＋EM＝（3 20）m. 答：点F距离水平地面的高度为4 m， 点F与窗户G的距离为（3 20）m. （2）在Rt△AGF中，AG＝FG·tan∠AFG＝（3 20）×tan26°≈ （3 20）×0.49≈12.34（m）.∵∠CDB＝45°，∠CBD＝90°， ∴△CBD是等腰直角三角形，∴CB＝BD＝12 m， ∴AC＝AG－CG＝AG－（CB－GB）≈7.3（m）. 答：广告牌AC的高度约为7.3 m. 1. （2024重庆A卷）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港 运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向 航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A 港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离 到达C港. （参考数据： ≈1.41 ≈1.73 ≈2.45） 针对训练 （1）求A，C两港之间的距离；（结果保留一位小数）； 解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则∠AEB＝∠CEB＝90°. 由题意可知∠GAB＝45°，∠EBC＝60°， ∴∠BAE＝45°，AE＝BE， ∴AE＝AB· cos ∠BAE＝40× 20 （海里）， ∴CE＝BE·tan∠EBC＝20 ·tan 60°＝20 × 20 （海里）， ∴AC＝AE＋CE＝20 20 ≈20×1.41＋20×2.45≈77.2（海里）. 答：A，C两港之间的距离为77.2海里. （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港的时间相同），则哪艘货轮 先到达C港？请通过计算说明. 解：（2）由（1）得∠BAE＝45°，∠EBC＝60°，AC≈77.2海里， ∴BE＝AB·sin ∠BAE＝40×sin 45°＝20 （海里）， ∴BC ≈56.4（海里）. 由题意，得∠ADF＝60°，∠CDF＝30°， ∴∠ADC＝90°.又∵∠DAC＝30°， ∴CD AC≈ ×77.2＝38.6（海里）， AD＝C· cos ∠CDF≈77.2× ≈66.8（海里）， ∴甲货轮行驶的路程为AB＋BC≈40＋56.4＝96.4（海里）， 乙货轮行驶的路程为AD＋CD≈66.8＋38.6＝105.4（海里）. ∵96.4＜105.4，且甲、乙货轮速度相同， ∴甲货轮先到达C港. 2. （2024重庆B卷）如图，A，B，C，D分别是某公园的四个景点，B在A的正 东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方 向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2 km. （参考数据： ≈1.41 ≈1.73 ≈2.45） （1）求BC的长度；（结果精确到0.1 km） 解：（1）如图1，过点B作BE⊥AC于点E. 由题意，得∠CAB＝90°－30°＝60°， ∠ABC＝90°－15°＝75°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝45°. 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝2 km， ∴AE＝BE＝AB·sin∠BAE＝2×sin 60° （km）. 在Rt△BCE中，BC ≈2.5（km）， ∴BC的长度约为2.5 km. 图1 图1 （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为D→C→B，乙选择的 路线为D→A→B. 请通过计算说明谁选择的路线较近. 解：（2）如图2，过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BE⊥AC于点E. 图2 在Rt△ABE中，AE＝AB· cos ∠BAE＝2· cos 60°＝1（km）， ∴AC＝AE＋CE＝（1 km，在Rt△AFC中， CF＝AC·sin∠CAF＝（1 ·sin 30° （km）， AF＝AC· cos ∠CAF＝（1 · cos 30° （km）， 在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，∠DFC＝90°， ∴DF＝CF·tan∠DCF ·tan30° （km）， CD （km）， 甲走的路程为CD＋BC ≈4.03（km）， 乙走的路程为AD＋AB＝DF＋AF＋AB 2≈5.15（km）. ∵4.03＜5.15， ∴甲选择的路线较近. 图2 3. （2023九龙坡模拟）“8D魔幻城市”重庆吸引了全国各地的游客，而“李子坝 穿楼”（如图1）成了游客们争相打卡的热门景点.如图2，已知斜坡CD底端C距 离单轨2号线列车所穿楼栋AB底端A处30 m远，斜坡CD长为42 m，坡角为 30°，DE⊥CE. 为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12 m的M处挖去部 分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡 DN. （1）求观景平台MN的长；（结果保留根号） 解：（1）如图1，延长MN交DE于点F. 由题意可得∠ECD＝30°，∠DNF＝45°， CM＝12 m，CD＝42 m，∴DM＝CD－CM＝30 （m）.∵MN∥CE， ∴∠DMF＝30°，∠DFM＝90°.在Rt△DMF中，∠DMF＝30°， ∴DF DM＝15（m），FM DM＝15 （m）. 在Rt△DNF中，∠DNF＝45°，∴FN＝DF＝15 m， ∴MN＝FM－FN＝（15 －15）m. 答：观景平台MN的长为（15 －15）m. 图1 图1 （2）小青在N处测得单轨2号线列车所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A， B，C，D，E在同一个平面内，点A，C，E在同一条直线上，且AB⊥AE，求 单轨2号线列车所穿楼栋AB的高度.（结果精确到0.1 m ≈1.414 ≈1.732） 解：（2）如图2，过点M作MH⊥AE于点H， MG⊥AB于点G，则四边形AGMH为矩形. 在Rt△MCH中，∠MCH＝30°， ∴MH CM＝6 （m）， CH CM＝6 （m）. 图2 ∴AG＝MH＝6 m，MG＝AH＝AC＋CH＝（30＋6 m， ∴NG＝MG＋MN＝（15＋21 m. 在Rt△BNG中，∠BNG＝30°， ∴BG＝NG·tan30°＝（5 21）m， ∴AB＝BG＋AG＝5 27≈35.7（m）. 答：单轨2号线列车所穿楼栋AB的高度约为35.7 m. 图2 4. （2024沙坪坝）如图1是拓展小组研制的智能操作机器人，水平操作台为l，底 座AB固定，AB⊥l，且AB＝50 cm，连杆BC长度为70 cm，机械臂CD长度为 60 cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内. （1）转动连杆BC和机械臂CD，使∠ABC＝150°，CD∥l，如图2，求机械臂 端点D离操作台l的高度DE的长； （结果精确到0.1 cm，参考数据： ≈1.73） 解：（1）如图1，过点C作CP⊥l于点P，过点B作 BQ⊥CP于点Q， 则四边形ABQP和四边形CDEP都是矩形， ∴PQ＝AB＝50 cm，DE＝CP，∠ABQ＝90°. ∵∠ABC＝150°，∴∠CBQ＝60°. 在Rt△CBQ中，CQ＝BC·sin∠CBQ＝70× 35 ≈60.6（cm）， ∴DE＝CP＝CQ＋PQ≈110.6（cm）. 答：机械臂端点D离操作台l的高度DE的长约为110.6 cm. 图1 图1 （2）物品在操作台l上，距离底座A端125 cm 的点M处，转动连杆BC和机械臂 CD，机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由. 解：（2）机械臂端点D不能碰到点M，理由如下： 如图2，当点B，C，D共线时，机械臂端点D能碰到的距离 最远，此时BD＝BC＋CD＝130 cm. ∵AB＝50 cm，BA⊥l，∴AD 120（cm）. ∵120＜125，∴机械臂端点D不能碰到点M. 图2 图2 5. （2023渝中模拟）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经 测量，点D，E均在点C的正北方向且CE＝600 m，点B在点C的正西方向，且 BC＝200 m，点B在点A的南偏东60°方向且AB＝400 m，点D在点A的东北 方向. （1）求道路AD的长度；（结果精确到个位） 解：（1）如图，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC 于点G. 由题意，得AF＝CG，AG＝CF. 在Rt△AFB中，∠BAF＝60°，AB＝400 m， ∴AF＝AB· cos 60°＝400× 200（m）， BF＝AB·sin60°＝400× 200 （m）， ∴CG＝AF＝200 m.∵BC＝200 m， ∴CF＝BF＋BC＝200 200 400 （m）， ∴AG＝CF＝400 m. 在Rt△ADG中，∠DAG＝90°－45°＝45°， ∴AD 400 ≈980（m）. 答：道路AD的长度约为980 m. （2）若甲从点A出发沿A→D→E的路径去点E，与此同时，乙从点B出发，沿B→A→E的路径去点E，其速度为40 m/min.若两人同时到达点E，请比较谁的速度更快？快多少？（结果精确到十分位） （参考数据： ≈1.414 ≈1.732 ≈2.449） 解：（2）∵CE＝600 m，CG＝200 m， ∴EG＝CE－CG＝400（m）. 在Rt△AGE中，AG＝400 m， ∴AE 800（m）. 在Rt△ADG中，∠DAG＝45°， ∴DG＝AG·tan45°＝400 （m）， ∴甲行的路程＝AD＋DE＝AD＋DG－EG＝（400 400 －400）m， 乙行的路程＝AB＋AE＝400＋800＝1200（m）. ∵乙的速度为40 m/min， ∴乙所用的时间 30（min）， ∴甲所用的时间也是30 min， ∴甲的速度 ≈42.4（m/min）， ∴42.4－40＝2.4（m/min）， ∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快约2.4 m/min. 6. （2023两江新区一模）如图，海面上A，B两个小岛同时接到消息，一艘客船 在C地发生故障，需要支援，经测量，C和B分别位于A的正北方向和南偏东 45°方向；C在B的北偏西30°方向上，已知A，B两地相距30海里. （1）求A，C两地之间的距离；（结果保留根号） 解：（1）如图，过点B作BH⊥AC，交CA的延长线于点H. 在Rt△ABH中，∠BAH＝45°，AB＝30海里， ∴AH＝BH AB＝15 （海里）. 在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，BH＝15 海里， ∴CH BH＝15 （海里）， ∴AC＝CH－AH＝15（ 海里. 答：A，C两地之间的距离为15（ 海里. （2）位于B岛的补给船和救援船接到消息后同时出发前往C地，补给船以每小时 30海里的速度从B地出发，沿BC方向前往C地，救援船以每小时45海里的速度从 B地出发沿BA方向前往A地准备救援材料（准备材料的时间为20 min），再以相 同的速度沿AC方向前往C地，请通过计算说明哪艘船会先到达C地.（参考数 据： ≈1.41 ≈1.73 ≈2.45） 解：（2）在Rt△BCH中，∠BCH＝30°， ∴BC＝2BH＝30 （海里）. 补给船以每小时30海里的速度从B地出发， 沿BC方向前往C地所需的时间为 30 ÷30 ≈1.41（h）， 救援船以每小时45海里的速度从B地出发沿BA方向前往A地准备救援材料（准备 材料的时间为20 min），再以相同的速度沿AC方向前往C地所需的时间为（30＋ 15 －15 ÷45 ≈1.35（h）. ∵1.41＞1.35，∴救援船会先到达C地. $$