2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：矩形、菱形、正方形

　矩形、菱形、正方形 　　课标要求 1. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及它们之间的关系；了解 四边形的不稳定性. 2. 探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对 角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直.它们的判定定理：三个角是直角 的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形具有矩形和菱形的一切性质. 考点精讲 　　知识点梳理 1. 知识结构图. 2. 矩形：有一个角是 　直角　的平行四边形叫作矩形. 直角 3. 性质与判定. 图形 性质 判定 矩形是特殊的平行四边形， 矩 形除了具有平行四边形的所有性 质外，还具有以下性质： （1）四个角都是直角 （90°）； （2）对角线 　相等　 直角　相等　直角 对称 性 既是中心对称图形也是轴对称图形，两条对称轴是过对角线 交点且与边平行的直线 相等 直角 相等 直角 面积 相邻两边的乘积 　　注：判定矩形时首先明确判定的前提是四边形还是平行四边形，再选择合适 的判定定理.比如：对角线相等的四边形不一定是矩形，还可能是等腰梯形. 图形 性质 判定 4. 矩形中的特殊三角形与面积问题（表格横线上填“＞”“＜”或“＝”）. 图形 结论 一对全等的直角三角 形：S1 　＝　S2 两对全等的等腰三角 形：S1 　＝　S2 　＝　 S3 　＝　S4 △AOB和△DOC是一 对全等的等边三角形 ＝ ＝ ＝ ＝ 　　5.菱形：有一组邻边 　相等　的平行四边形叫作菱形. 6. 性质与判定. 图形 性质 判定 菱形是特殊的平行四边 形，菱形除了具有平行四 边形的所有性质外还具有 以下性质： （1）四条边 　相等　； （2）对角线互相 　垂 直　，且每一条对角线平 分一组对角 相等　垂直　相等　垂直平分 相等 相等 垂 直 相等 垂直 相等 垂直平分 对称性 既是中心对称图形也是轴对称图形，两条对称轴是两条对角线所在的直线 面积 边长与该边上的高的积或两条对角线 　乘积　的一半 乘积 图形 性质 判定 　　7.菱形中的特殊三角形与面积问题（表格横线上填“＞”“＜”或“＝”）. 图形 结论 一对全等的等腰 三角形：S1 　＝　 S2 四个全等的直角 三角形：S1 　＝　 S2 　＝　S3 　＝　 S4 △AOB和 △DOC是一对 全等的等边三角 形 △AED≌△BF D； △BED≌△CF D； △ABD≌△CB D ＝ ＝ ＝ ＝ 　　注：连接一边的中点与两条对角线的交点可构成直角三角形斜边上的中线或 三角形的中位线. 8. 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的 　平行四边形　叫作正 方形. 9. 性质与判定. 平行四边形 图形 性质 判定 正方形具有平行四边形、 矩形和菱形的一切性质. （1）四条边相等； （2）四个角都是 　直角 （90°）　； （3）对角线相等且 　 相 等　，每一条对角线平分 一组对角 相垂直平分　直角　相等　垂直且相等　 相等　垂直　直角（90°） 直角 （90°） 互相垂直 平分 直角 相等 垂直且相等 相等 垂直 直角（90°） 相等 图形 性质 判定 对称性 既是中心对称图形也是轴对称图形，有 　4　条对称轴， 两条对称轴是两条对角线所在的直线，两条对称轴是过对 角线交点与边平行的直线 面积 AB2或 AC2或 BD2 4 　　10.正方形中的特殊三角形与面积问题（表格横线上填“＞”“＜”或“＝”）. 图形 延伸一：巧用45° EF是平行于边长 AD的任意一条直线 延伸二：巧用45° EF，EH是平行于四 边形对角线BD，AC的任意两条直线 结论 一对全等的等腰直角三形：S1 　　S2 四个全等的等腰直角三形： S1 　　S2 　 S3 　 S4 △AEG和△CFG都是等腰直角三角形 （1）两对全等的等 腰直角三角形： △AEG和△AFG， △BEI和△BHI； （2）矩形EIOG ＝ ＝ ＝ ＝ 　　 　　注：①45°＋直角三角形＋斜边中线可得到很多相等线段； ②注意两条对角线的对称性的应用. 　　11.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比. 边 角 对角线 对称性 平行四边 形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图 形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分 且相等 轴对称图形 中心对称图 形 菱形 对边平行、四条 边相等 对角相等 对角线互相垂直 平分，且每一条 对角线平分一组 对角 轴对称图形 中心对称图 形 边 角 对角线 对称性 正方形 对边平行、四条 边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直 平分且相等，每 一条对角线平分 一组对角 轴对称图形 中心对称图 形 　　12.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如下. 13. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形（如下图）. 　　【温馨提示】 （1）判断一个四边形的中点四边形形状的关键是判断其两条对角线的位置和 数量关系； （2）无论原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形； （3）中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和； （4）中点四边形的面积是原四边形面积的一半. 考题类型精析 例1　（2023八中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在 BD上取一点E，使得AE＝BE，AB＝10，AC＝12，则BE长为（　　　） A. B. C. D. 【思路点拨】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝6，由勾股定理可求 BO，BE的长. 【答案】A 例2　（2023巴蜀）如图，在矩形ABCD中，E为边CD的中点，连接AE，过 点E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，则∠EFC的度数为 （　　　） A. α B. 45° C. 45°－ D. 90°－α 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直 平分线的性质.添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键. 【答案】B 例3　如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ABO平移到 △DCE的位置，连接OE. 已知AO＝1，BO＝2，AB . 求证：四边形OCED 是矩形. 【思路点拨】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、平移的性质和 勾股定理的逆定理.在解题时，利用勾股定理的逆定理证明∠COD＝90°是 解题的关键. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CO＝AO＝1，DO＝BO＝2，CD＝AB . ∵△DCE是由△ABO平移得到，∴DE＝AO＝1，CE＝BO＝2. ∴CO＝DE，DO＝CE. ∴四边形OCED是平行四边形. ∵CO2＋DO2＝1＋4＝5，CD2＝5，∴CO2＋DO2＝CD2. ∴∠COD＝90°.∴▱OCED是矩形. 例4　（2023渝中）在正方形ABCD中，E是边BC上一点，F是CD延长线上 一点，BE＝DF，连接AE，AF，EF，G为EF中点，连接AG，DG. （1）如图1，若AB＝3，BE＝1，求DG的长； （2）如图2，延长GD至点M，使GM＝GA，过点M作MN∥FD交AF的延 长线于点N，连接NG，若∠BAE＝30°.求证：MN＋NA NG. 【思路点拨】（1）取CF的中点H，连接GH；先证明△ABE≌△ADF （SAS），再证明△AEF是等腰直角三角形，由GH是Rt△EFC的中位线，在 Rt△DGH中即可求解；（2）过点G作GK⊥MN，交NM的延长线于点K，交 CF于点Q，过点G作GT⊥AF，交AF于点T； 设BE＝a，分别求出AB a，AE＝2a，CE＝（ －1）a，CF＝（ 1） a，再由△AFE是等腰直角三角形，G是EF的中点，求出AG a，GQ CE a，DQ＝CD－ CF a，证明△NGK≌△NGT（HL），则有 TN＝NK＝MN＋MK，∠ANG＝30°，可求TN TG，NG＝2TG TN， TG＝MK （AN－MN），得到 NG＝2（MN MN＋NA. 【答案】（1）解：取CF的中点H，连接GH. ∵BE＝DF，AB＝AD，∠B＝∠ADF＝90°， ∴△ABE≌△ADF（SAS）.∴AF＝AE. ∵AB＝3，BE＝1，∴AF＝AE CF＝4，CE＝2. ∴EF＝2 .∴△AEF是等腰直角三角形. ∵G是EF中点，H是CF的中点， ∴GH是Rt△EFC的中位线. ∴GH CE＝1.∴FH＝2.∴DH＝1.∴DG . （2）证明：如图，过点G作GK⊥MN，交NM的延长线于点K，交CF于点 Q；过点G作GT⊥AF，交AF于点T. 设BE＝a.在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，∴AB a，AE＝2a. ∴CE＝（ －1）a.∵DF＝BE＝a，∴CF＝（ 1）a. ∵△AFE是等腰直角三角形，G是EF的中点， ∴AG a.∵G是EF中点，GQ⊥CF， ∴GQ CE a. ∴DQ＝CD－ CF a. ∴GQ＝DQ. ∴∠DGQ＝45°. ∴GK＝MK. 又∵GM＝GA a，∴GK＝MK＝a.∵∠FAG＝45°， ∴GT＝a.∴Rt△NGK≌Rt△NGT（HL）.∴TG＝GK＝KM. ∴TN＝NK＝MN＋MK，∠ANG ANK. ∵∠BAE＝30°， ∴∠NAD＝30°.∴∠ANK＝∠AED＝60°.∴∠ANG＝30°. ∴TN TG，NG＝2TG TN. ∴TG＝MK （AN－MN）. ∴ NG＝2（MN MN＋NA. 即MN＋NA NG. 例5　如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB， CD，AC，BD的中点.求证：四边形EGFH是菱形. 【思路点拨】本题主要考查菱形的判定.在解题时，要判断四边形EGFH是菱 形，且涉及中点，想到的是用三角形的中位线来判断边的关系，通过四边相等的 四边形是菱形进行判断；或者可以先判断四边形是平行四边形，再根据邻边相等 的平行四边形是菱形进行判断. 【答案】证明：∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点， ∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线. ∴GF∥AD，GF AD，GE BC，EH∥AD，EH AD. ∴GF∥EH，GF＝EH. ∴四边形EGFH是平行四边形. ∵AD＝BC， ∴GE＝EH. ∴▱EGFH是菱形. 例6　（2023北碚）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边 CD，AD上，BE，CF相交于点G，BE＝CF 点O是BF中点，则OG的 长为 　　　　. 【思路点拨】根据正方形的性质证明Rt△BCE≌Rt△CDF （HL），可得 ∠BEC＝∠CFD，然后利用角的和差证明BE⊥CF，再根据“直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半”可得OG的长. 【答案】2.5 　　例7　如图，在正方形ABCD中，AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形EFGH 是正方形. 【思路点拨】本题主要考查正方形的性质和判定.可以从以下几个方面考虑： 什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？什么样的平行四边形是正方 形？什么样的四边形是正方形？在解题时，想说明四边形EFGH是正方形，需要 借助全等三角形的性质和判定定理预判四边形EFGH是矩形、菱形、平行四边形 还是一般的四边形.解此题的关键是得到EF＝FG＝GH＝HE和一个直角. 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AB－AE＝BC－BF＝CD－CG＝DA－DH，即BE＝CF＝DG＝AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴HE＝EF＝FG＝GH，∠GHD＝∠HEA. ∵∠A＝90°，∴∠HEA＋∠AHE＝90°. ∴∠GHD＋∠AHE＝90°. ∴∠GHE＝90°. ∴四边形EFGH是正方形. 命题点1　矩形性质的相关证明与计算 重庆中考真题回顾 1. （2024重庆A卷）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入 地研究.他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相 交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等 得到此结论.根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂 线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE. （不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示，即为所求. （1）解：如图所示，即为所求. （2）已知矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点 O，且EF⊥AC. 求证：四边形AECF是菱形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴① 　∠OFC＝∠OEA　，∠OCF＝∠OAE. ∵O是AC的中点， ∴② 　OC＝OA　. ∴△CFO≌△AEO（AAS）. ∴③ 　OF＝OE　. ∠OFC＝∠OEA OC＝OA OF＝OE 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形. 进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜 想的结论：④ 　四边形AECF是菱形　. 四边形AECF是菱形 命题点2　菱形性质的相关证明与计算 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D分别作AB，AC的 平行线，交AC，AB于点E，F，已知BF＝2，CE＝8，AD＝2 则四边形 AEDF的面积为（　A　） A. 4 B. 8 C. 4 D. 8 A 命题点3　正方形性质的相关证明与计算 3. （2023重庆A卷）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连 接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC＝（　A　） A. 2α B. 90°－2α C. 45°－α D. 90°－α A 4. （2024重庆B卷）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是 CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M. 若BE＝DF ＝1，则DM的长为（　D　） A. 2 B. C. D. D 基础过关 1. （2023南开）下列说法中错误的是（　D　） A. 矩形的两条对角线相等 B. 菱形的两条对角线互相垂直 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D 当堂检测 2. （2023梁平）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.E是边CD上一动点， 过点E分别作EF⊥OC，垂足为F，EG⊥OD，垂足为G，连接FG，则FG的 最小值为（　A　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 A 3. （2023一中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE ＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝ 2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（　A　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 8 A 4. （2023九龙坡）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC， PF⊥CD，垂足分别为E，F，连接AP，EF，若AP＝3，则EF＝（　A　） A. 3 B. 3 C. D. 5 A 5. （2023秀山）如图，正方形ABCD边长为20，点P为正方形对角线BD上任一 点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F，连接EF，AP. 给出以下4个 结论： ①AP＝EF； ； ③AP＋EF的最小值是5 ； ④若∠BAP＝60°时，则EF的长为20 －20. 其中正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 6. （2024江苏）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F 在边CD上，点G，H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 （　C　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 C 能力提升 7. （2024西安）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E是边CD的中点， F是边BC上的一个动点，△FCE与△FGE关于EF对称，连接AG. 当点G恰好 落在矩形ABCD的对称轴上时，CF的长为 　2　. 2 8. （2023育才）如图，在长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若 AB'∥BD，∠1＝28°，则∠BAF的度数为 　59°　. 59° 9. （2024云南）如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，B是边AC上的一点，连 接BD，E是△ACD外一点且满足AE∥BD，AE＝AB，AD平分∠BAE，连接 BE交AD于点O. （1）求证：四边形ABDE是菱形； （1）证明：∵AE∥BD，∴∠BDA＝∠EAD. ∵AD平分∠BAE， ∴∠EAD＝∠BAD. ∴∠BDA＝∠BAD. ∴BD＝AB. ∵AE＝AB， ∴AE＝BD. 又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形. ∵AE＝AB，∴四边形ABDE是菱形. （2）连接OC，若OA＝2 2，求CD的长. （2）解：由（1）知，四边形ABDE是菱形， ∴BE⊥AD，OD＝OA AD，OE＝OB BE. ∵∠ACD＝90°，∴OC是Rt△ACD斜边上的中线. ∴OC＝OA＝OD. ∵ 2，∴ 2.∵OA＝2 ∴OB . ∴AB 5，AD＝2OA＝4 BE＝2OB ＝2 . ∵菱形ABDE的面积 AD·BE＝AB·CD， 即 ×4 ×2 5CD. ∴CD＝4. 10. （2023西大附中）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上一点，过点B作 BF∥AC，BF＝AE，连接DE，CF，EF，线段EF交BC于点H. （1）若∠BFC＋∠ACD＝180°，求证：四边形EFCD为菱形； （1）证明：∵BF∥AC，BF＝AE， ∴四边形ABFE是平行四边形，∠BFC＋∠ACF＝180°. ∴AB∥EF，AB＝EF. 在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD，AB＝CD，∴EF∥CD，EF＝CD. ∴四边形EFCD是平行四边形.∴∠CFE＝∠CDE. ∵∠BFC＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝∠ACF. 在△CEF和△CED中， ∴△CEF≌△CED（AAS）.∴CF＝CD. ∴四边形EFCD是菱形. （2）在（1）条件下，若∠BFC＝120°，BF＝CF＝4，求四边形EHCD的面 积. （2）解：∵∠BFC＝120°，BF＝CF＝4，∴∠FBC＝∠FCB＝30°. ∵四边形ABFE是平行四边形，四边形EFCD是菱形， ∴CF＝EF＝AB＝CD＝AE＝4.∵AC∥BF， ∴∠ACB＝∠FBC＝30°.∴∠FEC＝∠FCE＝60°， 即△CEF是等边三角形.∴CE＝CF＝4，∠CHE＝90°. ∴EH＝FH＝2.∴CH 2 . ∴四边形EHCD的面积 （EH＋CD）×CH （2＋4）×2 6 . $$