2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：概率

　概率 　　课标要求 1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指 定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率. 2. 知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率. 考点精讲 　　知识点梳理 一、事件的分类 事件类型 定义 举例 概率 确 定 事 件 必然事 件 在一定条件下，一定会发 生的事件 “掷一枚骰子，出现的点 数大于0”是必然事件 P＝1 不可能 事件 在一定条件下，一定不会 发生的事件 “掷一枚骰子，出现的点 数大于7”是不可能事件 P＝0 随机事件 在一定条件下，可能发生 也可能不发生的事件 “抛掷一枚硬币，出现正 面朝上”是随机事件 0＜P＜1 　　失分警示：在一定条件下，事件肯定会发生，是确定事件；事件肯定不会发 生，也是确定事件. 　　二、概率的计算 1. 公式法. P（A） （其中n为所有事件发生的总次数，m为事件A发生的总次 数）. 2. 列表法或画树状图法. 列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，可采用 列表法列出所有等可能的结果，再根据P（A） 计算概率； 画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法表 示出所有等可能的结果，再根据P（A） 计算概率. 3. 频率估计概率. 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 稳定于某个常数p附 近，那么事件 A 发生的概率P（A）＝p. 4. 几何概型的概率公式. P（A） . 　　5.判断游戏公平性. 在摸球类游戏中，列表或画树状图时要注意“放回型”与“不放回型” 的区别： 类型 放回型 不放回型 基本描述 从一个含有n个球的袋子（盒子） 中，第一次取出1个球，放回再取出1 个球，确定两次取球的情况 从一个含有n个球的袋子（盒 子）中，第一次取出1 个球， 不放回再取出1个球，确定两 次取球的情况 列表法 包含表格中对角线上的情况 不包含表格中对角线上的情况 画树状图 法 第一层的情况数为n，第二层的情况 数为n×n 第一层的情况数为n，第二层 的情况数为n×（n－1） 类型 放回型 不放回型 常见问题 A. 抛掷一枚硬币（或骰子）两次； B. 转动一块转盘两次等；C. 从两组 数中各取 1个 从一个盒子中一次取两个小球 　　考题类型精析 例1　（2023南开）下列事件是必然事件的是（　　　） A. 套圈活动中，小南套中一件奖品 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次命中 C. 箱子里有两个形状－大小质地完全相同的红球，从中摸出一个球是红球 D. 随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为10 【思路点拨】本题主要考查对必然事件的概念的理解.在解题时，需要明晰各 类事件的概念，其中事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概 率是1的事件为必然事件. 【答案】C 　　例2　在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的7个黑球、5个白球和 若干个红球，每次摇匀后随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中搅匀.通过大量 重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数为 （　　　） A. 8 B. 6 C. 12 D. 4 【思路点拨】本题主要考查用频率估计概率.在解题时，可以根据摸到红球的 频率得到摸到黑球和白球的概率之和，之后得到总的球数及红球的个数.需要特别 关注概率与方程等知识的联系. 【答案】A 　　例3　在一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他 都相同. （1）搅匀后从中随机摸出1个球，请直接写出摸出红球的概率； （2）如果第一次随机摸出1个球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余 的2个球中随机摸出1个球，求两次都摸到红球的概率.（用画树状图或列表的方法 求解） 【思路点拨】本题主要考查概率的相关计算.在第（1）题中，直接利用概率 公式求解，即可求得答案.在第（2）题中，可以用列表法或画树状图法求概率， 二次摸球试验需要考虑该试验是放回试验还是不放回试验.在计算过程中，需要不 重复、不遗漏地列出所有可能的结果，再利用概率公式即可求得答案. 【答案】解：（1）∵在一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球 除了颜色外其他都相同， ∴摸出红球的概率为 . （2）画树状图，如图所示. ∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况， ∴两次都摸到红球的概率为 . 　　例4　（2023八中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘转动并停止后，指 针落在B区域的概率是（　　　） A. B. C. D. 【思路点拨】用B区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可. 【答案】C 　　例5　小明与小亮玩游戏，如图所示，这是两组相同的纸牌，每组里有3张， 牌面数字分别是3，4，5.他们将纸牌背面朝上充分洗匀后，从每组纸牌中随机各 摸出1张，称为一次游戏.规定当摸出的2张纸牌的牌面数字之和大于8时，小明获 胜；当摸出的2张纸牌的牌面数字之和小于8时，小亮获胜. （1）请你用列表或画树状图的方法求出小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由. 【思路点拨】本题主要考查概率在实际生活中的应用.对于游戏是否公平问 题，可直接转化为比较两人获胜概率的大小问题加以解决，准确计算概率是解决 问题的关键. 【答案】解：（1）列表，如下图所示： 　　　第一组 第二组　　　　 3 4 5 3 6 7 8 4 7 8 9 5 8 9 10 　　由表格可以看出，所有可能出现的结果有9种，其中2张纸牌的牌面数字之和 大于8的有3种，所以小明获胜的概率为 . （2）这个游戏公平. 理由：P（小明获胜） P（小亮获胜） . ∵ ∴游戏公平. 命题点1　简单概率计算 1. （2023重庆A卷）一个口袋中有1个红色球，1个白色球，1个蓝色球，这些球除 颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出 一个球，则两次都摸到红球的概率是  　. ​ 重庆中考真题回顾 2. （2024重庆A卷）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约 来到重庆旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙 两人同时选择景点B的概率为  　. 3. （2024重庆B卷）甲、乙两人分别从A，B，C三个景区中随机选取一个景区前 往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为  　. ​ ​ 命题点2　概率与代数结合 4. （2024九龙坡）一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小 球的标号分别为1，2，3，4.若一次性随机抽取两个小球，则两个小球的对应标号 之和大于 的概率为 　​ 　. ​ 命题点3　统计与概率结合 5. （2023江北）“构建德智体美劳全面培养教育体系，加强新时代大中小学劳动 教育”，某校开展了劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中 各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分 及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A. 70≤x＜80， B. 80≤x＜90，C. 90≤x＜100.下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：86，75，97，84，84，74，86，95，95，84； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，84，82，88，88. 两组数据的平均数、中位数、众数、方差 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 85 b 56 八年级 86 a 88 62.4 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　86　，b＝ 　84　，m＝ 　30　. （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理 由（一条理由即可）； 解：（2）八年级的成绩更好.理由如下：两个年级的成绩的平均数相同，但八年级 的中位数和众数都高于七年级，所以八年级的成绩更好. 86 84 30 两组数据的平均数、中位数、众数、方差 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 85 b 56 八年级 86 a 88 62.4 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 （3）该学校打算从七、八两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取两名学 生谈感想，请用画树状图或列表法求两名学生刚好来自同一年级的概率. 解：（3）八年级A等级的人数为2人，分别记为甲，乙， 七年级A等级的人数为2人，分别记为丙，丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两名学生刚好来自同一年级的结果有：（甲，乙），（乙，甲），（丙，丁），（丁，丙），共4种， ∴两名学生刚好来自同一年级的概率为 . 基础过关 1. （2023一中）下列事件是必然事件的是（　A　） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 抬头看到云朵，是一只兔子的形状 C. 任意取一个实数，这个实数大于0 D. 打开电视，电视里正在播放连续剧《三体》 A 当堂检测 2. （2023南岸）某校七年级选出三名同学参加学校组织的“校园安全知识竞 赛”.比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数 字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中， 搅匀后从中任意抽出一张，小星同学第一个抽，下列说法中正确的是（　D　） A. 小星抽到数字1的可能性最小 B. 小星抽到数字2的可能性最大 C. 小星抽到数字3的可能性最大 D. 小星抽到1，2，3的可能性相同 D 3. （2024贵阳）2023年10月25日，国务院办公厅发文，同意辽宁承办2028年第15 届全国冬季运动会.2024年第14届全国冬季运动会于2月17日－27日在内蒙古举办. 为弘扬体育精神，贵阳某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳 高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100 米”与“400米”两个项目的概率是（　C　） A. B. C. D. C 4. （2024贵阳）某数学兴趣小组编制了一道游戏试题：将“知必言，言必尽”6 个字写在六张完全相同的卡片上，卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后，背面朝 上，甲随机抽出一张（不放回），乙再随机抽出一张，若甲、乙两人抽出的字相 同，便称为“好朋友”.则一次试验中，甲、乙被称为“好朋友”的概率 是 　 　. ​ 5. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上.如果每一块 方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　C　） A. B. C. D. C 6. （2024大庆）在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位 置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应 该放在（　A　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 A 7. （2024银川）宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有 雄浑的大漠风光.某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动.选取三个景 点：A. 沙坡头，B. 六盘山，C. 水洞沟.每位参加交流的学生都可以从中随机选 择一个景点，则小明和小颖选择同一个景点的概率为（　C　） A. B. C. D. C 8. （2022益阳）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越 多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并 放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只戴有识别卡，由此估计 该湿地有 　800　只A种候鸟. 800 能力提升 9. （2022武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤ 号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率 是（　C　） A. B. C. D. C 10. （2023八中）在一个不透明的布袋中装有3个小球，小球上分别标有数字－ 1，1，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同.小红从布袋中随机摸出一个小 球，记下数字作为a的值，不放回，再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作 为b的值，使得关于y的一元二次方程y2＋ay b＝0有实数根的概率是 　​ 　. ​ 11. （名师原创）进入夏季汛期以来，河北涿州汛情形势严峻，全市人民遭受重大 财产损失，重庆人民心中牵挂灾区人民. （1）某社区需要从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中随机抽取2名负责将社区居民 捐赠的物资运往灾区，则甲被抽中的概率是   ； 解：（1）画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中甲被抽中的结果数为8， 所以甲被抽中的概率 . 故答案为 . 　　　　 （2）某医院准备从A，B，C三位医生和D，E两名护士中选取一位医生和一名护 士去往灾区支援灾后的清理消毒工作，用树状图或列表法求恰好选中医生A和护士 D的概率. 解：（2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生A和护士D的结果数为1，所以恰好选中 医生A和护士D的概率 . 12. （2024安顺）某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步 数情况，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）.请根据以上信息， 解答下列问题： 步数 频数 频率 0≤x＜4 000 8 a 4 000≤x＜8 000 15 0.3 8 000≤x＜12 000 12 b 12 000≤x＜16 000 c 0.2 16 000≤x＜20 000 3 0.06 20 000≤x＜24 000 d 0.04 （1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图； 解：（1）a＝8÷50＝0.16，b＝12÷50＝0.24， c＝0.2×50＝10，d＝0.04×50＝2， 补全频数分布直方图，如下图： （2）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16 000步（包含16 000步） 的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20 000步（包含20 000 步）以上的概率. 解：（2）设步数为16 000≤x＜20 000的三名教师分别为A，B，C，步数为20 000≤x＜24 000的2名教师分别为X，Y， 画树状图如下： 由树状图可得，被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20 000步（包含20 000 步）以上的概率为 . 13. （2023巴蜀）有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字1，2， 3，4，把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片，记数字为m，放回并洗匀， 再从中随机抽取一张卡片，记数字为n，则满足 1的概率为 　​ 　. ​ 14. （2022兰州）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种 幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并 统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植 数（棵） 100 1 000 5 000 8 000 10 000 15 000 20 000 幼树移植 成活数（棵） 87 893 4 485 7 224 8 983 13 443 18 044 幼树移植 成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 　0.9　.（结果精确到0.1） 0.9 15. （2024海口）为了让同学们养成良好的劳动习惯，某班开展了“一人一件家 务事”的主题活动，要求全班同学人人参与.经统计，同学们做的家务类型分为 “洗衣”“拖地”“做饭”“其他”.学习委员根据班上同学反馈的信息绘制成了 如下的统计图表. 家务类型 洗衣 拖地 做饭 其他 人数（人） 15 20 10 m 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）填空：m＝ 　5　； 解：（1）被调查的总人数为10÷20％＝50（人）， 则m＝50－（15＋20＋10）＝5， 故答案为5； 5 家务类型 洗衣 拖地 做饭 其他 人数（人） 15 20 10 m （2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 　144　°； 解：（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为360°× 144°， 故答案为144； 144 （3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的3名同学，其中有2名男 生，1名女生，现准备从表现优异的同学中随机选取2名同学分享体会，请用画树 状图或列表的方法求所选2名同学均为男生的概率. 解：（3）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所选2名同学均为男生的的结果有2种，因此选2名同 学均为男生的概率为 . $$