2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：圆的基本性质

　圆的基本性质 　　课标要求 1. 理解面、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念. 2. 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 3. 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推 论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直 角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 4. 知道三角形的外心. 5. 了解正多边形与圆的关系. 6. 会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接 圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形. 考点精讲 　　知识点梳理 1. 圆的有关概念和性质. 定义 在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作 　圆　，其固定的端点O叫作 　圆心　，线段OA叫作 　半径　，以点O为圆心的圆记作 　☉O　 圆 圆心 半径 ☉O 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如图，线段AB，AC是圆O的弦 经过 　圆心　的弦叫作圆的直径，如图，AB均是圆O的直径 圆心 弧 圆上任意两点间的部分叫作弧 大于半圆的弧叫作 　优弧　 小于半圆的弧叫作 　劣弧　 在同圆或等圆中能够互相重合的弧 叫作等弧，能够重合的两个圆叫作 等圆 优弧 劣弧 圆心角 顶点在 　圆心　的角叫作圆心角（如∠BOC） 圆周角 顶点在 　圆上　，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 （如∠BAC） 圆的基 本性质 同圆或等圆的半径 　相等　 圆的直径等于同圆或等圆半径的 　2　倍 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 圆是中心对称图形， 　圆心　是它的对称中心 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合 圆心 圆上 相等 2 圆心 失分警告：（1）圆上任意的一条弦对应两段弧； （2）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； （3）一个圆有无数条直径和半径； （4）半圆是弧（注意一定不能带直径），但弧不一定是半圆. 2. 弦、弧、圆心角的关系. 定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，所对的弦也相等，即若∠AOB ＝∠COD，则 AB＝CD 推 论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角 　相等　，所对的弦 　相等　，即若 则∠AOB ＝ 　∠COD　，AB＝ 　 CD　 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角 　相等　，所对的优弧和劣弧分别 　相等　，即若AB＝ CD，则∠AOB＝ 　∠COD　 相等 相等 ∠COD CD 相等 相等 ∠COD 　　3.垂径定理及其推论. （1）定理：垂直于弦的直径 　平分　弦，并且 　平分　这条弦所对的 两条弧. （2）推论：平分弦（不是直径）的直径 　垂直于　弦，并且平分弦所对的两 条弧. 平分 平分 垂直于 （3）根据圆的对称性，如图，有以下五个结论： ；  　 　； ​ ③AE ＝ 　BE　； ④AB⊥ 　CD　； ⑤CD是圆O的直径. 　　只要满足其中两个，另外三个结论一定成立， 即知二推三. BE CD （4）应用. ①过圆心作弦的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造直角三角 形，运用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算； ②已知圆心到两条平行弦的距离，求两条平行弦的距离时需要分情况讨论. 已知弦AB和弦CD的长，圆O的半径长，若AB∥CD，求两条弦之间的距离d 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧 时 利用勾股定理，在Rt△OBE中求出OE，在 Rt△ODF中求出OF，d＝OF－OE 利用勾股定理，在Rt△OBE中 求出OE，在Rt△ODF中求出 OF，d＝OF＋OE 　　4.圆周角定理及其推论. （1）定理. 内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 　一半　 常见图形 结论 ∠APB＝ 　　∠AOB 一半 ​ 　　（2）推论. 推论1 推论2 内容 在同圆或者等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等 半圆（或直径）所对的圆周角 是 　直角　，90°的圆周角所对 的弦是 　直径　 图形 直角 直径 表示形式 ∵ ∴∠1 ＝ 　∠2　. ∵ ∴∠2＝∠3＝ ∠1. ∵AB是直径， ∴∠C＝ 　90°　. ∵∠C＝90°， ∴AB是圆OD的直径. ∠2 90° 　　失分警告：①运用圆周角定理的推论时，注意前提条件是“同圆或等圆 中”； ②已知圆内一条弦和其对应的圆心角时，求其对应的圆周角要分情况进 行讨论. 情况一：圆周角的顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角的顶点在弦所对 的劣弧上 ∠β α ∠β＝180°－ α 　　（3）图中隐藏的特殊三角形. 图形 结论 如图1，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝90°， 可转化为直角三角形求解； 如图2，一边为直径的三角形＋45°可 得等腰直角三角形，图中有三个等腰直 角三角形 如图3，AB为圆O上任意一条弦 （不是直径），△AOB是等腰 三角形； 如图4，出现60°或OC＝CD， 则可得等边△COD 　　5.圆内接四边形的性质. （1）圆内接四边形的对角 　互补　，如图5，∠B＋∠ADC＝ 　180°　； （2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和它相邻的内角的对 角），如图5，∠ADE＝ 　∠ABC　； （3）连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在相似三角形，如图6， △ADF∽ 　△CBF　，△ABF∽ 　△DCF　. 互补 180° ∠ABC △CBF △DCF 　　6.拓展——如何确定四点共圆. 方法 图示 方法一 到圆上的距离等于定长的点都在 同一圆上（圆的定义） 方法二 共斜边的两个直角三角形的四个 顶点共圆，圆心为斜边中点 方法 图示 方法 三 共边三角形且边所对角相等的四 个顶点共圆（同弧所对圆周角相 等） 说明：如图，∠ACB＝∠ADB，则 A，B，C，D四点共圆，也可得 ∠CAD＝∠DBC 续表 续表 方法 四 对角互补四边形的四个顶点共圆 说明：在四边形ABCD中，∠A＋ ∠C＝180°（或∠B＋∠D＝ 180°），则A，B，C，D四点共圆 方法 图示 　　考题类型精析 例1　（2023酒泉）下列语句中，正确的有（　　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的两条弧是等弧； ④圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【思路点拨】由圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的对称 性，即可判断. 【答案】A 例2　如图，在☉O中，弦AB与CD相交于点E，已知AB＝CD，连接AD， BC. 求证：AD＝CB. 【思路点拨】本题主要考查弧、弦之间的相等关系定理，利用等弦得等弧， 进一步通过等弧得等弦，体现了等弧、等弦间的相互转化关系. 【答案】证明略. 例3　如图，A，B，C是☉O上的三点，若∠BOC＝78°，则∠A的度数是 （　　　） A. 39° B. 40° C. 78° D. 100° 【思路点拨】直接根据圆周角定理解答即可. 【答案】A 例4　（2023巴蜀）如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB 于点E，若CD＝ 4 BE＝2，则AB的长是（　　　） A. 12 B. 16 C. 6 D. 12 【思路点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OC，构造直角三角 形，应用勾股定理，垂径定理列出关于r的方程. 【答案】A 　　例5　如图，四边形ABCD内接于☉O. 若∠B＝108°，则∠D的度数为 （　　　） A. 54° B. 62° C. 72° D. 82° 【思路点拨】本题主要考查圆内接四边形对角互补的性质.在解题时，直接运 用结论即可求解. 【答案】C 命题点　利用圆周角定理求角度 重庆中考真题回顾 1. （2024重庆A卷）如图，以AB为直径的☉O与AC相切于点A，以AC为边作平 行四边形ACDE，点D，E在☉O上，DE与AB交于点F，连接CE，与☉O交于 点G，连接DG. 若AB＝10，DE＝8，则AF＝ 　8　；DG＝ 　 　. 8 ​ 2. （2024重庆B卷）如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，B为切点.连接 AC交☉O于点D，E是☉O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的 延长线于点F. 若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 　 　；DF 的长度是 　 　. ​ ​ 基础过关 1. 如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，且 3 则弦AC与弦BC的 关系是（　C　） A. AC＝3BC B. AC BC C. AC＝（ 1）BC D. AC＝BC C 当堂检测 2. （2023武汉）如图，AB，CD是☉O的两条弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足 为M，N为AD的中点，延长NM交CB于点H，若HN＝8，△MBC的面积为 15，MN＞MH，则AD的长为（　C　） A. 6 B. 5 C. 10 D. 9 C 3. （2024西安）如图，AB，CD是☉O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°， 则∠ACO的度数为（　D　） A. 42° B. 44° C. 46° D. 48° D 4. （2024广州）如图，AB是☉O的弦，点P在弦AB上，PA＝4，PB＝2，OP 则☉O的半径长为（　A　） A. 5 B. 3 C. 4 D. A 5. （2023邯郸）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所 示，☉O的直径为40 cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP＝10 cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交☉O于点A，B，且A，P，B三点在同一 直线上.毛刷在旋转过程中，与☉O交于点D，则CD的最大长度为（　C　） A. 20 cm B. （20－10 cm C. （20 －20）cm D. 10 cm C 6. （2024宁波）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在对角线AC上 运动（不与点A重合），☉O为△ABE的外接圆，当☉O与矩形ABCD的边相切 时，☉O的半径长为 　2或 　. 2或 7. （2024安徽）如图，AB是☉O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在 上，连 接CE，AE，则∠AEC＝ 　60°　. 60° 8. （2023阜新）如图，点A，B，C，D，E都在☉O上，∠BAC＝15°， ∠CED＝30°，则∠BOD＝ 　90°　. 90° 能力提升 9. （2023遵义）如图，四边形BCDE内接于☉O，其中BC＝4，DE 分 别延长BE，CD交于点A，若tan∠A 则☉O的半径长为  　2 　. 2 10. （2024南通）如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为 的中点，点C在 上，以AB，BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E， 连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则 的值为 　​ 　. ​ 11. （2024泸州）如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，AC和BD 相交于点E，且DC2＝CE·CA. （1）求证：BC＝CD； （1）证明：∵DC2＝CE·CA，∴ . ∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD. ∴∠CDE＝∠DAC. ∵∠CDE＝∠CAB，∴∠DAC＝∠CAB. ∴ . ∴BC＝CD. （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若 PB＝OB，AF 求CD的长. （2）解：如图，过点O作OM⊥PF于点M，连接OC交BD于点H. 设☉O的半径为r，则OA＝OB＝r. ∵PB＝OB＝r，AP＝AO＋OB＋BP＝3r，OP＝OB＋BP＝2r， ∵AF⊥PF，∴OM∥AF. ∴△APF∽△OPM. ∴ 即 .∴OM . ∵ ∴OC⊥BD. ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BD. ∴OC∥AD. ∴ 2. 设CD＝2a，则BC＝CD＝2a，PC＝4a. ∵OM⊥CD. ∴DM＝cm CD＝a.∴PM＝PC＋cm＝5a. ∵OM∥AF，∴ 2.∴FM a. ∴CF＝FM＋cm a＋a a. ∵在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2， 在Rt△ACF中，AC2＝AF2＋CF2， ∴AB2－BC2＝AF2＋CF2， 即（2r）2－（2a）2＝（2＋（ a）2.① ∵在Rt△OPM中，OM2＋PM2＝OP2， 即（2＋（5a）2＝（2r）2.② 由①②解得a1 a2＝－ （负值舍去）. ∴CD＝2a＝2 . 12. （2024北京）如图，AD是☉O的直径，点P是☉O外一点，连接PO交☉O于 点C，作PB，PD分别切☉O于点B，D，连接AB，AC. （1）求证：AB∥OP； （1）证明：如图，连接OB. ∵PB，PD分别切☉O于点B，D， ∴∠OBP＝∠ODP＝90°.∵OB＝OD，OP＝OP， ∴Rt△OBP≌Rt△ODP（HL）.∴∠BOP＝∠DOP BOD. ∵∠BAD BOD，∴∠BAD＝∠DOP. ∴AB∥OP. （2）连接PA，若PA＝4 tan∠BAD＝2，求线段AB的长. （2）解：如图，连接BD. ∵∠BAD＝∠DOP，∴tan∠BAD＝tan∠DOP＝2. 在Rt△DOP中，tan∠DOP 2，∴DP＝2OD. ∵AD＝2OD，∴DP＝AD. ∵PA DP＝4 ∴AD＝DP 4.∵AD是☉O的直径，∴∠ABD＝90°. ∵tan∠BAD 2，∴BD＝2AB. ∵AB2＋BD2＝AD2， ∴AB2＋4AB2＝16.∴AB 或AB＝－ （舍去）. ∴线段AB的长为 . $$